Hyperbolisk bana

som en elliptisk bana kan en hyperbolisk bana för ett givet system definieras (ignorerar orientering) med sin halvhuvudaxel och excentriciteten. Men med en hyperbolisk bana kan andra parametrar vara mer användbara för att förstå kroppens rörelse. Följande tabell visar de viktigaste parametrarna som beskriver kroppens väg efter en hyperbolisk bana runt en annan under standardantaganden och formeln som förbinder dem.

hyperboliska bana ekvationer

Element	Symbol	formel	med användning av v occurnic {\displaystyle V_{\infty }} (eller en {\displaystyle a} ), och b {\displaystyle b}
Standardgravitationsparameter	{\displaystyle \ mu \,}	v 2 (2 / R − 1 / a ) {\displaystyle {\frac {v^{2}} {(2 / r-1 / a)}}}	b v 2 cot 2 cot {\displaystyle bv_ {\infty} ^ {2} \ cot \ Theta _ {\infty }}
excentricitet (>1)	e {\displaystyle e}	Rp-1 {\displaystyle {\frac {\ell }{r_{p}}}-1}	1 + b 2 / a 2 {\displaystyle {\sqrt {1 + b^{2} / a^{2}}}}
Halvhuvudaxel (<0)	a {\displaystyle a\,\!}	1 / ( 2 / r-v 2 / Cu) {\displaystyle 1/(2/r-v^{2} / \ mu )}	− 2 {\displaystyle – \mu / v_ {\infty }^{2}}
hyperbolisk överskottshastighet	v occurb {\displaystyle v_ {\infty }}	− {\displaystyle {\sqrt {- \mu / a}}}
(extern) vinkel mellan asymptoter	2 kg {\displaystyle 2\theta _ {\infty }}	2 cos − 1 Baccarat (- 1 / e ) {\displaystyle 2\cos ^{-1}(-1 / e)}	+ 2 solbränna-1 msk(b / a ) {\displaystyle \pi +2\solbränna ^{-1} (b / a)}
vinkel mellan asymptoter och konjugataxeln för den hyperboliska vägen för inflygning	2 msk {\displaystyle 2 \ nu }	2 Cu-Cu {\displaystyle 2\theta _ {\infty}- \pi}	2 sin-1 CCL (1 (1 + r p CCL 2 / CCL)) {\displaystyle 2 \ sin ^{-1} {\bigg (} {\frac {1} {(1 + r_{p} * v_ {\infty }^{2}/ \ mu)}} {\bigg )}}
Impact parameter (semi-minor axel)	b {\displaystyle b}	− a e 2 – 1 {\displaystyle-a {\sqrt {e^{2}-1}}}
Semi-latus ändtarm	{\displaystyle \ell }	och (e 2 – 1) {\displaystyle a (e^{2}-1)}	− b 2 / a = h 2 / Cu {\displaystyle-B^{2} / a = h^{2} / \mu }
Periapsis avstånd	r p {\displaystyle r_{p}}	och (1-e ) {\displaystyle a(1-e)}	a 2 + b 2 + a {\displaystyle {\sqrt {a^{2} + b^{2}}} + a}
specifik omloppsenergi	{\displaystyle \varepsilon}	− 2 a {\displaystyle – \mu /2a}	v 2 / 2 {\displaystyle v_ {\infty }^{2}/2}
specifikt vinkelmoment	H {\displaystyle h}	{\displaystyle {\sqrt {\mu \ell }}}	b v oc {\displaystyle bv_ {\infty }}

Halvhuvudaxel, energi och hyperbolisk överskottshastighetedit

halvhuvudaxeln (a {\displaystyle a\,\!}

) är inte omedelbart synlig med en hyperbolisk bana men kan konstrueras eftersom det är avståndet från periapsis till den punkt där de två asymptoterna korsar. Vanligtvis är det enligt konvention negativt att hålla olika ekvationer förenliga med elliptiska banor.

halvhuvudaxeln är direkt kopplad till den specifika omloppsenergin ({\displaystyle \ epsilon \,}

) eller karakteristisk energi C 3 {\displaystyle C_{3}}

i omloppsbanan, och till den hastighet som kroppen uppnår när avståndet tenderar till oändlighet, den hyperboliska överskottshastigheten (V {\displaystyle v_{\infty }\,\!}

). v 2 = 2 C 3 = − C / A {\displaystyle v_{\infty }^{2} = 2\epsilon=c_{3} =-\mu /a}

eller A= − C / v 2 {\displaystyle a = -{\mu /{v_{\infty }^{2}}}}

var: 2 = G m {\displaystyle \mu = Gm\,\!}

är standardgravitationsparametern och C 3 {\displaystyle C_{3}}

är karakteristisk energi, som vanligtvis används vid planering av interplanetära uppdrag

Observera att den totala energin är positiv i fallet med en hyperbolisk bana (medan den är negativ för en elliptisk bana).

excentricitet och vinkel mellan inflygning och avgångredigera

med en hyperbolisk bana den orbitala excentriciteten (e {\displaystyle e\,}

) är större än 1. Excentriciteten är direkt relaterad till vinkeln mellan asymptoterna. Med excentricitet drygt 1 hyperbolan är en skarp ”v” – form. Vid e = 2 {\displaystyle e = {\sqrt {2}}}

asymptoterna är i rät vinkel. Med e > 2 {\displaystyle e>2}

asymptoterna är mer än 120 kcal från varandra, och periapsisavståndet är större än halvhuvudaxeln. När excentriciteten ökar ytterligare närmar sig rörelsen en rak linje.

vinkeln mellan periapsis riktning och en asymptot från den centrala kroppen är den sanna avvikelsen, eftersom avståndet tenderar till oändlighet ({\displaystyle \theta _ {\infty }\,}

), så 2 msk {\displaystyle 2\theta _ {\infty }\,}

är den yttre vinkeln mellan inflygnings-och avgångsriktningar (mellan asymptoter). Sedan är det bara att säga att (1) (−1 / e) {\displaystyle \theta {_{\infty}} = \cos ^{-1} (-1/e) {\displaystyle \ theta {_{\infty}} = \ cos ^ {-1} (-1 / e)\,}

eller e = − 1 / cos ox {\displaystyle E = -1/\cos \theta {_{\infty }}\,}

Impact parameter och avståndet till närmaste tillvägagångssätt redigera

hyperboliska banor följt av objekt som närmar sig centralt objekt (liten punkt) med samma hyperboliska överskottshastighet (och halvhuvudaxel (=1)) och från samma riktning men med olika slagparametrar och excentriciteter. Den gula linjen passerar verkligen runt den centrala punkten och närmar sig den nära.

effektparametern är det avstånd som en kropp, om den fortsatte på en ostörd väg, skulle sakna den centrala kroppen vid sin närmaste inställning. Med kroppar som upplever gravitationskrafter och följer hyperboliska banor är det lika med hyperbolans halvminoraxel.

i situationen för en rymdfarkost eller komet som närmar sig en planet kommer slagparametern och överskottshastigheten att vara kända exakt. Om den centrala kroppen är känd kan banan nu hittas, inklusive hur nära den närmande kroppen kommer att vara vid periapsis. Om detta är mindre än planetens radie bör en påverkan förväntas. Avståndet till närmaste tillvägagångssätt, eller periapsis avstånd, ges av:

r p = – a ( e − 1 ) = 2 ( 1 + (b v 2 / 2 ) 2 − 1 ) {\displaystyle r_{P}=-a (e-1)=\mu / v{_{\infty }}^{2} ({\sqrt {1 + (BV{_{\infty }}^{2} / \mu )^{2}}}-1)}

så om en komet närmar sig Jorden (effektiv radie ~6400 km) med en hastighet av 12.5 km / s (den ungefärliga minimihastigheten för en kropp som kommer från det yttre solsystemet) är att undvika kollision med jorden, slagparametern måste vara minst 8600 km eller 34% mer än jordens radie. En kropp som närmar sig Jupiter (radie 70000 km) från det yttre solsystemet med en hastighet av 5,5 km/h, behöver slagparametern vara minst 770 000 km eller 11 gånger Jupiters radie för att undvika kollision.

om massan av den centrala kroppen inte är känd, kan dess standard gravitationsparameter, och därmed dess massa, bestämmas av avböjningen av den mindre kroppen tillsammans med slagparametern och inflygningshastigheten. Eftersom vanligtvis alla dessa variabler kan bestämmas exakt, kommer en rymdfarkost flyby att ge en bra uppskattning av kroppens massa.

2 {\displaystyle \mu = bv_{\infty} ^ {2} \tan \ delta /2}

var är den vinkel som den mindre kroppen avböjs från en rak linje i sin kurs.