Strängar, stående vågor och övertoner

Inledning: vibrationer, strängar, rör, slagverk….

Hur gör vi musikaliska ljud? För att göra ett ljud behöver vi något som vibrerar. Om vi vill göra musiknoter behöver du vanligtvis vibrationen för att ha en nästan konstant frekvens: det betyder stabil tonhöjd. Vi vill också ha en frekvens som enkelt kan styras av spelaren. I elektroniska instrument görs detta med elektriska kretsar eller Med klockor och minnen. I icke-elektroniska instrument produceras den stabila, kontrollerade vibrationen av en stående våg. Här diskuterar vi hur strängar fungerar. Detta är också en användbar introduktion för att studera blåsinstrument, eftersom vibrerande strängar är lättare att visualisera än luftens vibrationer i blåsinstrument. Båda är mindre komplicerade än vibrationerna i slagverksfamiljens barer och skinn. För fysiken i stående vågor finns det en multimedia-handledning.

reser vågor i strängar

strängarna i fiol, piano och så vidare sträcks tätt och vibrerar så snabbt att det är omöjligt att se vad som händer. Om du kan hitta en lång fjäder (en leksak som kallas en slinky fungerar bra) eller flera meter flexibel gummislang kan du prova några roliga experiment som gör det lätt att förstå hur strängar fungerar. (Mjukt gummi är bra för detta, trädgårdsslangar är inte riktigt flexibla nog.) Håll först eller kläm fast ena änden och håll sedan den andra änden fortfarande i ena handen, sträck den lite (inte för mycket, en liten sag skadar inte). Dra nu åt sidan med den andra handen för att göra en kink och låt den gå. (Detta, i slow motion, är vad som händer när du plockar en sträng.) Du kommer förmodligen att se att kinken färdas ner i ”strängen”, och sedan kommer den tillbaka till dig. Det kommer plötsligt att dra din hand i sidled, men om du håller den ordentligt kommer den att reflektera igen.

först kommer du att märka att vågens hastighet i strängen ökar om du sträcker den tättare. Detta är användbart för att ställa in instrument – men vi går före oss själva. Det beror också på strängens ”vikt” – den färdas långsammare i en tjock, tung sträng än i en lätt sträng av samma längd under samma spänning. (Strängt är det förhållandet mellan spänning och massa per längdenhet som bestämmer hastigheten, som vi ser nedan.)

nästa låt oss ta en närmare titt på reflektionen vid den fasta änden. Du kommer att märka att om du först drar strängen till vänster, är den kink som reser bort från dig till vänster, men att den kommer tillbaka som en kink till höger – reflektionen är inverterad. Denna effekt är viktig inte bara i stränginstrument utan också i vindar och slagverk. När en våg möter en gräns med något som inte kommer att röra sig eller förändras (eller som inte förändras lätt), är reflektionen inverterad. (Det faktum att det är inverterat ger nollförskjutning i slutet. Reflektion med någon fasförändring kommer dock att ge en stående våg.)

plockade strängar

om du plockar en av strängen på en gitarr eller bas gör du något liknande, men här är strängen fixerad i båda ändarna. Du drar ut strängen vid en punkt och släpper sedan den som visas. Rörelsen som följer är intressant, men komplicerad. Den ursprungliga rörelsen visas nedan. Emellertid försvinner rörelsens högfrekventa komponenter (de skarpa böjningarna i strängen) snabbt – varför ljudet från en gitarrnot blir mer mjukt en sekund eller mer efter att du har plockat den.

en skiss av reflektionen av resande kinks som orsakas av att plocka en sträng. Vid de ögonblick som representeras av (e) och (m) är strängen rak så att den har förlorat den potentiella energin som är förknippad med att dra den i sidled, men den har en maximal kinetisk energi. Observera att vid reflektionerna ändras kink-fasen med 180 kcal: från upp till ner eller vice versa. Lägg också märke till hur kinks ’passera’ varandra när de möts i mitten.

Varför är reflektionen inverterad? Tja, om vi antar att det är fastklämt eller knutet till ett fast föremål, rörde sig reflektionspunkten faktiskt inte. Men titta på strängens rörelse genom att jämföra de olika tiderna som representeras i vänstra skisserna. Observera att strängen bakom kinken rör sig tillbaka mot det ostörda läget (ner i skissen). När kinken närmar sig slutet blir den mindre och när den når den fasta änden finns det ingen kink alls – strängen är rak för ett ögonblick. Men strängen har fortfarande sin nedåtgående momentum, och det bär den förbi viloläge och producerar en kink på andra sidan, som sedan rör sig tillbaka i andra riktningen. (Rörelsen av vågor i strängar beskrivs mer detaljerat i resande vågor, som har filmklipp och animationer. På den här sidan kommer vi dock att koncentrera oss på de musikaliska konsekvenserna. )

som nämnts ovan observeras denna rörelse endast omedelbart efter plockningen. När högfrekvenskomponenterna förlorar energi försvinner de skarpa kinkarna och formen närmar sig gradvis det grundläggande läget för vibraiton, som vi diskuterar nedan.

en böjd sträng beter sig ganska annorlunda

för det första har den en kontinuerlig energikälla och kan sålunda bibehålla samma rörelse på obestämd tid (eller åtminstone tills man går ur båge. För det andra är strängformen som krävs för att matcha den jämnt rörliga bågen annorlunda.

en skiss av reflektionen av resande kinks som orsakas av att böja en sträng. Se animationen och en förklaring av bågsträngsinteraktionen i bågar och strängar

reser vågor och stående vågor

en intressant effekt uppstår om du försöker skicka en enkel våg längs strängen genom att upprepade gånger vinka ena änden upp och ner. Om du har hittat en lämplig fjäder-eller gummislang, prova den. Annars, titta på dessa diagram.


animationen visar interaktionen mellan två vågor, med samma frekvens och magnitud, som reser i motsatta riktningar: blå till höger, grön till vänster. Den röda linjen är deras summa: den röda vågen är vad som händer när de två resande vågorna lägger ihop (superpose är den tekniska termen). Genom att stoppa animeringen kan du kontrollera att den röda vågen verkligen är summan av de två interagerande resande vågorna.

figuren till höger är samma diagram som representeras som en tidssekvens – tiden ökar från topp till botten. Du kan tänka på det som att representera en serie fotografier av vågorna, tagna mycket snabbt. Den röda vågen är vad vi faktiskt skulle se på sådana fotografier.

Antag att den högra gränsen är en fast vägg. Som diskuterats ovan är Vågen inverterad vid reflektion, så i varje ”fotografi” lägger den blå plus gröna upp till noll på högra gränsen. Den reflekterade (gröna) vågen har samma frekvens och amplitud men färdas i motsatt riktning.

vid den fasta änden lägger de till för att inte ge någon rörelse – nollförskjutning: det är trots allt detta tillstånd av oändlighet som orsakar den inverterade reflektionen. Men om du tittar på den röda linjen i animationen eller diagrammet (summan av de två vågorna) ser du att det finns andra punkter där strängen aldrig rör sig! De förekommer en halv våglängd från varandra. Dessa orörliga punkter kallas vibrationens noder, och de spelar en viktig roll i nästan alla instrumentfamiljer. Halvvägs mellan noderna är antinoder: punkter med maximal rörelse. Men observera att dessa toppar inte färdas längs strängen: kombinationen av två vågor som färdas i motsatta riktningar ger en stående våg.

detta visas i animeringen och figuren. Notera positionerna (noder) där de två resande vågorna alltid avbryter, och de andra (antinoder) där de lägger till för att ge en svängning med maximal amplitud.

du kan tänka på detta diagram som en representation (inte skala) av den femte harmoniska på en sträng vars längd är bredden på diagrammet. Detta leder oss till nästa ämne.

övertoner och lägen

strängen på ett musikinstrument är (nästan) fast i båda ändarna, så alla vibrationer i strängen måste ha noder i varje ände. Nu begränsar de möjliga vibrationerna. Till exempel kan strängen med längden L ha en stående våg med våglängden dubbelt så lång som strängen (våglängden 2L) som visas i den första skissen i nästa serie. Detta ger en nod i vardera änden och en antinode i mitten.

Detta är ett av strängens vibrationslägen (”vibrationsläge” betyder bara stil eller sätt att vibrera). Vilka andra lägen är tillåtna på en sträng fast i båda ändarna? Flera stående vågor visas i nästa skiss.



en skiss av de fyra första vibrationsmetoderna av en idealiserad * sträckt sträng med en fast längd. Den vertikala axeln har överdrivits.

Låt oss ta reda på relationerna mellan frekvenserna i dessa lägen. För en våg är frekvensen förhållandet mellan vågens hastighet och vågens längd: f = v/XXL. Jämfört med stränglängden L kan du se att dessa vågor har längder 2l, L, 2l/3, L/2. Vi kan skriva detta som 2L / n, där n är numret på den harmoniska.

det grundläggande eller första läget har frekvens f1 = v/Aug 11 = V/2L,
den andra harmoniska har frekvens f2 = v/aug 22 = 2V/2l = 2F1
den tredje harmoniska har frekvens f3 = v/aug 33 = 3v/2l = 3f1,
den fjärde harmoniska har frekvens f4 = v/,

den n: e övertonen har frekvens FN = v/usci = NV/2l = NF1.

alla vågor i en sträng färdas med samma hastighet, så dessa vågor med olika våglängder har olika frekvenser som visas. Läget med den lägsta frekvensen (f1) kallas det grundläggande. Observera att nth-läget har frekvens n gånger den grundläggande. Alla lägen (och ljuden de producerar) kallas strängens övertoner. Frekvenserna f, 2F, 3F, 4F etc kallas den harmoniska serien. Denna serie kommer att vara bekant för de flesta musiker, särskilt för buglers och spelare av naturliga horn. Om till exempel grunden är noten C3 eller viola C (en nominell frekvens på 131 Hz: se den här länken för en tabell), skulle övertonerna ha tonhöjderna som visas i nästa figur. Dessa platser har approximerats till närmaste kvartston. Oktaverna är exakt oktaver, men alla andra intervaller skiljer sig något från intervallen i lika tempererad skala.

figuren visar den musikaliska notationen för de första tolv övertonerna på en C-sträng. När du spelar upp ljudfilen, lyssna noga på tonhöjden. De sjunde och elfte övertonerna faller ungefär halvvägs mellan tonerna på lika tempererad skala, och så har noterats med halva vassa.

du kan producera dessa platser på en sträckt sträng: det är lättast på de låga strängarna på en gitarr, cello eller bas*. Tryck lätt på strängen vid en punkt 1 / n av dess längd från slutet (där n är 1, 2, 3 etc) och böj sedan strängen nära slutet. Alternativt kan du röra strängen mycket lätt vid en punkt 1 / n av dess längd från änden, plocka strängen nära änden och släpp första fingret så snart du har plockat. Att röra strängen producerar en nod där du rör, och så exciterar du (huvudsakligen) läget som har en nod där. Du kommer att upptäcka att du kan spela bugle låtar med övertoner två till sex av en sträng.

(*om du just har gjort detta experiment kanske du har märkt några särdrag. Den tolfte bandet, som används för att producera oktaven, är mindre än halvvägs längs strängens längd, och så är positionen där du rör strängen för att producera den 2: a harmoniska – halvvägs längs strängen – inte direkt ovanför oktavbandet. Jag sa” idealiserad ” sträng ovan, vilket betyder en sträng som är helt flexibel och så kan böjas lätt i vardera änden. I praktiken har strängar en ändlig böjstyvhet och så är deras effektiva längd (”L” som ska användas i ovanstående formler) lite mindre än deras fysiska längd. Detta är en av anledningarna till att större strängar vanligtvis har en lindning över en tunn kärna, varför bron vanligtvis är i en vinkel som ger de fetare strängarna längre längder och varför den (fasta) G-strängen på en klassisk gitarr har dålig inställning på de högre banden. Det finns också en effekt på grund av den extra sträckningen av en sträng när den trycks ner till greppbrädan, en effekt som är betydande på stålsträngar.)

en övning för gitarrister. På en gitarr inställd på vanligt sätt är B-strängen och den höga E-strängen ungefär inställd på 3: e och 4: e övertonerna i den låga E-strängen. Om du plockar den låga E-strängen var som helst utom en tredjedel av vägen, bör B-strängen börja vibrera, driven av vibrationerna i bron från den första strängens harmoniska. Om du plockar den låga E-strängen var som helst utom en fjärdedel av vägen, ska den övre e-strängen köras på samma sätt.

harmonisk inställning på gitarrer

gitarrister börjar ofta ställa in på följande sätt: först ställa in den 4: e harmoniska av den låga E-strängen, den 3: e av A-strängen och toppen e alla till samma ton. Figuren till höger visar den harmoniska serien på de två lägsta strängarna. därefter stämmer de B-strängen (B3) till den 3: e harmoniska av den första (E2); ställ sedan in den 4: e harmoniska av A-strängen till 3: e Av D-strängen. Denna metod kan inte förlängas framgångsrikt till G-strängen eftersom den vanligtvis är för tjock och styv, så den är bättre inställd av oktaver med hjälp av banden. Av flera skäl (se anteckningarna i slutet av denna sida) är denna metod för inställning endast ungefärlig, och man måste retune oktaverna efteråt. Den bästa inställningen är vanligtvis en kompromiss som måste göras efter att ha övervägt vilka ackord du ska spela och var du spelar på greppbrädan.

gitarr tuning av övertoner. (Det här är riktiga platser: gitarrmusik transponeras vanligtvis upp en oktav.)

övertoner i musik

Kompositörer kräver ofta sådana övertoner på stränginstrument: den vanligaste är ”touch fourth”. Med ett finger stoppar spelaren strängen för att producera den längd som krävs för en viss anteckning, och sedan, med ett annat finger, berör strängen mycket lätt i den position som krävs för noten fyra toner högre i skalan (därav namnet). Denna position är en fjärdedel av vägen längs strängen, så den producerar den fjärde harmoniska av den stoppade noten. Den fjärde harmoniska har fyra gånger den grundläggande frekvensen, och så är två oktaver högre. För strängspelare kallas övertonerna ”naturliga”; när de spelas på öppna strängar och” konstgjorda”; om spelaren måste stoppa strängen. Diagrammet visar hur en naturlig touch fjärde spelas, och notationen för touch fjärde på fiol en sträng. Diagrammets vertikala axel har överdrivits för tydlighet.


öppna en sträng som spelas normalt, sedan beröringen fjärde på den här strängen (4: e harmonisk)

tonhöjden för en anteckning bestäms av hur snabbt strängen vibrerar. Det beror på fyra saker:

• tjockare, mer massiva strängar vibrerar långsammare. På fioler, gitarrer etc ändras inte strängens öppna längd, och vanligtvis förändras inte spänningen mycket heller (de handlar om lika svårt att trycka ner). Så de låga strängarna är tjockare.
• frekvensen ökar med spänningen i strängen. Så här ställer du in instrumentet med maskinhuvuden eller stämpinnar: stramare ger högre tonhöjd.
• längden på strängen som är fri att vibrera är också viktig. När du stoppar en sträng mot greppbrädan på en cello, till exempel, förkortar du den effektiva längden och höjer tonhöjden.
• du kan också ändra tonhöjden genom att ändra vibrationsläget. När du spelar övertoner inducerar du strängen att producera vågor som är en bråkdel av längden på de som normalt produceras av en sträng av den längden.

  vi kan sätta allt detta i ett enkelt uttryck. Om den vibrerande delen av strängen har en längd L och en massa M, om spänningen i strängen är F och om du spelar nth harmonisk, är den resulterande frekvensen

  fn = (n/2l)(FL/M)1/2 = (n/2)(F/LM)1/2.

  i instrument som fiol och gitarr är den öppna längden och spänningen ganska lika för alla strängar. Det betyder att för att göra en sträng en oktav lägre, samtidigt som du behåller samma längd, måste du fyrdubbla förhållandet M/L. om strängarna är gjorda av samma material betyder det att du fördubblar diametern. De feta strängarna är emellertid vanligtvis sammansatta: en tunn kärna lindad med lindningar för att göra dem mer massiva utan att göra dem svårare att böja.

  Låt oss se var detta uttryck kommer ifrån. Vågan färdas ett avstånd i en period t av vibrationen, så v = IC/T. frekvensen f = 1 / t = v / IC. Så f = v / Xiaomi. Vi såg också att för den grundläggande frekvensen f1 är stränglängden XHamster / 2, Så f1 = v/2l. våghastigheten bestäms av strängspänningen F och massan per enhetslängd eller linjär densitet XHamster = M/L, v = (F/XHamster)1/2 = (FL/M)1/2. Så f1 = Xiaomi (f / LM)1/2. Multiplicera båda sidor med n ger frekvenserna för övertonerna som citeras ovan.

  vi kan ordna om detta för att ge strängspänningen: F = 4f12lm.

komplikationer med harmonisk tuning

det finns flera problem med någon gitarr tuning, inklusive att använda övertoner föreslås ovan.

den mest uppenbara approximationen är relaterad till temperament: om gitarrsträngarna var idealiska och banden idealiskt placerade för lika temperament, stämmer harmoniska fjärdedelar till E-A och A-D-paren, plus två lika tempererade halvtoner på D-strängen, skulle göra intervallet mellan lägsta E och 2: a bandet på D-strängen cirka 4 cent platt ((4/3)222/12=1.996). Detta skulle leda till störningar beats på priser för en varannan sekund.

en annan uppenbar komplikation med harmonisk inställning är att strängarna inte böjer sig med fullständig lätthet över muttern och bron (som diskuterats ovan). Se också hur harmoniska är övertoner.) Som ett resultat är den 1: a övertonen på en sträng något skarpare än en oktav, nästa ännu skarpare än en tolfte, och så vidare. Så att ställa in den 4: e’ harmoniska ’ av e-strängen till den 3: e av A-strängen gör dem till deras öppna intervall mer än en harmonisk fjärde. Så detta tenderar att kompensera för temperamentproblemet.

ett ytterligare problem har att göra med fret och broplacering. När du trycker ner en sträng vid tolfte bandet ökar du längden. (Innan du trycker på den, det kortaste avståndet mellan mutter och bro. Efteråt är det längre.) För att förlänga den har du ökat spänningen. På grund av detta, och även på grund av böjningseffekten i slutet av strängen, om den 12: e bandet var halvvägs mellan mutter och bro, skulle intervallet vara större än en oktav. (Du kan kontrollera detta experimentellt på ett fretless instrument.) Följaktligen är avståndet från bro till 12: e bandet större än det från muttern till 12: e bandet. Effekten skiljer sig mellan strängar. I vissa elektriska gitarrer är individuell justering av positionen för varje bro möjlig. I andra gitarrer placeras bron i en vinkel. I en klassisk gitarr kräver den raka enkla bron en viss kompromiss i tuning.

effekterna ovan är svåra mått med experimentellt med den nödvändiga precisionen: effekterna är bara några cent, vilket inte är mycket större än precisionen hos öron eller avstämningsmätare när de appliceras på en plocksträng. Vidare är det svårt att justera maskinhuvuden för att uppnå en precision bättre än ett par cent. Å andra sidan, om du får alla anteckningar i samklang inom ett par cent, du gör bättre än de flesta musiker och det kommer att låta ganska bra!

det finns ytterligare problem när strängar blir gamla. Där du fingrar dem med vänster hand, tar de upp fett och blir mer massiva (även om de också kan förlora material där de gnuggar på band). De kan också bära där du väljer dem. När strängarna blir inhomogena blir stämningen successivt sämre. Tvätta dem kan hjälpa.

sättet att komma runt de flesta av dessa problem är att spela fretless instrument, men det gör ackord mer besvärliga.

skalpositionerna är i bara intonation. Beröringen vid 2/9 är säkrare än den vid 1/9, men den faller inte över någon skalanteckningsposition: Den ligger lite över den mindre tredjedelen. Violister eller violoncellister som repeterar Radulescus” Practicing Infinity ” (sic) uppmanas att skriva till mig för ytterligare förslag om tekniker för höga övertoner.

Se även hur harmoniska är övertoner?

Harp acoustics

det enda arbete vi har gjort på harps beskrivs här.

mer information

• stående vågor och resande vågor från Physclips har filmklipp och animationer.
• bågar och strängar (en enkel introduktion till den interaktionen).
• violinstudier (mer information om våra studier om fioler).
• Chladni mönster (experimentella resultat som visar vibrationen av plattorna av fioler).
• artikulering och vibrato på fiolen och deras betydelse för fioljudet.
• Violinakustik: en översikt (en enkel introduktion till violinakustik).
• Forskningsdokumenten från John McLennan, doktorand i Musikakustik vid UNSW.
• en introduktion till flöjtakustik (med en diskussion om övertoner i en luftkolonn).