muitas funções em aplicações são construídas a partir de funções simples, através de constantes em vários lugares. É importante compreender o efeito que tais constantes têm na aparência do grafo.
turnos Horizontais. Se substituirmos $x$ por $x-C$ em todos os lugares que ocorre na fórmula de $f(x)$, então o gráfico muda mais de $C$ para a direita. (Se $c$ é negativo, então isso significa que o gráfico muda mais de$|C|$ para a esquerda. Por exemplo, o grafo de $y=(x-2)^2$ é a parábola$x^2$deslocada para ter seu vértice no ponto 2 no eixo$x$. O grafo de $y=(x+1)^2$ é a mesma parábola deslocada para a esquerda de modo a ter o seu vértice em $-1$ no eixo $x$. Nota bem: ao substituir $x$ por $x-C$ nós devemos prestar atenção ao significado, aparência notmerely. Começando por $y=x^2$ e substituindo literalmente $x$por $x-2 $ dá $y=x-2^2$. Isto é $ y = x-4$, uma linha com a rampa 1, Não uma parábola com bifes.
mudanças verticais. Se substituirmos $ y$ por $ y-D$, Então o gráfico aumenta $ d $ unidades. (Se $d$ é negativo, então isso significa que o gráfico diminui $|D|$ unidades.) Se a fórmula for escrita na forma$y=f(x)$ e se $y$ for substituída por $y-D$ para obter $y-d=f(x)$, podemos mover $D$ para o outro lado da equação e escrever$y=f (x)+D$. Assim, este princípio pode ser afirmado: para obter o gráfico de $y=f(x)+d$, pegue o gráfico de $y=f(x)$ e mova-o $d$ unidades para cima.Por exemplo, a função $y=x^2-4x=(x-2)^2-4$ pode ser obtida a partir de$y=(x-2)^2$ (ver o último parágrafo), movendo o gráfico 4 unidades para baixo.O resultado é o $x^2$-parabola deslocou 2 unidades para a direita e 4 unitsdown de modo a ter seu vértice no ponto $(2, -4)$.
Aviso. Não confunda $f(x)+D$ E $f (x+D)$. Por exemplo,se $f(x)$ é a função $x^2$, então $f(x)+2$ é a função $x^2+2$,enquanto que $f(x+2)$ é a função $(x+2)^2=x^2+4x+4$.
exemplo 1.4.1 (círculos) um exemplo importante dos dois princípios acima iniciados com o círculo $x^2+y^2=r^2$. Este é o círculo de raio r$ centrado na origem. (Como vimos, esta não é uma única função$y=f(x)$, mas sim duas funções $y=\pm\sqrt{r^2-x^2}$ juntas;em qualquer caso, os dois princípios de mudança aplicam-se a equações como esta que não estão na forma $y=f (x)$.) Se substituirmos $x$em $x-C$ e substitua $y$ por $y-D$—obtendo a equação$(x-C)^2+(y-D)^2=r^2$—o efeito sobre o círculo é para movê-lo de $C$ tothe direito e $D$ para cima, obtendo assim o círculo de raio $r$centrado no ponto $(C,D)$. Isto nos diz como escrever aequação de qualquer círculo, não necessariamente centrado na origem.
iremos mais tarde querer usar mais dois princípios relativos aos efeitos dos instantes na aparência do Gráfico de uma função.
dilatação Horizontal. Se $x$ for substituído por$x / a$ em uma fórmula e $a>1$, Então o efeito no grafo é expand-lo por um fator de $a$ na direção $x$(longe do eixo$y$). Se $a$ estiver entre 0 e 1, Então o efeito no grafo é contrair por um fator de $1/a$(em direção ao eixo $y$). Usamos a palavra “dilatar” para significar expandir ou contrair.
For example, replacing $x $ by$x / 0.5=x / (1/2) = 2x$ has the effect of contracting toward the $Y$-axis by a factorof 2. Se $ a$ é negativo, dilatamos por um fator de $ / A / $ e então flip sobre o $y $ – axis. Assim, substituir $x$ por $ – x $ tem o efeito de tomar a imagem do espelho do gráfico em relação ao eixo $y$. Por exemplo, a função $y=\sqrt{-x}$, que tem domínio $\{x\in\r\mid x\le 0\}$, é obtida tomando o gráfico de $\sqrt{x}$ e rodando-o em torno do eixo $y$no segundo quadrante.
dilatação Vertical. Se $y$ for substituído por $y / B$ em uma fórmula e$B> 0$, então o efeito no gráfico é dilatá-lo por um fator de $B$ na direção vertical. Como antes, esta é uma expansão ou contração dependendo se $b$ é maior ou menor que um.Note que se tivermos uma função $y=f(x)$,substituir $y$ por $y/B$ é equivalente a multiplicar a função à direita por $B$: $y=Bf(x)$. O efeito sobre o gráfico é expandir o pictureaway dos $x$eixo por um factor de $B$ se $B>1$, para contrato towardthe $x$eixo por um factor de $1/$ B, se $0
Exemplo 1.4.2 (Elipses)Um exemplo básico de dois expansão princípios é dado por uma ellipseof semi-eixo maior de $a$ e semiminor eixo $b$. Nós obtemos tal um bystarting elipse com o círculo da unidade-o círculo do raio 1 centrado em theorigin, cuja equação é $x^2+y^2=1$—e dilatando por um factorof $a$ horizontalmente e por um fator de $b$ verticalmente. Para obter a igualdade da elipse resultante, que cruza o eixo $x$a $\pm A$ e cruza o $y$-axisat $\pm B$, nós substituímos $X$ por $x/a$ e $y$ Y $por$ y/b $ no equation for the unit circle. Isto dá $\left ({x\over a}\right)^2+\left ({y\over b}\right)^2=1\qquad\hbox{or}\qquad {x^2\over a^2}+{y^2\over B^2}=1.$$
finalmente, se queremos analisar uma função que envolve bothshifts e dilações, normalmente é mais simples trabalhar com asdilações primeiro, e depois as mudanças. Por exemplo, se quisermos filtrar uma função por um fator de $a$ na direção de $x$e então mudar $C$ para a direita, fazemos isso substituindo $x$ primeiro por $x/a$e depois por $(x-C)$ na fórmula. Como um exemplo, suponha-se que,após a dilatação nosso círculo de unidade por $a$ a $x$-direção e $b$a $y$-direção para obter a elipse no último parágrafo, nós thenwanted transferi-lo a uma distância $h$ para a direita e uma distância de $k$para cima, de modo a ser centrado no ponto $(h,k)$. As elipsas novas poderão ter a equação$$\left ({x-h\over a}\right)^2+\left ({y-k\over b}\right)^2=1.$$Note bem que isto é diferente do que fazer mudanças por $h$ e $k$ andthen dilatações por $a$ e $b$:$$\left({x\sobre a}-h\right)^2+\left({y\over b}-k\right)^2=1.Ver figura 1.4.1.
Figura 1.4.1. Elipses: $\left({x-1\over 2}\right)^2+\left({y-1\over 3}\right)^2=1$, à esquerda, $\left({x\over 2}-1\right)^2+\left({y\mais de 3}-1\right)^2=1$ sobre o direito.
Exercícios 1.4
Começando com o gráfico de $\ds y=\sqrt{x}$, o gráfico de $\ds y=1/x$, e thegraph de $\ds y=\sqrt{1-x^2}$ (a superior unidade de semicírculo), esboço thegraph de cada uma das seguintes funções:
Ex 1.4.1$\ds f(x)=\sqrt{x-2}$
Ex 1.4.2$\ds f(x)=-1-1/(x+2)$
Ex 1.4.3$\ds f(x)=4+\sqrt{x+2}$
Ex 1.4.4$\ds y=f(x)=x/(1-x)$
Ex 1.4.5$\ds y=f(x)=-\sqrt {x}$
Ex 1.4.6$\ds f(x)=2+\sqrt{1-(x-1)^2}$
Ex 1.4.7$\ds f(x)=-4+\sqrt{-(x-2)}$
Ex 1.4.8$\ds f(x)=2\sqrt{1-(x/3)^2}$
Ex 1.4.9$\ds f(x)=1/(x+1)$
Ex 1.4.10$\ds f(x)=4+2\sqrt{1-(x-5)^2/9}$
Ex 1.4.11$\ds f(x)=1+1/(x-1)$
Ex 1.4.12$\ds f(x)=\sqrt{100-25(x-1)^2}+2$
O gráfico de $f(x)$ é mostrado abaixo.Esboçar os gráficos das seguintes funções.
Ex 1.4.13$\ds y=f(x-1)$
Ex 1.4.Us $14\ds y=1+f(x+2)$
Ex 1.4.15$\ds y=1+2f(x)$
Ex 1.4.16$\ds y=2f(3x)$
Ex 1.4.17$\ds y=2f(3(x-2))+1$
Ex 1.4.18$\ds y=(1/2)f(3x-3)$
Ex 1.4.19$\ds y=f(1+x/3)+2$
