Trajektoria hiperboliczna

podobnie jak Orbita eliptyczna, trajektoria hiperboliczna dla danego układu może być zdefiniowana (ignorując orientację) przez jego półosi głównej i mimośrodowość. Jednak przy orbicie hiperbolicznej inne parametry mogą być bardziej przydatne w zrozumieniu ruchu ciała. Poniższa tabela przedstawia główne parametry opisujące drogę ciała po trajektorii hiperbolicznej wokół innego według założeń standardowych oraz łączący je wzór.

równania trajektorii hiperbolicznej

Element	Symbol	wzór	używając v ∞ {\displaystyle v_ {\infty }} (lub A {\displaystyle a} ), i b {\displaystyle b}
Standardowy parametr grawitacyjny	μ {\displaystyle \mu \,}	v 2(2 / r − 1/A ) {\displaystyle {\frac {V^{2}} {(2/r-1 / a)}}}	b v ∞ 2 cot θ θ ∞ {\displaystyle bv_ {\infty} ^{2} \ cot \ theta _{\infty }}
ekscentryczność (>1)	e {\displaystyle e}	ℓ r p-1 {\displaystyle {\frac {\ell }{r_{p}}}-1}	1 + b 2 / a 2 {\displaystyle {\sqrt {1+B^{2} / a^{2}}}}
Oś Półgłówna (<0)	a {\displaystyle A\,\!	1 / ( 2 / r-v 2/μ ) {\displaystyle 1/(2 / r-V^{2} / \mu )}	− μ / v ∞ 2 {\displaystyle- \ mu / v_ {\infty }^{2}}
hiperboliczna nadmierna prędkość	v ∞ {\displaystyle v_ {\infty }}	− μ / a {\displaystyle {\sqrt {- \mu /a}}}
(zewnętrzny) kąt pomiędzy asymptoty	2 θ ∞ {\displaystyle 2 \ theta _{\infty }}	2 cos − 1 ⁡ (- 1 / e ) {\displaystyle 2\cos ^{-1} (-1 / e)}	π + 2 tan-1 ⁡ ( b / A ) {\displaystyle \pi +2\tan ^{-1}(b/a)}
kąt między asymptotami a sprzężoną osią hiperbolicznej ścieżki podejścia	2 ν {\displaystyle 2\nu }	2 θ ∞ – π {\displaystyle 2 \ theta _{\infty}- \ pi}	2 sin-1 ⁡ ( 1 ( 1 + R p ∗ V ∞ 2 / μ ) ) {\displaystyle 2\sin ^{-1}{\bigg (}{\frac {1} {(1 + r_{p} * v_ {\infty }^{2}/\mu)}} {\bigg )}}
parametr uderzenia (oś Semi-moll)	B {\displaystyle b}	− A e 2-1 {\displaystyle -A{\sqrt {e^{2}-1}}}
odbytnicy z полулатусом	ℓ {\styl wyświetlania \ell }	i ( e 2 − 1 ) {\styl wyświetlania a(e^{2}-1)}	− b 2 / a = h 2 / µ {\styl wyświetlania -b^{2}/a=h^{2}/\mu }
Odległość do периапсиса	r p {\styl wyświetlania r_{p}}	i (1 − e ) {\styl wyświetlania a(1-e)}	a 2 + b 2 + A {\displaystyle {\sqrt {a^{2} + b^{2}}}+a}
Energia orbitalna właściwa	ε {\displaystyle \varepsilon }	− μ /2 A {\displaystyle -\mu /2A}	V ∞ 2 / 2 {\displaystyle v_ {\infty }^{2}/2}
określony moment pędu	h {\displaystyle h}	μ ℓ {\displaystyle {\sqrt {\mu \ell }}}	b v ∞ {\displaystyle bv_ {\infty }}

Oś półgłówna, energia i nadmiar hiperbolicznyedit

oś półgłówna ( A {\displaystyle A\,\!}

) nie jest od razu widoczny z trajektorią hiperboliczną, ale może być skonstruowany, ponieważ jest to odległość od periapsis do punktu, w którym krzyżują się dwie asymptoty. Zwykle, zgodnie z konwencją, jest ujemny, aby utrzymać różne równania zgodne z orbitami eliptycznymi.

oś półprzezroczysta jest bezpośrednio związana z określoną energią orbitalną ( ϵ {\displaystyle \ epsilon \,}

) lub energia charakterystyczna C 3 {\displaystyle C_{3}}

orbity, a do prędkości, którą ciało osiąga, gdy odległość zmierza do nieskończoności, hiperboliczna prędkość nadmiarowa (v ∞ {\displaystyle v_ {\infty }\,\!

). v ∞ 2 = 2 ϵ = C3 = − μ / a {\styl wyświetlania v_{\infty }^{2}=2\epsilon =C_{3}=-\mu /a}

lub a = − μ / v ∞ 2 {\styl wyświetlania a=-{\mu /{ v_{\nieskończoność }^{2}}}}

gdzie: μ = G m {\displaystyle \mu =Gm\,\!}

jest standardowym parametrem grawitacyjnym i C 3 {\displaystyle C_{3}}

to energia charakterystyczna, powszechnie używana w planowaniu misji międzyplanetarnych

zauważ, że całkowita energia jest dodatnia w przypadku trajektorii hiperbolicznej (podczas gdy jest ujemna dla orbity eliptycznej).

Mimośrodowość i kąt między podejściem a odlotemedytuj

przy hiperbolicznej trajektorii mimośrodowość orbitalna ( e {\displaystyle e\,}

) jest większe niż 1. Mimośrodowość jest bezpośrednio związana z kątem między asymptotami. Przy mimośrodzie nieco ponad 1 hiperbola ma ostry kształt litery „v”. At e = 2 {\displaystyle e = {\sqrt {2}}}

asymptoty są pod kątem prostym. Z e > 2 {\displaystyle e>2}

asymptoty są oddalone od siebie o więcej niż 120°, a odległość periapsy jest większa niż oś półprzezroczysta. Wraz ze wzrostem mimośrodowości ruch zbliża się do linii prostej.

kąt między kierunkiem periapsy a asymptotą od ciała centralnego jest prawdziwą anomalią, ponieważ odległość dąży do nieskończoności (θ ∞ {\displaystyle \theta _{\infty }\,}

), so 2 θ ∞ {\displaystyle 2 \ theta _{\infty }\,}

jest zewnętrznym kątem między kierunkiem podejścia i wyjścia (między asymptotami). Wtedy θ ∞ = cos − 1 ⁡ (- 1 / e ) {\displaystyle \theta {_{\infty }}=\cos ^{-1} (-1 / e)\,}

lub e = – 1 / cos θ θ ∞ {\displaystyle e = -1 / \ cos \ theta {_{\infty }}\,}

parametr uderzenia i odległość najbliższego podejścia Edytuj

trajektorie hiperboliczne, a następnie obiekty Zbliżające się do obiektu centralnego (mała kropka) z taką samą hiperboliczną prędkością nadmiarową (i półosią główną (=1)) i z tej samej kierunek, ale o różnych parametrach uderzenia i mimośrodowości. Żółta linia rzeczywiście przechodzi wokół centralnej kropki, zbliżając się do niej blisko.

parametr uderzenia to odległość, o jaką ciało, jeśli będzie podążać ścieżką niezakłóconą, ominie ciało Centralne przy najbliższym podejściu. W przypadku ciał doświadczających sił grawitacyjnych i podążających za trajektoriami hiperbolicznymi jest ona równa pół-mniejszej osi hiperboli.

w sytuacji, gdy statek kosmiczny lub Kometa zbliża się do planety, parametr uderzenia i nadmierna prędkość będą dokładnie znane. Jeśli ciało centralne jest znane, można teraz znaleźć trajektorię, łącznie z tym, jak blisko będzie Zbliżające się ciało w periapsis. Jeśli jest ona mniejsza niż promień planety, należy się spodziewać uderzenia. Odległość najbliższego podejścia, czyli odległość periapsis, jest określona przez:

r p = − A ( e − 1 ) = μ / v ∞ 2 ( 1 + ( b V ∞ 2 / μ ) 2 − 1 ) {\displaystyle r_{P}=-A(e-1)=\mu /v{_{\infty }}^{2}({\sqrt {1+(bv{_{\infty }}^{2} / \mu )^{2}}}-1)}

więc jeśli Kometa zbliża się do ziemi (efektywny promień ~6400 km) z prędkością 12.5 km / s (przybliżona minimalna prędkość zbliżania się ciała pochodzącego z zewnętrznego układu słonecznego) ma na celu uniknięcie zderzenia z ziemią, parametr uderzenia musi wynosić co najmniej 8600 km, czyli o 34% więcej niż promień Ziemi. Ciało Zbliżające się do Jowisza (promień 70000 km) z zewnętrznego układu słonecznego z prędkością 5,5 km/h będzie wymagało parametru uderzenia wynoszącego co najmniej 770 000 km lub 11 razy promień Jowisza, aby uniknąć kolizji.

jeśli masa ciała centralnego nie jest znana, jego standardowy parametr grawitacyjny, a tym samym jego masa, może być określony przez ugięcie mniejszego ciała wraz z parametrem uderzenia i prędkością zbliżania. Ponieważ zazwyczaj wszystkie te zmienne można dokładnie określić, przelot statku kosmicznego zapewni dobre oszacowanie masy ciała.

μ = b v ∞ 2 tan δ δ / 2 {\displaystyle \ mu = bv_ {\infty }^{2}\Tan \ delta /2}

gdzie δ = 2 θ ∞ − π {\displaystyle \delta =2\theta _{\infty }-\pi }

to kąt, w którym mniejsze ciało jest odchylone od linia prosta w swoim przebiegu.