teoria węzłów

teoria węzłów, w matematyce, badanie krzywych zamkniętych w trzech wymiarach i ich możliwych deformacji bez przecinania jednej części przez drugą. Węzły mogą być uważane za utworzone przez przeplot i zapętlenie kawałka sznurka w dowolny sposób, a następnie połączenie końców. Pierwszym pytaniem, które się pojawia, jest to, czy taka krzywa jest naprawdę splątana, czy może być po prostu rozplątana; to znaczy, czy można ją deformować w przestrzeni, czy nie, w standardową krzywą nierozplątaną, taką jak okrąg. Drugie pytanie brzmi, czy, bardziej ogólnie, dowolne dwie podane krzywe reprezentują różne węzły lub są rzeczywiście tym samym węzłem w tym sensie, że jeden może być stale zdeformowany w drugi.

Britannica Quiz

wszystko o matematyce Quiz

Twój nauczyciel algebry miał rację. Będziesz korzystać z matematyki po ukończeniu studiów-do tego quizu! Zobacz, co pamiętasz ze szkoły, a może dowiedzieć się kilku nowych faktów w trakcie.

podstawowe narzędzie do klasyfikacji węzłów polega na rzutowaniu każdego węzła na płaszczyznę-obrazowaniu cienia węzła pod światłem – i zliczaniu liczby razy rzutowanie się przecina, zauważając przy każdym przejściu, który kierunek idzie „nad”, a który „pod”.”Miarą złożoności węzła jest najmniejsza liczba skrzyżowań, które występują, gdy węzeł jest poruszany na wszystkie możliwe sposoby. Najprostszym możliwym prawdziwym węzłem jest węzeł trefoil lub węzeł overhand, który ma trzy takie skrzyżowania; kolejność tego węzła jest zatem oznaczona jako trzy. Nawet ten prosty węzeł ma dwie konfiguracje, które nie mogą być zdeformowane w siebie, chociaż są lustrzanymi odbiciami. Nie ma węzłów przy mniejszej liczbie przejazdów, a wszystkie inne mają co najmniej cztery.

liczba wyróżniających się węzłów gwałtownie rośnie wraz ze wzrostem rzędu. Na przykład istnieje prawie 10 000 różnych węzłów z 13 skrzyżowaniami i ponad milion z 16 skrzyżowaniami—najwyższy znany pod koniec XX wieku. Niektóre węzły wyższego rzędu można podzielić na kombinacje, zwane produktami, węzłów niższego rzędu; na przykład węzeł kwadratowy i węzeł Babuni (węzły szóstego rzędu) są produktami dwóch przęseł, które mają tę samą lub przeciwną chiralność lub ręczność. Węzły, które nie mogą być tak rozwiązane, nazywane są pierwszymi.

pierwsze kroki w kierunku matematycznej teorii węzłów zostały podjęte około 1800 roku przez niemieckiego matematyka Carla Friedricha Gaussa. Początki współczesnej teorii węzłów wynikają jednak z sugestii Szkockiego matematyka-fizyka Williama Thomsona (Lord Kelvin) w 1869 roku, że atomy mogą składać się z wiązanych rur wirowych eteru, z różnymi elementami odpowiadającymi różnym węzłom. W odpowiedzi współczesny Szkocki matematyk-fizyk Peter Guthrie Tait podjął pierwszą systematyczną próbę klasyfikacji węzłów. Chociaż teoria Kelvina została ostatecznie odrzucona wraz z eterem, teoria knot nadal rozwijała się jako teoria czysto matematyczna przez około 100 lat. Następnie przełom nowozelandzkiego matematyka Vaughana Jonesa w 1984 roku, wraz z wprowadzeniem wielomianów Jonesa jako nowych niezmienników węzłów, skłonił amerykańskiego fizyka matematycznego Edwarda Wittena do odkrycia związku między teorią węzłów a kwantową teorią pola. (Za swoją pracę obaj mężczyźni otrzymali medale Fieldowe w 1990 roku.) W innym kierunku amerykański matematyk (i współpracownik Fieldsa) William Thurston uczynił ważny związek między teorią węzłów a geometrią hiperboliczną, z możliwymi konsekwencjami w kosmologii. Inne zastosowania teorii węzłów zostały dokonane w biologii, chemii i fizyce matematycznej.