knutteori

knutteori, i matematik, studiet av slutna kurvor i tre dimensioner och deras möjliga deformationer utan att en del skär igenom en annan. Knutar kan betraktas som bildade genom att interlacing och looping en sträng på något sätt och sedan gå med i ändarna. Den första frågan som uppstår är om en sådan kurva verkligen är knuten eller helt enkelt kan lossas; det vill säga huruvida man kan deformera den i rymden till en standard unknotted kurva som en cirkel. Den andra frågan är om, mer allmänt, alla två givna kurvor representerar olika knutar eller verkligen är samma knut i den meningen att man kontinuerligt kan deformeras till den andra.

Britannica Quiz

allt om Math Quiz

din algebra lärare hade rätt. Du kommer att använda matematik efter examen-för detta frågesport! Se vad du kommer ihåg från skolan, och kanske lära dig några nya fakta i processen.

det grundläggande verktyget för att klassificera knutar består av att projicera varje knut på ett plan—bild knutens skugga under ett ljus—och räkna antalet gånger projektionen korsar sig själv och noterar vid varje korsning vilken riktning som går ”över” och som går ”under.”Ett mått på knutens komplexitet är det minsta antalet korsningar som uppstår när knuten flyttas runt på alla möjliga sätt. Den enklaste möjliga sanna knuten är trefoilknuten eller overhandknuten, som har tre sådana korsningar; ordningen på denna knut betecknas därför som tre. Även denna enkla knut har två konfigurationer som inte kan deformeras i varandra, även om de är spegelbilder. Det finns inga knutar med färre korsningar, och alla andra har minst fyra.

antalet urskiljbara knutar ökar snabbt när ordningen ökar. Till exempel finns det nästan 10 000 distinkta knutar med 13 korsningar och över en miljon med 16 korsningar—den högsta kända i slutet av 20-talet. Vissa knutar med högre ordning kan lösas i kombinationer, kallade produkter, av knutar med lägre ordning; till exempel är kvadratknuten och grannyknuten (sjätte ordningens knutar) produkter av två trefoils som är av samma eller motsatta chiralitet eller handedness. Knutar som inte kan lösas så kallas prime.

de första stegen mot en matematisk teori om knutar togs omkring 1800 av den tyska matematikern Carl Friedrich Gauss. Ursprunget till modern knutteori härrör emellertid från ett förslag från den skotska matematikern-fysikern William Thomson (Lord Kelvin) 1869 att atomer kan bestå av knutna virvelrör av etern, med olika element som motsvarar olika knutar. Som svar gjorde en samtida, den skotska matematiker-fysikern Peter Guthrie Tait, det första systematiska försöket att klassificera knutar. Även om Kelvins teori så småningom avvisades tillsammans med eter, fortsatte knutteorin att utvecklas som en rent matematisk teori i cirka 100 år. Sedan ett stort genombrott av Nya Zeelands matematiker Vaughan Jones 1984, med introduktionen av Jones polynomials som nya knutinvarianter, ledde den amerikanska matematiska fysikern Edward Witten att upptäcka en koppling mellan knutteori och kvantfältteori. (Båda männen tilldelades Fields-medaljer 1990 för sitt arbete.) I en annan riktning gjorde den amerikanska matematikern (och kollegan Fields medalist) William Thurston en viktig länk mellan knutteori och hyperbolisk geometri, med möjliga förgreningar i kosmologi. Andra tillämpningar av knutteori har gjorts inom biologi, kemi och matematisk fysik.