många funktioner i applikationer byggs upp från enkla funktioner genom att sätta in konstanter på olika ställen. Det är viktigt att förståeffekten av sådana konstanter har på grafens utseende.
horisontella Skift. Om vi ersätter $x$ med $x-C $ överallt detförekommer i formeln för $f (x)$, skiftar grafen över $C$ tillrätt. (Om $C$ är negativt betyder det att grafen skiftar över$|C|$ till vänster.) Till exempel grafen på $y=(x-2)^2$ är$x^2$-parabolen skiftad över för att ha sitt toppunkt vid punkten 2 på$x$-axeln. Grafen på $y=(x + 1)^2$ är samma parabola skiftad över till vänster för att ha sitt toppunkt på $-1$ på $x$-axeln. Notera väl: när du ersätter $x$ med $x-C$ måste vi vara uppmärksamma på mening, intemerely utseende. Börjar med $y=x^2$ och bokstavligen ersätter $x$med $x-2$ ger $y=x-2^2$. Detta är $y=x-4$, en linje med lutning 1, inte ashifted parabola.
vertikala Skift. Om vi ersätter $y$ med $y-d$, då grafenflyttar upp$ D $ enheter. (Om $D$ är negativt betyder det att grafenflyttar ner $ / D / $ enheter.) Om formeln skrivs i formuläret$y=f(x)$ och om $y$ ersätts med $y-D$ för att få $y-d=f(x)$, kan viflytta motsvarande $D$ till andra sidan ekvationen och skriv$y=f (x)+D$. Således kan denna princip anges: för att fågraf av $y=f(x)+D$, ta grafen på $y=f(x)$ och flytta den $D$ enheter upp.Till exempel kan funktionen $y=x^2-4x=(x-2)^2-4$ erhållas från$y=(x-2)^2$ (Se sista stycket) genom att flytta grafen 4 enheter ner.Resultatet är $x^2$-parabolen skiftade 2 enheter till höger och 4 unitsdown för att få sitt toppunkt vid punkten $(2,-4)$.
Varning. Förväxla inte $f(x)+D$ och $f (x+D)$. Till exempel, om $f(x)$ är funktionen $x^2$, då $f(x)+2$ är funktionen $x^2+2$, medan $f(x+2)$ är funktionen $(x+2)^2=x^2+4x+4$.
exempel 1.4.1 (cirklar) ett viktigt exempel på ovanstående två principerbörjar med cirkeln $x^2+y^2=r^2$. Detta är cirkeln med radie$r$ centrerad vid ursprunget. (Som vi såg är detta inte en enda funktion$y=f(x)$, utan snarare två funktioner $y=\pm\sqrt{r^2-x^2}$ Sätta ihop;i alla fall gäller de två skiftande principerna för ekvationer som dettaen som inte är i formen $y=f (x)$.) Om vi ersätter $x$med $x-C$ och ersätter $y$ med $ y-d$ – att få ekvationen$(x-C)^2+(y-D)^2=r^2$—effekten på cirkeln är att flytta den $C$ tillhöger och $D$ upp och därigenom erhålla radiecirkeln $r$centrerad vid punkten $(C, D)$. Detta berättar hur vi skriverkvation av någon cirkel, inte nödvändigtvis centrerad vid ursprunget.
vi kommer senare att vilja använda ytterligare två principer om effekterna avkonstanter på utseendet på grafen för en funktion.
horisontell utvidgning. Om $x$ ersätts med$x / A$ i en formel och $a>1$, är effekten på grafen attexpandera den med en faktor på $A$ i $x$-riktningen (bort från$y$-axeln). Om $A$ är mellan 0 och1 är effekten på grafen att kontrakta med en faktor på $1/A$(mot $y$-axeln). Vi använder ordet ”utvidga” för att betyda expandera eller kontrakt.
till exempel ersätter $x$ med$x/0.5=x/(1/2)=2x$ effekten att kontrahera mot $y$-axeln med en faktorav 2. Om $A$ är negativt vidgas vi med en faktor $ / a / $ och sedanflip om$y $ -axeln. Således ersätter $x$ med $ – x$ effekten avtar spegelbilden av grafen med avseende på $y$-axeln. Till exempel erhålls funktionen $y=\sqrt{-x}$, som har domänen $\{x\i\R\mid x\le 0\}$, genom att ta grafen på $\sqrt{x}$ och vända den runt $y$-axeln iden andra kvadranten.
vertikal utvidgning. Om $y$ ersätts med $y / B$ i en formel och$B>0$, är effekten på grafen att utvidga den med en faktor på $B$ iden vertikala riktningen. Som tidigare är detta en expansion ellerkontraktion beroende på om $B$ är större eller mindre än en.Observera att om vi har en funktion $y=f(x)$,ersätter $y$ med $y/B$ motsvarar att multiplicera funktionen pårätt med $B$: $y=Bf(x)$. Effekten på grafen är att expandera bildenbort från $x$ – axeln med en faktor på $B $ om $b>1$, för att kontrakta den mot $x$ – axeln med en faktor på $1 / b$ om $0
exempel 1.4.2 (ellipser)ett grundläggande exempel på de två expansionsprinciperna ges av en ellipsof semimajor axis $A$ och semiminor axis $b$. Vi får en sådan ellips medbörjar med enhetscirkeln – cirkeln med radie 1 centrerad vidursprung, vars ekvation är $x^2 + y^2=1$—och dilaterar med en faktorav $a$ horisontellt och med en faktor på $b$ vertikalt. För att få ekvationen av den resultingellipse, som korsar $x$ – axeln vid $ \ pm a$ och korsar $y$-axisat $\pm b$, ersätter vi $x$ med $x/A$ och $y$ med $y/b$ i ekvationenför enhetscirkeln. Detta ger $$ \ vänster ({x\Över a}\Höger)^2+\vänster ({y\över b}\höger)^2=1\qquad\hbox{eller}\qquad {x^2\Över a^2}+{y^2\över b^2}=1.$$
slutligen, om vi vill analysera en funktion som involverar bådaskift och dilatationer, är det vanligtvis enklast att arbeta meddilatationer först och sedan skiftningarna. Om vi till exempel vill dilatera en funktion med en faktor på $A$ i $x$-riktningen och sedan flytta $C$ till höger gör vi detta genom att ersätta $x$ först med $x/A$och sedan med $(x-C)$ i formeln. Anta till exempel att vi, efter att ha utvidgat vår enhetscirkel med $a$ i $x$-riktningen och med $b$i $y$-riktningen för att få ellipsen i sista stycket, dåville flytta det ett avstånd $h$ till höger och ett avstånd $k$uppåt,så att det centreras vid punkten $(h, k)$. Den nya ellipsenskulle ha ekvation$$ \ vänster ({x-h\över A}\höger)^2+\vänster ({y-k\över b}\höger)^2=1.$ $ Notera väl att detta är annorlunda än att först göra SKIFT med $h$ och $k$ ochsedan utvidgningar med $A$ och $b$:$$\vänster({x\Över a}-h\höger)^2+\vänster({y\över b}-k\höger)^2=1.$ $ Se figur 1.4.1.
figur 1.4.1. Ellipser: $\vänster({x-1 \ över 2}\Höger)^2+\vänster({y-1\över 3}\höger)^2=1$ till vänster, $\vänster({x\över 2}-1\höger)^2+\vänster({y\över 3}-1\höger)^2=1$ till höger.
övningar 1.4
börja med grafen på $\ds y=\sqrt{x}$, grafen på $\ds y=1/x$ och grafen på $\ds y=\sqrt{1-x^2}$ (den övre enhetens halvcirkel), skissa grafen för var och en av följande funktioner:
Ex 1.4.1$\ds f(x)=\sqrt{x-2}$
Ex 1.4.2$\ds f (x)=-1-1/ (x+2)$
Ex 1.4.3$ \ ds f (x) = 4 + \ sqrt{x+2}$
Ex 1.4.4$ \ ds y=f(x)=x/(1-x) $
Ex 1.4.5$ \ ds y=f(x)=-\sqrt{-x}$
Ex 1.4.6$\ds f (x)=2+\sqrt{1 – (x-1)^2}$
Ex 1.4.7$ \ ds f (x)=-4 + \ sqrt {- (x-2)}$
Ex 1.4.8$ \ ds f (x) = 2 \ sqrt{1 – (x/3)^2}$
Ex 1.4.9$\ds f (x)=1 / (x+1)$
Ex 1.4.10$ \ ds f (x) = 4 + 2 \ sqrt{1 – (x-5)^2/9}$
Ex 1.4.11$\ds f (x)=1 + 1/(x-1)$
Ex 1.4.12$ \ ds f (x)= \ sqrt{100-25 (x-1)^2}+2$
grafen på $f (x)$ visas nedan.Skissa graferna för följande funktioner.
Ex 1.4.13$ \ ds y=f (x-1)$
Ex 1.4.$14\ds y=1 + f (x+2)$
Ex 1.4.15$ \ ds y=1 + 2F(x) $
Ex 1.4.16$ \ ds y=2F (3x)$
Ex 1.4.17$ \ DS y=2F (3 (x-2))+1$
Ex 1.4.18$ \ ds y=(1/2) f (3x-3)$
Ex 1.4.19$ \ ds y=f (1 + x / 3) + 2$
