 |
 |
Figur 1. Carte de visite (visitkort) cirka 1866 av Augustus De Morgan, signerad ”ADeMorgan” av honom. Fotografi av Maull och Polyblank (Se anmärkning). (Från samlingen av Dr. Sid Kolpas)
en kort biografi
Augustus De Morgan (1806-1871) var en av de mest inflytelserika och framgångsrika lärare i matematik av 19th century. Både av samtida och nuvarande standarder var han en extraordinär professor. Enligt Adrian Rice, i artikeln, ” Vad gör en bra matematiklärare? Fallet med Augustus De Morgan, ” han var ett exempel på en stor matematiklärare, en som ingjutit en kärlek och entusiasm för ämnet i sina elever, vilket har en djupgående effekt på dem, även om de aldrig bedrivit en karriär i matematik. Bevis på denna åsikt kommer från de överlevande kommentarerna från De Morgans studenter och från några kända matematiker som påverkades av hans undervisning. Han hade den sällsynta kombinationen av insikt, humor och kreativitet. Hans föreläsningar var kortfattade och klara; till skillnad från alltför många av hans kamrater brydde han sig om att hans elever skulle stimuleras, utmanas, inspireras och noggrant instrueras med ljudplanering och pedagogik. Han hatade tävlingsprov och bristen på kunskapsdelning som resulterade från dem (ett aktuellt problem i våra skolor); han var för kooperativt lärande. Studenter rapporterade att hans föreläsningar var rika på humor, tillämpningar på andra discipliner, referenser för vidare studier och kärlek till hans ämne. Även de mest abstrakta begreppen klargjordes genom hans lysande användning av analogi, metafor och liknelse.
De Morgan föddes i Madura, Indien. Han utbildades i privata skolor tills han gick in i Trinity College, Cambridge, vid sexton års ålder. Han var en utmärkt student, nära toppen av sin klass. Men han valde att inte få MA-examen eller att tävla om ett college-stipendium på grund av hans samvetsgranna invändning mot de religiösa tester som krävdes av kandidater i Cambridge. År 1828, på grund av sin akademiska prestation, fick han en tid som professor i matematik vid det nybildade London University (som blev University College London). Han skulle undervisa där i över 30 år och inspirera generationer av studenter. Efterföljande generationer av hans elever hänvisade till honom som ”Gussy” – den höga stout waddling figuren peering genom guld-kantade glasögon som passionerat skulle lära dem matematik.
hans rykte växte på grund av hans enastående, uppmuntrande, omtänksam undervisning och hans artiklar om banbrytande ämnen, matematiska pussel, spel, konstigheter och paradoxer; De Morgan var Martin Gardner av artonhundratalet. De Morgans kärlek till matematiska pussel och berättelser ledde postumt till publiceringen av hans Paradoxbudget (1872); den finns fortfarande i tryck. Medan han var en man av mild natur, var han också en man med stark övertygelse. Han kämpade mot religiös förevändning och var en förespråkare för kvinnors utbildningsrättigheter, men motsatte sig kvinnlig rösträtt. Han trodde också att avancerade matematiska studier var potentiellt skadliga för en kvinnas fysiska hälsa, vilket var en genomgripande inställning till kvinnor vid den tiden. Alltmer liberal när han blev äldre, han föreläste om matematik till klasser av kvinnor utan kostnad och uppmuntrade kvinnor, även med tanke på deras förmodade mentala begränsningar, att fortsätta med sina matematiska studier.
Figur 2. En studentritning av Augustus De Morgan som leder en klass vid University College London. (Den här bilden av MS ADD 7 används här med vänlig tillåtelse från UCL Library Services, Special Collections.)
De Morgans texter var lika enastående som hans undervisning. Över hundra år senare skulle de fortfarande vara utmärkta läroplanmodeller. Ämnena i hans texter inkluderade algebra, trigonometri, differential-och integralkalkyl, beräkningen av variationer, sannolikhet och symbolisk logik. Alla texter är tydliga, intressant, och fylld med underbara exempel. Bland hans bästa publikationer var en uppsats om sannolikheter (1838), kalkyl (1842), formell logik (1847) och dubbel Algebra (1849), som förutsåg abstrakt algebra. När han inte arbetade hårt med sina många artiklar och böcker—inklusive en sjättedel av artiklarna i den berömda Penny Cyclopaedia för vilken han skrev en artikel som definierade processen för matematisk induktion-spenderade de Morgan tid på sina två stora passioner: att spela flöjt och samla sällsynta Matematikböcker. Den senare hobbyen hjälpte honom att bli expert på sin tid på matematikens historia.
1837 gifte sig Augustus De Morgan med Sophia Elizabeth Frend. Deras hem, med fem barn, blev centrum för en stor krets av vänner som träffades där för att dela intellektuella intressen. En av Augustus vänner var George Boole, som tillsammans med de Morgan banade väg för utvecklingen av symbolisk logik. De Morgan ’s Formal Logic (1847) gick till press samtidigt som Boole’ s arbete med logikens algebra. Båda verken handlade om propositional calculus.
De Morgan är kanske bäst ihågkommen för ”de Morgan ’ s Laws”, två relaterade satser i symbolisk logik respektive uppsättningsteori.
symbolisk logik: \
uppsättningsteori: \
Augustus De Morgan bör komma ihåg, som alla inspirerande lärare, för det djupa inflytande han hade på sina elever; bland dem Var Isaac Todhunter (1820-1884) och James Joseph Sylvester (1814-1897). Han undervisade också Ada Lovelace (1815-1852) och uppmuntrade henne att utveckla sina matematiska talanger; han kände att hon hade överlägsen matematisk talang jämfört med de flesta kvinnor. Han var en stimulerande kraft i utvecklingen av matematik och matematiklärare, en drivkraft i utvecklingen av matematikens logiska grundvalar och en förespråkare för moderniseringen av kalkylen. En anspråkslös man, han avskedade hedersgrader, medlemskap i Royal Society och politisk och religiös smålighet. Hans liv ägnades åt hans familj, hans vänner och hans elever.
Obs: Maull & Polyblank ’ s London photographic studio grundades 1854. Studion specialiserade sig på porträtt av kända individer. Deras mest anmärkningsvärda verk, fotografiska porträtt av levande kändisar, publicerades i delar från 1856 till 1859. Den bestod av fyrtio enskilda porträtt med biografier, utfärdade till prenumeranter och sedan bundna till en enda volym av abonnenten efter att alla delar levererades; detta var en praxis populär vid den tiden. Porträtten publicerades också som gravyrer i Illustrated London News. Återgå till kort biografi om de Morgan.
Figur 3. De Morgan är en uppsats om sannolikheter (1838). (Från samlingen av Dr. Sid Kolpas)
De Morgans algoritm för approximering av Factorials
Factorials of heltal spelar en viktig roll i sannolikhetsteori, särskilt i permutationer och kombinationer. Under 19-talet, utan att beräkna enheter, dessa factorials var svåra att beräkna för stora heltal. I sin uppsats om sannolikheter introducerade de Morgan algoritmen som beskrivs i Figur 4 nedan för att approximera \(n!,\) där \(n\) är ett heltal. Observera att \ ( \ ) är De Morgans notation för ”\(n\) factorial” eller \(n!.\) Således, i första stycket i Figur 4, när de Morgan skrev ”,” menade han faktoriell av ett givet positivt heltal.
Figur 4. De Morgans instruktioner för approximering \(n!\ ) från S. 15-16 av hans en uppsats om sannolikheter(Google Böcker)
Stirlings approximation av \(n!,\) där \(n\) är ett heltal, upptäcktes av skotsk matematiker James Stirling (1692-1770). Stirling publicerade sitt viktigaste verk, Methodus Differentialis, 1730. Denna bok diskuterar oändliga serier, summering, interpolering och kvadratur. Följande formel för \(n!,\) för vilken Stirling har blivit känd, visas som exempel 2 i Proposition 28 i Methodus Differentialis. Stirlings approximation säger att \
De Morgans algoritm gav steg-för-steg-instruktioner för att beräkna approximationen till \(n!\ ) ges av Stirlings formel.
Figur 5. Titelsida för Stirlings Methodus Differentialis(Google Böcker)
med hänvisning till De Morgans algoritm för approximering \(n!\ ) och notera att \(0.4342945\) är en approximation av \(\log_{10} e,\) och \(0.7981799\) är en approximation av \(\log_{10} (2\pi),\) vi har:
- ta basen 10 logaritmen för numret \(n\) och subtrahera \(0,4342945\) från den: \(\log n – \log e = \log \left (\frac{n}{e}\right).\)
- multiplicera resultatet med\ (n\):\(n \log\left (\frac{n}{e} \right)= \log\left (\frac{n}{e}\right)^n.\)
- till \(\log n\) Lägg till\ (0.7981799\): \(\log n + \log 2 \pi = \log 2n \ pi.\)
- ta hälften av denna summa: \({\frac{1}{2}}\log 2n\pi = \log \sqrt{2n\pi}.\ )
- Lägg till resultaten från 2: A och 4: e stegen: \
- sedan \(\log n!\ sim \ log \ sqrt{2n \ pi} \ vänster (\frac{n}{e} \ höger)^n,\) sedan \(n!\ sim \ sqrt{2n \ pi} \ vänster (\frac{n}{e}\ höger)^n,\) som är Stirlings formel.
- denna approximation av \(n!\ ) är lite för liten; för att förbättra det, lägg till \({\frac{1}{12n}}\) av det till sig själv: \
ett brev från De Morgan om matematikens historia
som nämnts ovan var Augustus De Morgan en frekvent bidragsgivare till Penny Cyclopaedia och bidrog med över 700 artiklar till de 27 volymerna av Cyclopaedia, Publicerad från 1828 till 1843.
Figur 6. Penny Cyclopaedia, volym 26, innehåller en artikel av de Morgan om den indiska matematiska texten Viga Ganita. (Google Böcker)
en av De Morgans sista poster i Penny Cyclopaedia var en artikel med titeln ”VIGA GANITA” som dök upp på sidorna 318-326 i volym 26, publicerad 1843 (lättillgänglig via Google Böcker). De Morgan medgav i början av denna artikel att han skulle diskutera mycket mer än bara Viga Ganita (nu oftare transliterated som B Actubijagaacubiita eller B Actubija-ga actubiita), ett arbete på algebra av den 12: e århundradet indiska matematikern och astronomen Bhascara (nu allmänt känd som Bhtubiskara II), som länge trodde ha bott och arbetat vid ett känt astronomiskt observatorium i Ujjain. De Morgan skrev faktiskt att hans plan var att dra nytta av platsen för bokstaven ”V” nära slutet av alfabetet för att rapportera det allra senaste stipendiet om hinduernas ”astronomiska och aritmetiska vetenskap” (s. 318). Väntetiden kanske inte har varit värt det, för vad de Morgan var tvungen att skriva var ”en redogörelse för de mest singulära ytterligheterna av åsikter” (s. 318) – en berättelse om mycket oenighet bland forskare, åtminstone några av vilka han ansåg vara ganska partisk.
i den här artikeln gav de Morgan tre möjligheter för identiteten och århundradet för den indiska astronomen och matematikern var Brasilihamihira, som var av intresse för honom eftersom (p. 320):
de författare som är mest citerade av hinduiska astronomer bär namnen Varaha-mihira och Brahmegupta.
det är nu trodde att var bisexuell levde under det sjätte århundradet och Brahmagupta under det sjunde århundradet. Båda ansågs länge ha bott och arbetat i Ujjain vid ett berömt astronomiskt observatorium, liksom Bhaskara II århundraden senare. Men som historiker för indisk astronomi och matematik Kim Plofker rapporterade i sin bok från 2009, matematik i Indien, finns det inga bevis för att någon av de tre astronomerna bodde i Ujjain eller att det till och med fanns ett astronomiskt observatorium där (s.318-319, 326).
men vad de Morgan visste 1843 var att den högt ansedda Indologen Henry Thomas Colebrooke och ”astronomerna i Ujein” kom överens om var-observatören (och Brahmaguptas) datum, men att andra placerade var-observatören århundraden tidigare eller senare (”VIGA GANITA”, S. 320):
från hans astronomiska data drar Colebrooke slutsatsen att Varaha-mihira skrev i slutet av femte århundradet, vilket också är det datum som astronomerna vid Ujein tilldelade honom. … Det finns en annan Varaha-mihira, som samma astronomer placerar i AD 200. Men populära tradition platser Varaha-mihira i tiden för Vicramadytia (BC 56), och namn, som hädanefter märkt, flera av hans samtida.
Colebrooke dog 1837. Hans Prot oskorig oskori Horace Hayman Wilson hade blivit den första Bodenprofessorn i Sanskrit vid Oxford University 1832; men, som visas i Figur 7, nedan, Wilson hade skrivit 1835 att var Jacobhamihira levde under det första århundradet FVT!
Figur 7. Från en Manual för universell historia och kronologi, för användning av skolor (1835), av H. H. Wilson, sidan 25, punkt 43. Här, Wilson placerade var Brasilihamihira på 56 BCE eller lite senare. Wilsons ”Ougein” blev ”Ujein” i De Morgans artikel och är nu känd som Ujjain. (Google Books)
i följande brev från De Morgan till Wilson försökte de Morgan bekräfta Wilsons tro på identiteten och århundradet av var Jacobhamihira, förmodligen för hans Penny Cyclopaedia-artikel innan den publicerades.
figur 8. Brev från Augustus De Morgan till H. H. Wilson. Observera att De Morgans underskrift i slutet av brevet är identisk med den på visitkortet i Figur 1. (Från samlingen av Dr. Sid Kolpas)
transkription av De Morgans brev
Sir
med många ursäkter för att oroa dig, helt okänd för dig som jag är, tar jag mig friheten att ställa dig en fråga om din manual of history , ett arbete som jag ofta har konsulterat för orientaliska datum, och som jag har, på grund av bekvämligheten med samma datum, rekommenderas som användbar för studenten i matematisk historia i.
sida 25 43 . Anser du Varaha-Mihira som den astronomiska författaren med det namnet, eller den med det namnet, vars ålder diskuteras av Colebrooke , och som Bentley och en fransk författare som Citeras av Delambre kommer att ha (mot Colebrooks åsikt, som jag samlar) för att vara författaren till Surya Siddhanta : eller tror du att det finns en rättvis Sannolikhet för att han är densamma.
jag förblir Sir
din trofasta tjänare
ADeMorgan
69 Gower Street
5 April 1843
vi vet inte om de Morgan fick ett svar från Wilson eller, om så är fallet, vad det var. De Morgans hänvisning till” populär tradition ” i sin artikel i Penny Cyclopaedia snarare än till Wilson vid namn kan tyda på att Wilson backade bort från sitt påstående att var Jacobhamihira bodde runt 56 FVT.
anteckningar på De Morgans brev och dess transkription
Not 1. En Manual för universell historia och kronologi, för användning av skolor. H. H. Wilson, ma, Boden Professor i sanskrit, Oxford. London: Whittaker, 1835. Wilson var en Prot ugug ugug av Colebrooke (se Not 4, nedan) och blev den första Bodenprofessorn i Sanskrit vid Oxford University 1832.
anm. 2. Passagen från en Manual of Universal History and Chronology, för användning av skolor, av H. H. Wilson, på sidan 25, punkt 43, visas i Figur 7 ovan.
Anm. 3. Var (505-587) var en indisk astronom, matematiker och astrolog.
Anm. 4. Henry Thomas Colebrooke (1765-1837) var en engelsk indolog särskilt intresserad av religion, lingvistik och astronomi. De Morgan skrev i sin Cyclopaedia-artikel, ” Herr. Colebrooke var en av de mest framstående av Sanskritforskare, en outtröttlig Indisk antikvitet och mer än välinformerad i matematik och astronomi” (s. 319). Efter att ha tillbringat över 30 år (1783-1814) i Indien återvände Colebrooke till England där han publicerade Algebra, med aritmetik och Mensuration, från sanskrit av Brahmegupta och Bhascara (London, 1817) och grundade både Royal Astronomical Society 1820 och Royal Asiatic Society 1823.
anm. 5. John Bentley var en engelsk indolog som de Morgan skrev nedsättande i sin” VIGA GANITA ” – artikel. Jean Baptiste Joseph Delambre (1749-1822) var en berömd fransk astronom, som också författade böcker om astronomins historia från antiken till 18th century.
anm. 6. Den s sackaros-Siddh sackaros, en astronomi manual som diskuterar vad vi kallar sinus, cosinus, och tangent, antogs av vissa att vara en av var Kazakhamihira mindre kända verk. Plofker (2009) placerade s Exceptionrya-Siddh Exceptionnta eller ”Sun-treatise” vid ca 800 CE, ” sammansatt eller reviderad från ett tidigare verk med samma namn …. Detta tidigare s sackaros-Siddh Kazaknta delvis bevarad ” i en sjätte-tals arbete av var Kazakhamihira (Sid. 71).
återgå till transkription av De Morgans brev
Augustus De Morgan. En budget av paradoxer. London: Longmans, grönt och företag, 1872.
Augustus De Morgan. En Uppsats Om Sannolikheter. London: Longman, Orme, brun, grön och Longmans, och John Taylor, 1838.
,” viga Ganita, ” Penny Cyclopaedia av samhället för spridning av användbar kunskap, vol. 26 (1843), s.318-326.
Sophia De Morgan. Memoarer av Augustus De Morgan. London: Longmans, grönt och företag, 1882.
James Essinger. Adas algoritm: Hur Lord Byrons Dotter Ada Lovelace lanserade den digitala tidsåldern. London: Gibson Square Ltd., 2014.
J. Paul Getty Museum. ”Maull och Polyblank.”
http://www.getty.edu/art/collection/artists/1214/maull-polyblank-british-active-1850s-1860s/
Victor Katz. En historia av matematik: en introduktion (3: e upplagan.). Boston: Addison-Wesley, 2009.
New World Encyclopedia bidragsgivare, ”Henry Thomas Colebrooke,” New World Encyclopedia, Senast uppdaterad 24 februari 2009.
http://www.newworldencyclopedia.org/p/index.php?title=Henry_Thomas_Colebrooke&oldid=935378
J. J. O ’ Connor och E. F. Robertson. ”Augustus De Morgan,” MacTutor historia av matematik Arkiv, 1996.
http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/De_Morgan.html
Kim Plofker. Matematik i Indien. Princeton: Princeton University Press, 2009.
Adrian Ris. ”Vad gör en bra matematiklärare? Fallet med Augustus De Morgan.”Den Amerikanska Matematiska Månaden. Vol. 106, Nr 6 (Jun. – Jul., 1999), s.534-552.
Horace Hayman Wilson. En Manual för universell historia och kronologi, för användning av skolor. London: Whittaker och Co., 1835.
