följande är från Joseph Mazurs nya bok, Vad har tur att göra med det?:
…det finns en autentiskt verifierad historia att någon gång på 1950-talet kom ett hjul i Monte Carlo upp till och med tjugoåtta gånger i rak följd. Oddsen för att det händer är nära 268,435,456 till 1. Baserat på antalet kupper per dag i Monte Carlo kommer en sådan händelse sannolikt att hända bara en gång om femhundra år.
Mazur använder den här historien för att säkerhetskopiera ett argument som hävdar att, åtminstone tills nyligen, många roulette hjul var inte alls rättvist.
förutsatt att matematiken är rätt (vi kommer att kontrollera det senare), kan du hitta felet i hans argument? Följande exempel hjälper.
sannolikheten att rulla dubblar
Tänk dig att du lämnar ett par tärningar till någon som aldrig har rullat tärningar i hennes liv. Hon rullar dem och får dubbla femmor i sin första rulle. Någon säger, ” Hej, nybörjarens tur! Vad är oddsen för det på hennes första rulle?”
Tja, vad är de?
det finns två svar Jag skulle ta här, en mycket bättre än den andra.
den första går så här. Oddsen för att rulla en fem med en dö är 1 i 6; tärningarna är oberoende så oddsen för att rulla ytterligare fem är 1 i 6; därför är oddsen för rullande dubbla femmor
$$(1/6)*(1/6) = 1/36$$.
1 av 36.
med denna logik gjorde vår nya spelare bara något ganska osannolikt på hennes första rulle.
men vänta en minut. Skulle inte något par dubblar varit lika ”imponerande” på första rullen? Vad vi egentligen borde beräkna är oddsen för rullande Dubbel, inte nödvändigtvis femmor. Vad är sannolikheten för det?
eftersom det finns sex möjliga Par Dubbel, inte bara en, kan vi bara multiplicera med sex för att få 1/6. Ett annat enkelt sätt att beräkna det: Den första döden kan vara någonting alls. Vad är sannolikheten för att den andra dör matchar den? Enkelt: 1 i 6. (Det faktum att tärningarna rullas samtidigt har ingen betydelse för beräkningen.)
inte riktigt så anmärkningsvärt, är det?
av någon anledning har många människor svårt att förstå det konceptet. Chanserna att rulla dubbel med en enda kasta av ett par tärningar är 1 i 6. Folk vill tro att det är 1 i 36, men det är bara om du anger vilket par dubblar som ska kastas.
låt oss nu ompröva roulette ”anomaly”
samma misstag är det som får Joseph Mazur att felaktigt dra slutsatsen att eftersom ett rouletthjul kom upp till och med 28 raka tider 1950 var det mycket troligt ett orättvist hjul. Låt oss se var han gick fel.
det finns 37 spelautomater på en europeisk rouletthjulet. 18 är jämn, 18 är udda, och en är 0, som jag antar inte räknas som antingen jämn eller udda här.
så med ett rättvist hjul är chansen att ett jämnt antal kommer upp 18/37. Om snurr är oberoende kan vi multiplicera sannolikheten för enstaka snurr för att få gemensamma sannolikheter, så sannolikheten för två raka jämnar är då (18/37)*(18/37). Fortsätter på detta sätt, vi beräknar chanserna att få 28 jämna nummer i rad att vara $$(18/37)^{28}$$.
visar sig, detta ger oss ett tal som är ungefär dubbelt så stort (vilket betyder en händelse dubbelt så sällsynt) som Mazurs beräkning skulle indikera. Varför skillnaden?
här är där Mazur fick det rätt: Han medger att en körning av 28 på varandra följande udda tal skulle vara lika intressant (och är lika sannolikt) som en körning av jämnar. Om 28 odds skulle ha kommit upp, det skulle ha gjort det i sin bok också, eftersom det skulle vara lika extraordinärt för läsaren.
således fördubblar han sannolikheten vi beräknade, och rapporterar att 28 jämnar i rad eller 28 odds i rad bör ske endast en gång vart 500 år. Fin.
men hur är det med 28 röda i rad? Eller 28 svarta?
här är problemet: han misslyckas med att redogöra för flera fler händelser som skulle vara lika intressanta. Två uppenbara som kommer att tänka på är 28 röda i rad och 28 svarta i rad.
det finns 18 svarta och 18 röda på hjulet (0 är grön). Så sannolikheterna är identiska med de ovan, och vi har nu ytterligare två händelser som skulle ha varit anmärkningsvärda nog för att få oss att undra om hjulet var förspänt.
så nu, i stället för två händelser (28 odds eller 28 jämnar), vi har nu fyra sådana händelser. Så det är nästan dubbelt så troligt att en skulle inträffa. Därför bör en av dessa händelser hända ungefär var 250: e år, inte 500. Något mindre anmärkningsvärt.
vad sägs om andra osannolika händelser?
vad sägs om en körning med 28 siffror som exakt växlade hela tiden, som jämn-udda-jämn-udda eller röd-svart-röd-svart? Jag tror att om en av dessa hade inträffat, Mazur skulle ha varit lika glada att inkludera den i sin bok.
dessa händelser är lika osannolika som de andra. Vi har nu nästan fördubblat vårt antal anmärkningsvärda händelser som skulle få oss att peka på ett trasigt hjul som den skyldige. Först nu finns det så många av dem, vi förväntar oss att man ska hända var 125: e år.
Slutligen anser att Mazur ser tillbaka på många år när han påpekar den här till synes extraordinära händelsen som inträffade. Hade det hänt när som helst mellan 1900 och föreliggande, jag gissar Mazur skulle ha ansett att nyligen nog att inkludera som bevis på hans punkt att roulette hjul var partisk inte alltför länge sedan.
det är ett 110-årigt fönster. Är det så förvånande att något som skulle hända en gång vart 125: e år eller så hände under det stora fönstret? Egentligen inte.
något osannolikt kanske, men ingenting som skulle övertyga någon om att ett hjul var orättvist.
