Struny, fale stojące i harmoniczne

wprowadzenie: wibracje, struny, rury, perkusja….

jak tworzyć dźwięki muzyczne? Aby wydać dźwięk, potrzebujemy czegoś, co wibruje. Jeśli chcemy robić nuty, zwykle potrzebujemy wibracji, aby mieć prawie stałą częstotliwość: oznacza to stabilną wysokość dźwięku. Chcemy też częstotliwości, którą gracz może łatwo kontrolować. W instrumentach elektronicznych odbywa się to za pomocą obwodów elektrycznych lub zegarów i pamięci. W instrumentach nieelektronicznych stabilne, kontrolowane wibracje są wytwarzane przez falę stojącą. Tutaj omawiamy sposób działania strun. Jest to również przydatne wprowadzenie do badania instrumentów dętych, ponieważ wibrujące struny są łatwiejsze do wizualizacji niż wibracje powietrza w instrumentach dętych. Oba są mniej skomplikowane niż wibracje taktów i skórek rodziny perkusji. Dla fizyki fal stojących, jest tutorial multimedialny.

wędrujące fale w strunach

struny w skrzypcach, fortepianie i tak dalej są mocno rozciągnięte i wibrują tak szybko, że nie można zobaczyć, co się dzieje. Jeśli znajdziesz długą sprężynę (zabawka znana jako „slinky” działa dobrze) lub kilka metrów elastycznego węża gumowego, możesz spróbować kilku zabawnych eksperymentów, które ułatwią zrozumienie, jak działają struny. (Miękka guma jest do tego dobra, Węże ogrodowe nie są wystarczająco elastyczne.) Najpierw przytrzymaj lub zaciśnij jeden koniec, a następnie, trzymając drugi koniec nadal w jednej ręce, rozciągnij go trochę (nie za dużo, małe ugięcie nie zaszkodzi). Teraz odciągnij go na bok drugą ręką, aby zrobić załamanie, a następnie puść. (To, w zwolnionym tempie, jest to, co się dzieje, gdy zrywasz sznurek.) Prawdopodobnie zobaczysz, że załamanie przemieszcza się w dół „sznurka”, a następnie wraca do ciebie. Nagle szarpie twoją rękę na boki, ale jeśli mocno ją trzymasz, odbije się ponownie.

najpierw zauważysz, że prędkość fali w strunie wzrasta, jeśli ją mocniej rozciągniesz. Jest to przydatne do strojenia instrumentów – ale wyprzedzamy się. Zależy to również od” ciężaru ” Sznurka – porusza się wolniej w grubym, ciężkim sznurku niż w lekkim sznurku o tej samej długości pod tym samym napięciem. (Ściśle, to stosunek napięcia do masy na jednostkę długości określa prędkość, jak zobaczymy poniżej.)

następnie przyjrzyjmy się odbiciu na stałym końcu. Zauważysz, że jeśli początkowo pociągniesz sznurek w lewo, załamanie, które oddala się od ciebie, jest w lewo, ale wraca jako załamanie w prawo – odbicie jest odwrócone. Efekt ten jest ważny nie tylko w instrumentach smyczkowych, ale także w instrumentach dętych i perkusji. Kiedy fala napotyka granicę z czymś, co nie porusza się lub nie zmienia (lub nie zmienia się łatwo), odbicie jest odwrócone. (Fakt, że jest odwrócony daje zerowe przemieszczenie na końcu. Jednak odbicie przy każdej zmianie fazy da falę stojącą.)

wyrwane struny

jeśli wyrywasz jedną strunę na gitarze lub basie, robisz coś podobnego, chociaż tutaj struna jest zamocowana na obu końcach. Wyciągasz sznurek w jednym punkcie, a następnie zwalniasz go, jak pokazano. Następujący po nim ruch jest interesujący, ale skomplikowany. Początkowy ruch pokazano poniżej. Jednak wysokoczęstotliwościowe składowe ruchu (ostre zakręty w strunie) szybko znikają – dlatego dźwięk nuty gitary staje się bardziej łagodny w sekundę lub więcej po jej wyrwaniu.

szkic odbicia podróży załamania spowodowane zerwaniem struny. W chwilach reprezentowanych przez (e) I (m), ciąg jest prosty, więc stracił energię potencjalną związaną z ciągnięciem go na boki, ale ma maksymalną energię kinetyczną. Zauważ, że przy odbiciach Faza załamania zmienia się o 180°: od góry do dołu lub odwrotnie. Zauważ również, jak załamania „przechodzą” przez siebie, gdy spotykają się w środku.

dlaczego odbicie jest odwrócone? Cóż, jeśli założymy, że jest zaciśnięty lub przywiązany do nieruchomego obiektu, punkt odbicia nie poruszył się. Ale spójrz na ruch struny, porównując różne czasy przedstawione w szkicach lewej ręki. Zauważ, że ciąg za załamaniem przesuwa się z powrotem w kierunku niezakłóconej pozycji (w dół w szkicu). Gdy załamanie zbliża się do końca, staje się mniejsze, a gdy osiągnie nieruchomy koniec, w ogóle nie ma załamania – struna jest prosta przez chwilę. Ale struna nadal ma swój pędu w dół, a to przenosi go poza pozycję spoczynkową i wytwarza załamanie po drugiej Stronie, które następnie porusza się z powrotem w innym kierunku. (Ruch fal w strunach jest opisany bardziej szczegółowo w falach wędrownych, które mają klipy filmowe i animacje. Na tej stronie skupimy się jednak na implikacjach muzycznych. )

jak wspomniano powyżej, ruch ten jest obserwowany tylko natychmiast po zerwaniu. Gdy komponenty o wysokiej częstotliwości tracą energię, ostre załamania znikają, a kształt stopniowo zbliża się do podstawowego trybu wibracji, o którym mówimy poniżej.

pochylona struna zachowuje się raczej inaczej

po pierwsze, ma ciągłe źródło energii, a więc może utrzymywać ten sam ruch w nieskończoność (lub przynajmniej do momentu, gdy zabraknie łuku. Po drugie, kształt Sznurka wymagany do dopasowania równomiernie poruszającego się łuku jest inny.

szkic odbicia wędrujących załamań spowodowanych kłanianiem się Sznurka. Zobacz animację i Wyjaśnienie interakcji łuk-struna w łukach i strunach

fale podróżne i fale stojące

ciekawy efekt występuje, jeśli próbujesz wysłać prostą falę wzdłuż sznurka, wielokrotnie machając jednym końcem w górę iw dół. Jeśli znalazłeś odpowiednią sprężynę lub gumowy wąż, wypróbuj go. W przeciwnym razie, spójrz na te diagramy.


animacja pokazuje interakcję dwóch fal, o jednakowej częstotliwości i wielkości, poruszających się w przeciwnych kierunkach: niebieski z prawej, Zielony Z Lewej. Czerwona linia jest ich sumą: czerwona fala jest tym, co dzieje się, gdy dwie wędrujące fale łączą się (superpose to termin techniczny). Zatrzymując animację, możesz sprawdzić, czy czerwona fala jest sumą dwóch poruszających się fal.

rysunek po prawej stronie jest tym samym diagramem przedstawionym jako sekwencja czasu – czas wzrasta od góry do dołu. Można o tym pomyśleć jako o serii zdjęć fal, zrobionych bardzo szybko. Czerwona fala jest tym, co faktycznie zobaczylibyśmy na takich zdjęciach.

Załóżmy, że granica prawej ręki jest nieruchomą ścianą. Jak omówiono powyżej, fala jest odwrócona po odbiciu, więc na każdym „zdjęciu” niebieski plus zielony dodaje się do zera na granicy prawej strony. Odbita (zielona) fala ma tę samą częstotliwość i amplitudę, ale porusza się w przeciwnym kierunku.

na stałym końcu dodają, aby nie dawać ruchu – zerowe przemieszczenie: przecież to ten stan bezruchu powoduje odwrócone odbicie. Ale jeśli spojrzysz na czerwoną linię w animacji lub diagramie (sumę dwóch fal), zobaczysz, że istnieją inne punkty, w których łańcuch nigdy się nie porusza! Występują w połowie długości fali od siebie. Te nieruchome punkty nazywane są węzłami drgań i odgrywają ważną rolę w prawie wszystkich rodzinach instrumentów. W połowie drogi między węzłami znajdują się antynody: punkty maksymalnego ruchu. Zauważ jednak, że te szczyty nie poruszają się wzdłuż sznurka: połączenie dwóch fal poruszających się w przeciwnych kierunkach tworzy falę stojącą.

jest to pokazane na animacji i rysunku. Zwróć uwagę na pozycje (węzły), w których dwie wędrujące fale zawsze się anulują, a pozostałe (antynody), w których dodają, aby dać oscylację z maksymalną amplitudą.

można by pomyśleć o tym diagramie jako reprezentacji (nie do skalowania) piątej harmonicznej na strunie, której długość jest szerokością diagramu. To prowadzi nas do następnego tematu.

harmoniczne i tryby

struna na instrumencie muzycznym jest (prawie) zamocowana na obu końcach, więc wszelkie wibracje struny muszą mieć węzły na każdym końcu. To ogranicza możliwe wibracje. Na przykład struna o długości L może mieć falę stojącą o długości fali dwa razy dłuższej niż struna (długość fali λ = 2L), jak pokazano na pierwszym szkicu w następnej serii. Daje to węzeł na obu końcach i antynodę w środku.

jest to jeden z trybów wibracji struny („tryb wibracji” oznacza po prostu styl lub sposób wibracji). Jakie inne tryby są dozwolone na łańcuchu stałym na obu końcach? Kilka fal stojących jest pokazanych w następnym szkicu.



szkic pierwszych czterech trybów wibracji wyidealizowanego * rozciągniętego sznurka o stałej długości. Oś pionowa została wyolbrzymiona.

opracujmy relacje między częstotliwościami tych trybów. Dla fali częstotliwość jest stosunkiem prędkości fali do długości fali: f = V / λ. W porównaniu z długością strun L, widać, że fale te mają długości 2L, L, 2L / 3, L/2. Możemy to zapisać jako 2L / n, gdzie n jest liczbą harmoniczną.

podstawowy lub pierwszy tryb ma częstotliwość f1 = V/λ1 = v/2L,
druga harmonia ma częstotliwość f2 = V/λ2 = 2V/2L = 2F1
trzecia harmonia ma częstotliwość f3 = V/λ3 = 3v/2L = 3f1,
czwarta harmonia ma częstotliwość f4 = V/λ4 = 4v/2L = 4F1 i, aby uogólnić,

N-ta harmoniczna ma częstotliwość FN = v/λn = NV/2L = NF1.

wszystkie fale w strunie poruszają się z tą samą prędkością, więc te fale o różnych długościach fal mają różne częstotliwości, jak pokazano. Tryb o najniższej częstotliwości (f1) nazywany jest podstawowym. Zauważ, że n-ty tryb ma częstotliwość N razy podstawową. Wszystkie tryby (i dźwięki, które produkują)nazywane są harmonicznymi struny. Częstotliwości f, 2F, 3f, 4F itp. nazywane są szeregami harmonicznymi. Seria ta będzie znana większości muzyków, szczególnie buglers i graczy naturalnych rogów. Jeśli na przykład podstawowym jest nuta C3 lub altówka C (Częstotliwość nominalna 131 Hz: patrz ten link do tabeli), to harmoniczne będą miały wysokość pokazaną na następnym rysunku. Dźwięki te zostały przybliżone do najbliższego ćwierćtonu. Oktawy są dokładnie oktawami, ale wszystkie pozostałe interwały różnią się nieco od interwałów w równej skali temperowanej.

rysunek przedstawia zapis muzyczny pierwszych dwunastu harmonicznych na strunie C. Podczas odtwarzania pliku dźwiękowego uważnie słuchaj wysokości dźwięku. Harmoniczne siódme i jedenaste opadają mniej więcej w połowie między nutami na równi temperowanej skali, tak więc zapisywane są pół ostrymi.

możesz produkować te dźwięki na rozciągniętej strunie: najłatwiej na niskich strunach gitary, wiolonczeli lub basu*. Dotknij lekko sznurka w punkcie 1/n jego długości od końca (gdzie n to 1, 2, 3 itd.), a następnie pochyl sznurek blisko końca. Alternatywnie, dotknij bardzo lekko sznurka w punkcie 1/n jego długości od końca, zerwaj sznurek blisko końca i zwolnij pierwszy palec zaraz po zerwaniu. Dotknięcie ciągu tworzy węzeł, w którym się dotyka, a więc wzbudza się (głównie) tryb, w którym znajduje się węzeł. Przekonasz się, że możesz grać melodie bugle za pomocą harmonicznych od dwóch do sześciu strun.

(*jeśli właśnie wykonałeś ten eksperyment, być może zauważyłeś pewne osobliwości. Dwunasty próg, który jest używany do wytworzenia oktawy, jest mniejszy niż w połowie długości struny, a więc pozycja, w której dotykasz struny, aby wytworzyć drugą harmoniczną – w połowie struny – nie jest bezpośrednio nad progiem oktawy. Powiedziałem” wyidealizowany ” ciąg powyżej, co oznacza ciąg, który jest całkowicie elastyczny i dzięki temu może łatwo zginać się na każdym końcu. W praktyce struny mają skończoną sztywność zginania, a więc ich długość efektywna („L”, która powinna być używana w powyższych wzorach) jest nieco mniejsza niż ich długość fizyczna. Jest to jeden z powodów, dla których większe struny mają zwykle uzwojenie na cienkim rdzeniu, dlaczego most jest zwykle pod kątem, który daje grubsze struny o dłuższej długości i dlaczego (solidna) struna G na gitarze klasycznej ma słabe strojenie na wyższych progach. Istnieje również efekt ze względu na dodatkowe rozciąganie Sznurka, gdy jest popychany do podstrunnicy, efekt, który jest znaczny na stalowych strunach.)

ćwiczenie dla gitarzystów. Na gitarze dostrojonej w zwykły sposób, struna B i wysoka struna E są w przybliżeniu dostrojone do trzeciej i czwartej harmonicznej niskiej struny E. Jeśli wyciągniesz strunę low E gdziekolwiek poza jedną trzecią drogi wzdłuż, struna B powinna zacząć wibrować, napędzana wibracjami w moście z harmoniki pierwszej struny. Jeśli wyciągniesz niski ciąg E gdziekolwiek poza jedną czwartą drogi wzdłuż, górny ciąg E powinien być napędzany podobnie.

strojenie harmoniczne na gitarach

gitarzyści często zaczynają stroić w następujący sposób: najpierw dostroić czwartą harmonikę niskiej struny E, trzecią strunę a i górne e, wszystkie do tej samej nuty. Rysunek po prawej pokazuje szereg harmoniczny na dwóch najniższych strunach. nastÄ ™ pnie dostrajajä … strunä ™ B (B3) do trzeciej harmonicznej pierwszej (E2); nastÄ ™ pnie dostrajajä … 4 harmonicznä … strunä ™ a do trzeciej struny D. Tej metody nie można z powodzeniem rozszerzyć na strunę G, ponieważ jest ona zwykle zbyt gruba i sztywna, więc lepiej strojona jest oktawami, przy użyciu progów. Z kilku powodów (patrz nuty na końcu tej strony) ta metoda strojenia jest tylko przybliżona, a następnie trzeba przestroić oktawy. Najlepsze strojenie jest zwykle kompromisem, który należy zrobić po rozważeniu, jakie akordy będziesz grać i gdzie grasz na podstrunnicy.

strojenie gitary przez harmoniki. (To są prawdziwe boiska: muzyka gitarowa jest zwykle transponowana w górę o oktawę.)

harmoniczne w muzyce

Kompozytorzy często wzywają do takich harmonicznych na instrumentach smyczkowych: najczęściej jest to „dotyk czwarty”. Jednym palcem gracz zatrzymuje strunę, aby uzyskać długość wymaganą dla danej nuty, a następnie, używając innego palca, dotyka struny bardzo lekko w pozycji wymaganej dla nuty o cztery nuty wyżej w skali (stąd nazwa). Ta pozycja jest jedną czwartą drogi wzdłuż struny, więc wytwarza czwartą harmoniczną stopu. Czwarta harmonia ma czterokrotnie większą częstotliwość podstawową, a więc jest o dwie oktawy wyższa. Dla graczy strunowych harmoniczne są nazywane „naturalnymi”; gdy są odtwarzane na otwartych strunach i” sztucznymi”; jeśli gracz musi zatrzymać strunę. Diagram pokazuje, jak gra się naturalną czwartą dotykową, a zapis dla czwartej dotykowej na skrzypcach struną. Pionowa oś diagramu została wyolbrzymiona dla jasności.


Otwórz strunę graną normalnie, a następnie dotknij czwartej na tej strunie (4. harmoniczna)

wysokość nuty zależy od tego, jak szybko struna wibruje. To zależy od czterech rzeczy:

• grubsze, masywniejsze struny wibrują wolniej. Na skrzypcach, gitarach itp. Otwarta długość struny nie zmienia się, a zazwyczaj napięcie nie zmienia się zbytnio (wszystkie są równie trudne do zepchnięcia). Więc niskie struny są grubsze.
• częstotliwość wzrasta wraz z napięciem struny. W ten sposób dostrajasz instrument, używając głowic maszynowych lub kołków strojących: ciaśniej daje wyższy ton.
• ważna jest również długość struny, która może wibrować. Kiedy zatrzymujesz strunę na podstrunnicy wiolonczeli, na przykład, skracasz efektywną długość i podnosisz wysokość.
• możesz również zmienić wysokość dźwięku, zmieniając tryb wibracji. Kiedy grasz harmoniczne, wywołujesz strunę, aby wytworzyć fale, które są ułamkiem długości tych, które normalnie wytwarza struna o tej długości.

  możemy to wszystko umieścić w prostym wyrażeniu. Jeśli wibrująca część struny ma długość L i masę m, jeśli napięcie w strunie wynosi F i jeśli grasz n-tą harmoniczną, to otrzymana częstotliwość wynosi

  fn = (n/2L)(FL/m)1/2 = (n/2)(F/LM)1/2.

  w instrumentach takich jak skrzypce i gitara, Otwarta długość i napięcie są dość podobne dla wszystkich strun. Oznacza to, że aby struna była niższa o oktawę, przy zachowaniu tej samej długości, należy czterokrotnie zwiększyć stosunek M/L. Jeśli struny są wykonane z tego samego materiału, oznacza to podwojenie średnicy. Jednak struny tłuszczowe są zwykle złożone: cienki rdzeń owinięty uzwojeniami, aby uczynić je bardziej masywnymi, nie utrudniając ich zginania.

  zobaczmy skąd pochodzi to wyrażenie. Fala przemierza odległość λ w jednym okresie t drgań, więc v = λ/T. częstotliwość f = 1/T = V/λ. Więc f = V / λ. Widzieliśmy również, że dla podstawowej częstotliwości f1 długość struny wynosi λ/2, więc f1 = v/2L. prędkość fali jest określona przez napięcie struny F i masę na jednostkę długości lub gęstość liniową μ = M/L, v = (F/μ)1/2 = (FL/m)1/2. Więc f1 = ½(f/LM)1/2. Mnożenie obu stron przez n daje częstotliwości harmonicznych przytoczonych powyżej.

  możemy to zmienić tak, aby dać napięcie struny: F = 4f12LM.

komplikacje ze strojeniem harmonicznym

istnieje kilka problemów ze strojeniem gitary, w tym z wykorzystaniem harmonicznych sugerowanych powyżej.

najbardziej oczywiste przybliżenie jest związane z temperamentem: gdyby struny gitarowe były idealne, a progi idealnie rozmieszczone dla równego temperamentu, dostrojenie czwartych harmonicznych do par E-A i A-D, plus dwa równe półtony hartowane na strunie D, sprawiłoby, że interwał między NAJNIŻSZYM e a drugim progiem na strunie d byłby płaski o 4 centy ((4/3)222/12=1,996). Prowadziłoby to do uderzeń interferencyjnych z szybkością rzędu jednego co kilka sekund.

kolejną oczywistą komplikacją przy strojeniu harmonicznym jest to, że struny nie zginają się z całkowitą łatwością nad nakrętką i mostkiem (jak omówiono powyżej). Zobacz też jak harmoniczne są harmoniczne.) W rezultacie pierwszy wydźwięk na strunie jest nieco ostrzejszy niż oktawa, następny nawet ostrzejszy niż dwunastka i tak dalej. Tak więc dostrojenie czwartej 'harmonicznej’ struny E do trzeciej struny a sprawia, że ich otwarty interwał jest większy niż harmoniczna czwarta. To ma tendencję do kompensowania problemu temperamentu.

kolejny problem dotyczy progu i umieszczenia mostu. Kiedy naciśniesz sznurek na dwunastym progu, zwiększasz jego długość. (Przed naciśnięciem go, Najkrótsza odległość między nakrętką a mostkiem. Potem jest dłużej.) Aby go wydłużyć, zwiększyłeś jego napięcie. Z tego powodu, a także z powodu efektu zginania na końcu sznurka, jeśli 12. próg byłby w połowie drogi między nakrętką a mostkiem, interwał byłby większy niż oktawa. (Można to sprawdzić eksperymentalnie na bezpretensjonalnym instrumencie.) W związku z tym odległość od mostu do 12 progu jest większa niż od nakrętki do 12 progu. Efekt różni się między strunami. W niektórych gitarach elektrycznych możliwa jest indywidualna regulacja położenia każdego mostu. W innych gitarach mostek umieszczony jest pod kątem. W gitarze klasycznej prosty prosty most wymaga pewnego kompromisu w strojeniu.

powyższe efekty są trudną miarą z eksperymentalnie wymaganą precyzją: efekty są tylko kilka centów, co nie jest dużo większe niż precyzja uszu lub miernika strojenia po nałożeniu na strunę strunową. Ponadto trudno jest wyregulować głowice maszyn, aby osiągnąć precyzję lepszą niż kilka centów. Z drugiej strony, jeśli dostroisz wszystkie nuty w ciągu kilku centów, radzisz sobie lepiej niż większość muzyków i będzie to brzmiało całkiem nieźle!

istnieją dalsze problemy, gdy ciągi się starzeją. Gdzie palcujesz je lewą ręką, zbierają tłuszcz i stają się bardziej masywne(chociaż mogą również tracić materiał, gdzie pocierają progi). Mogą również nosić tam, gdzie je wybierasz. W miarę jak struny stają się niejednorodne, strojenie sukcesywnie się pogarsza. Mycie ich może pomóc.

sposobem na obejście większości tych problemów jest granie na instrumentach bezpretensjonalnych, ale to sprawia, że akordy są bardziej niezręczne.

pozycje skali są tylko w intonacji. Dotyk w 2/9 jest bezpieczniejszy niż w 1/9, ale nie spada powyżej żadnej pozycji nuty skali: jest nieco powyżej małej trzeciej. Altowioliści lub wiolonczeliści ćwiczący „Practiting Infinity” (sic) Radulescu proszeni są o napisanie do mnie dalszych sugestii dotyczących technik wysokich harmonicznych.

Zobacz też jak harmoniczne są harmoniczne?

akustyka Harfowa

jedyna praca, jaką wykonaliśmy na harfach, jest opisana tutaj.

więcej informacji

• fale stojące i fale podróżne z Physclips mają klipy filmowe i animacje.
• smyczki i struny (proste wprowadzenie do tej interakcji).
• studia na skrzypcach (więcej informacji o naszych studiach na skrzypcach).
• wzory Chladni (wyniki eksperymentalne pokazujące wibracje płyt skrzypiec).
• artykulacja i vibrato na skrzypcach i ich znaczenie dla brzmienia skrzypiec.
• Violin acoustics: an overview (a simple introduction to violin acoustics).
• Prace Naukowe Johna Mclennana, doktoranta w dziedzinie akustyki Muzycznej w UNSW.
• wprowadzenie do akustyki fletu (z omówieniem harmonicznych w kolumnie powietrznej).