oto z nowej książki Józefa Mazura, co ma z tym wspólnego szczęście?:
…istnieje autentycznie zweryfikowana historia, że kiedyś w 1950 roku koło w Monte Carlo pojawiło się nawet dwadzieścia osiem razy z rzędu. Szanse na to są bliskie 268 435 456 do 1. Biorąc pod uwagę liczbę zamachów stanu na dzień w Monte Carlo, takie zdarzenie może się zdarzyć tylko raz na pięćset lat.
Mazur wykorzystuje tę historię do podtrzymania argumentu, który utrzymuje, że przynajmniej do niedawna wiele kół ruletki nie było wcale Sprawiedliwych.
zakładając, że matematyka jest prawidłowa (sprawdzimy to później), możesz znaleźć wadę w jego argumencie? Poniższy przykład pomoże.
prawdopodobieństwo wyrzucenia dubla
wyobraź sobie, że podajesz parę kostek komuś, kto nigdy w życiu nie rzucał kostkami. Rzuca je i dostaje podwójne piątki w pierwszym rzucie. Ktoś mówi: „Hej, szczęście początkującego! Jakie są na to szanse?”
Cóż, co to jest?
są dwie odpowiedzi, jedna dużo lepsza od drugiej.
pierwszy idzie tak. Szanse na wyrzucenie Piątki z jedną kostką wynoszą 1: 6; kości są niezależne, więc szanse na wyrzucenie kolejnej piątki wynoszą 1: 6; dlatego szanse na toczenie podwójnych piątek są
$$(1/6)*(1/6) = 1/36$$.
1 na 36.
zgodnie z tą logiką, nasz nowy gracz właśnie zrobił coś mało prawdopodobnego przy pierwszym rzucie.
ale poczekaj. Czy żadna para dwójek nie byłaby tak „imponująca”na pierwszym rzucie? To, co tak naprawdę powinniśmy obliczyć, to szanse na to, że rzucimy duble, niekoniecznie piątki. Jakie jest na to prawdopodobieństwo?
ponieważ istnieje sześć możliwych par podwójnych, nie tylko jedna, możemy po prostu pomnożyć przez sześć, aby uzyskać 1/6. Kolejny prosty sposób na jego obliczenie: Pierwsza kość może być czymkolwiek. Jakie jest prawdopodobieństwo, że druga kość go dorówna? Proste: 1 do 6. (Fakt, że kości są rzucane jednocześnie, nie ma znaczenia dla obliczeń.
Nie aż tak niezwykłe, prawda?
z jakiegoś powodu wiele osób ma problemy z pojęciem tego pojęcia. Szanse na rzucenie dubla przy pojedynczym rzucie parą kostek wynoszą 1 do 6. Ludzie chcą wierzyć, że jest to 1 do 36, ale to tylko wtedy, gdy określisz, która para podwójnych musi zostać rzucona.
teraz ponownie przeanalizujmy „anomalię” ruletki
ten sam błąd powoduje, że Joseph Mazur błędnie wnioskuje, że ponieważ koło ruletki pojawiło się nawet 28 razy z rzędu w 1950 roku, było to bardzo prawdopodobne nieuczciwe koło. Zobaczmy, co zrobił źle.
na Europejskim kole ruletki jest 37 slotów. 18 jest parzyste, 18 jest nieparzyste, a 1 jest równe 0, które, jak zakładam, nie liczy się tutaj jako parzyste lub nieparzyste.
więc przy uczciwym kole szanse na parzystą liczbę wynoszą 18/37. Jeśli spiny są niezależne, możemy pomnożyć prawdopodobieństwo pojedynczych spinów, aby uzyskać prawdopodobieństwo łączne, więc prawdopodobieństwo dwóch prostych równań wynosi wtedy (18/37)*(18/37). Kontynuując w ten sposób obliczamy szanse uzyskania 28 kolejnych liczb parzystych na $$(18/37)^{28}$$.
okazuje się, że daje nam to liczbę, która jest mniej więcej dwa razy większa (co oznacza zdarzenie dwa razy rzadsze) niż wskazywałyby obliczenia Mazura. Co za różnica?
tu Mazur ma rację: Przyznaje, że przebieg 28 kolejnych liczb nieparzystych byłby tak samo interesujący (i jest tak samo prawdopodobny), jak bieg równości. Gdyby wynikało 28 kursów, to też trafiłoby do jego książki, bo dla czytelnika byłaby równie niezwykła.
w ten sposób podwaja prawdopodobieństwo, które obliczyliśmy i zgłasza, że 28 wyrównań z rzędu lub 28 kursów z rzędu powinno się zdarzyć tylko raz na 500 lat. Dobrze.
ale co z 28 czerwonymi pod rząd? Albo 28 czarnych?
oto problem: nie bierze pod uwagę jeszcze kilku zdarzeń, które byłyby równie interesujące. Dwa oczywiste, które przychodzą na myśl to 28 czerwonych z rzędu i 28 czarnych z rzędu.
na kole jest 18 czarnych i 18 czerwonych (0 to zielony). Więc prawdopodobieństwo jest identyczne z tym powyżej, a teraz mamy jeszcze dwa zdarzenia, które byłyby na tyle niezwykłe, że moglibyśmy się zastanawiać, czy koło jest stronnicze.
więc teraz, zamiast dwóch zdarzeń (28 kursów lub 28 evenów), mamy teraz cztery takie zdarzenia. Jest więc prawie dwa razy bardziej prawdopodobne, że jeden z nich wystąpi. Dlatego jedno z tych wydarzeń powinno mieć miejsce co około 250 lat, a nie 500. Nieco mniej niezwykłe.
a co z innymi nieprawdopodobnymi zdarzeniami?
a co z biegiem 28 liczb, które dokładnie zmieniały się przez cały czas, jak parzyste-nieparzyste-parzyste-nieparzyste, czy czerwono-czarne-czerwono-czarne? Myślę, że gdyby tak się stało, Mazur równie chętnie włączyłby to do swojej książki.
te wydarzenia są tak samo nieprawdopodobne jak pozostałe. Prawie podwoiliśmy liczbę niezwykłych zdarzeń, które wskazałyby na złamane koło jako winowajcę. Tyle, że teraz jest ich tak wiele, że spodziewalibyśmy się, że będzie się to działo co 125 lat.
na koniec zastanówmy się, że Mazur spogląda wstecz na wiele lat, kiedy zwraca uwagę na to jedno z pozorów niezwykłe wydarzenie, które miało miejsce. Gdyby tak się stało między 1900 a teraźniejszością, zgaduję, że Mazur uznałby to za wystarczająco niedawne, aby uwzględnić jako dowód swój punkt widzenia, że koła ruletki były stronnicze nie tak dawno temu.
Czy to takie zaskakujące, że coś, co powinno się zdarzyć raz na 125 lat, wydarzyło się podczas tego dużego okna? Nie bardzo.
trochę mało prawdopodobne, ale nic, co przekonałoby kogokolwiek, że koło jest niesprawiedliwe.
