det beror verkligen på vad du menar med ”oändlighet”. Om du menar $ \ infty$, så är det inte ett tal, utan snarare en stenografi för konceptet att en viss mängd (vanligtvis ett naturligt eller reellt tal) växer utöver någon ändlig gräns. Som sådan kan du inte multiplicera det med någonting, och särskilt inte själv. Det finns emellertid flera aritmetiska system som har element som är större än någon ändlig summa av formen $1+1+\cdots +1$, och därmed förtjänar att kallas oändlig i storlek. Jag berättar om tre av dem (något förenklat, men förhoppningsvis inte direkt felaktigt).
den första är kardinalerna. De anger hur stort något (en uppsättning) är. En ändlig kardinal är bara ett naturligt tal (betyder ”storleken på en uppsättning med så många element”), men det finns också ininite kardinaler. Den minsta oändliga kardinalen är $ \ aleph_0$, storleken på uppsättningen natrual-nummer.
tillägg av kardinaler fungerar som du förväntar dig att tillägg av storlekar ska fungera, nämligen att sätta de två uppsättningarna bredvid varandra och räkna hur många element det finns totalt. Mer specifikt, om du har två kardinalnummer $\kappa_1, \kappa_2$, var och en betecknar storleken på två uppsättningar $X_1, X_2$, är kardinalen $\kappa_1+\kappa_2$ kardinaliteten hos den ojämna unionen $X_1\sqcup X_2$, eller motsvarande uppsättningen par $(x_i, i)$ där $x_i \i X_i$ och $i \i \{1, 2\}$.
multiplikation av kardinaler fungerar på följande sätt: $ \ kappa_1\cdot\kappa_2$ är storleken på uppsättningen $X_1 \ gånger X_2$, uppsättningen par $x_1, x_2$ med $x_1 \ i X_1$ och $x_2\i X_2$. Om den största av $ \ kappa_1$ och $\kappa_2$ är oändlig, då $\kappa_1 + \kappa_2 = \kappa_1\cdot\kappa_2 = \ max (\kappa_1, \kappa_2)$. Det betyder att om $ \ kappa$ är en oändlig kardinal, $\kappa^2 = \kappa$, så får vi också $\sqrt\kappa = \kappa$.
(du kan också definiera exponenter: $\kappa_1^{\kappa_2}$ är storleken på uppsättningen av alla möjliga funktioner från $X_2$ till $X_1$. Till exempel är $2$ en uppsättning med två element, så $\kappa^2$ är uppsättningen funktioner från en uppsättning med två element till $\kappa$. En funktion från en uppsättning med två element är densamma som ett ordnat par, så det här är faktiskt detsamma som $\kappa\cdot \kappa$. Snyggt, va?)
den andra är ordinalerna. De betyder orderingång av föremål. Men inte alla beställningar, men beställningar där någon delmängd har ett minsta element, så kallade välordningar. Återigen är en ändlig ordinär bara ett naturligt tal (vilket betyder ”ordningen av alla mindre naturliga tal”), men precis som förra gången finns det oändliga ordinaler, varav den minsta kallas $\omega_0$, eller bara $\omega$, och det betyder ordningen av de naturliga siffrorna.
tillägg av ordinaler görs på följande sätt: om $\gamma, \lambda$ är ordinaler, är $\gamma + \lambda$ beställningen genom att sätta $\gamma$ framför $\lambda$. Till exempel är $1 + \omega$ detsamma som $\omega$, för om du tar de naturliga siffrorna och lägger ett element framför dem alla, har du något som när det gäller beställning ser exakt ut som de naturliga siffrorna själva. Men $ \ omega + 1$ betyder att man sätter ett enda element efter alla naturliga tal, vilket är en annan ordning.
multiplikation fungerar på följande sätt: $ \ gamma \ cdot \ lambda$ är ordinalen vi får genom att ta $ \ lambda$, ersätta varje element i den beställningen med en kopia av $ \ gamma$ och lägg sedan till dem alla i den ordningen (dvs. sätt dem efter varandra) (vi anger att du arbetar dig från vänster till höger). På så sätt betyder $2\cdot \omega$ att man tar de naturliga siffrorna, byter var och en av siffrorna där för två siffror och lägger sedan alla dessa par efter varandra. Detta ger oss $ \ omega$ tillbaka. Men $ \ omega \ cdot 2$ betyder att man tar ett ordnat par, byter var och en av de två elementen med en kopia av de naturliga siffrorna och lägger sedan en kopia efter den andra. Detta är detsamma som du skulle få genom att beräkna $ \ omega + \ omega$.
i detta ramverk är multiplikation och tillägg av oändliga ordinaler inte lika triviala som för kardinalerna. Vi får till exempel $\omega\cdot \omega = \omega + \omega +\omega + \cdots $, vilket är den minsta oändliga perfekta kvadratiska ordinalen. Som med de naturliga siffrorna själva finns det några ordinaler som har en kvadratrot och några som inte gör det. Specifikt har $\omega$ inte en kvadratrot.
( du kan också definiera exponenter för ordinaler: I det här fallet är $ \ gamma^ \ lambda$ den ordinära vi får om vi tar $\lambda$, ersätter varje element i det med kopior av $\gamma$ och multiplicerar dem alla tillsammans, precis som multiplikation definierades som upprepad tillägg. Detta gör $ \ omega^2 = \ omega \ cdot \ omega$. Snyggt, va? Observera att medan ordinär och kardinal addition och multiplikation är något liknande, är deras begrepp om exponentiering mycket olika.)
slutligen ska jag berätta om de surrealistiska siffrorna. Medan ordinaler och kardinaler används i stor utsträckning i uppsättningsteori, är de surrealistiska siffrorna mer av en nyfikenhet. De är också lite svårare att linda huvudet runt. Men jag gillar dem verkligen, så här är en kort sammanfattning.
ett surrealistiskt tal $x$ består av ett ordnat par uppsättningar skrivna $\langle L_x\mid R_x\rangle$, där $L_x$ kallas vänster uppsättning $x$ och $R_x$ kallas rätt uppsättning. Dessa uppsättningar består båda av andra surrealistiska tal, med kravet att om $x_l \i L_x$ och $x_r\i R_x$, då har vi $x_l < x_r$. $x$ betyder sedan ett surrealistiskt tal mellan $L_x$ och $R_x$ (det första numret enligt dess generation, se nedan). Beställning definieras på följande sätt: givet två surrealistiska tal $x = \langle L_x\mid R_x\rangle, y = \langle L_y\mid R_y \ rangle$ vi säger att $x \ leq y$ iff båda följande är sanna:
- det finns ingen $x_l \ i L_x$ sådan att $y \ leq x_l $
- det finns ingen $y_r \ i R_y$ sådan att $y_r \ leq x$
(Observera att för att utvärdera $y \leq x_l$ och $y_r\leq x$ måste du tillämpa samma definition igen. Detta kommer i praktiken att bli mycket tråkigt för alla utom de enklaste siffrorna. Detta rekursiva koncept kommer tillbaka när man definierar addition och multiplikation.)
egentligen var jag inte riktigt sanningsenlig tidigare. Ett surrealistiskt tal är en ekvivalensklass av sådana par (det här tog mig lång tid att verkligen uppskatta). Ett par i sig kallas en surrealistisk talform. Två former $x, y$ tillhör samma ekvivalensklass iff $x\leq y$ och $y\leq x$.
varje surrealistiskt tal har en så kallad ”generation”. Det första surrealistiska talet (generation $0$) är $0 = \langle {}\mid{} \rangle$ där vänster och höger uppsättningar är tomma. De följande två surrealistiska siffrorna (generation $1$) är $1 = \langle0\mid{}\rangle$ och $-1 = \langle{}\mid 0\rangle$. Generation $2$ består av $-2 = \langle{}\mid -1\rangle$, $-\frac12 = \langle -1\mid 0\rangle$, $\frac12 = \langle 0\mid 1\rangle$ och $2 = \langle 1\mid{}\rangle$.
här kan vi se ekvivalensklasserna på jobbet, eftersom vi också har $2 = \langle -1, 0, 1\mid {}\rangle$, och vi har till exempel $0 = \langle -2\mid 1\rangle$, för även om $-1$, $\frac12$ och $-\frac12$ också ligger mellan $-2$ och $1$, $0$ tillhör en tidigare generation. Du kan kontrollera att vi verkligen har $ \ langle -2\mid 1\rangle\leq \langle {}\mid {}\rangle$ och samtidigt $\langle {}\mid{}\rangle \leq \langle -2\mid 1\rangle$, medan detsamma inte är sant om vi byter $\langle {}\mid{}\rangle$ för $\langle 0\mid 1\rangle$.
vi fortsätter att göra finare och finare uppdelningar i alla ändliga generationer, varje tal som verkar vara ett tal av formen $\frac a{2^b}$, en dyadisk fraktion, tills vi kommer till den första oändliga generationen, $\omega$ (ja, generationerna är ordinaler), där alla reella tal plötsligt dyker upp (till exempel $\sqrt 2 = \langle 1, \frac{5}{4}, \frac{11}{8}, \ldots{}\mid {}\ldots,\frac{12}{8}, \frac{3}{2}, 2\rangle$). Vi får också den första oändliga ordinalen, $ \ omega$ själv, som $ \ langle 1, 2, 3,\ldots{}\mid{}\rangle$ och dess ömsesidiga $\frac1\omega = \langle {}\mid {}\ldots \frac18,\frac14,\frac12, 1\rangle$.
hittills har jag inte pratat om aritmetiken. Utan det finns det ingen anledning att ringa $\langle 0\mid 1\rangle$ $\frac12$ och inte något annat. Givet $x = \ langle L_x\mid R_x\rangle$ och $y = \langle L_y\mid R_y\rangle$, addition definieras rekursivt av$$x + y = \langle \ {x + y_l: y_l \ i L_y\} \ cup \ {x_l+ y:x_l\in L_x\} \ mid \ {x + y_r: y_r \ in R_y\} \ cup \ {x_r + y:X_r\i R_x\}\rangle$$multiplikation är lite mer rörigt, så jag använder lite stenografi:$$xy = \langle \{x_ly + xy_l – x_ly_l\}\cup\{x_ry + xy_r – x_ry_r\}\mid \{x_ly + xy_r – x_ly_r\}\cup\{x_ry + xy_l – x_ry_l\}\rangle$$där subtraktion är definieras som man kan förvänta sig, genom att förneka rätt nummer och lägga till. Negating görs genom att negera varje element i höger och vänster uppsättningar och byta de två runt.
precis som med ordinalerna är $\omega^2 = \omega\cdot \omega$ en perfekt kvadrat. Men här kommer den roliga delen: alla positiva surrealistiska tal har en kvadratrot. För att få kvadratroten på $\omega$ behöver vi så några fler definitioner (teoretiskt sett kan man och borde motivera var och en av dessa namn genom att utföra tillägget och multiplikationen för att se att du får vad du borde, men det är mycket arbete):$$\omega – 1 = \langle 1, 2, 3,\ldots\mid \omega\rangle\\\omega – 2 = \langle 1, 2, 3,\ldots\mid \omega – 1\rangle\\\omega – 3 = \langle 1, 2, 3,\ldots\Mid \Omega – 2\rangle\\\vdots$$och sedan får vi $\frac\omega2 = \langle 1, 2, 3,\ldots \mid\ldots, \omega – 3, \omega – 2, \Omega – 1\rangle$. På samma sätt kan vi definiera $ \ frac \ omega2-1, \frac\omega2 – 2$, och så vidare, och vi får $\frac\omega4 = \langle 1, 2, 3, \ldots\mid \ldots, \frac\omega2-3,\frac\omega2 – 2,\frac\omega2-1\rangle$. Då kan vi definiera $ \ frac \ omega8, \ frac \ omega{16}$ och så vidare. Slutligen får vi $ \ sqrt \ omega = \ langle 1, 2, 3, 4,\ldots\mid \ldots,\frac\omega8,\frac\omega4,\frac\omega2,\omega\rangle$. Vi är nu på generation $ \ omega^2$.
