The following is from Joseph Mazur’s new book, What’s Luck Got to Do with It?:
…há uma história autenticamente verificada que em algum momento da década de 1950 uma roda em Monte Carlo chegou mesmo vinte e oito vezes seguidas. As probabilidades disso acontecer estão perto de 268.435.456 para 1. Com base no número de golpes por dia em Monte Carlo, tal evento provavelmente acontecerá apenas uma vez em quinhentos anos.
Mazur usa essa história para o backup de um argumento que defende que, pelo menos até muito recentemente, muitos de rodas de roleta não é justo.
assumindo que a matemática está certa( vamos verificar mais tarde), você pode encontrar a falha em seu argumento? O exemplo a seguir ajudará.
a probabilidade de rolar duplos
Imagine que você entrega um par de dados a alguém que nunca jogou dados em sua vida. Ela rola-os, e recebe cinco duplos no seu primeiro rolo. Alguém diz: “sorte de principiante! Quais são as probabilidades disso no primeiro rolo dela?”
Well, what are they?Há duas respostas que eu aceitaria aqui, uma muito melhor do que a outra.O primeiro é assim. As probabilidades de rolar um cinco com um dado São 1 em 6; Os dados são independentes de modo que as probabilidades de rolar outros cinco são 1 em 6; portanto, as probabilidades de rolar Double fives são
$$(1/6)*(1/6) = 1/36$$.
1 em 36.
por esta lógica, o nosso novo jogador acabou de fazer algo bastante improvável no seu primeiro rolo.Mas espere um minuto. Nenhum par de duplos seria tão “impressionante” no primeiro rolo? O que realmente deveríamos calcular são as probabilidades de rolar duplos, não necessariamente cincos. Qual é a probabilidade disso?
uma vez que existem seis pares possíveis de duplas, não apenas um, podemos multiplicar por seis para obter 1/6. Outra maneira fácil de calcular: A primeira morte pode ser qualquer coisa. Qual é a probabilidade da segunda morte corresponder? Simples: 1 em 6. (O facto de os dados serem rolados simultaneamente não tem qualquer consequência para o cálculo.)
não é assim tão notável, pois não?Por alguma razão, muitas pessoas têm dificuldade em entender esse conceito. As chances de rolar duplas com um único lançamento de um par de dados é de 1 em 6. As pessoas querem acreditar que é 1 em 36, mas isso só se você especificar que par de duplos devem ser lançados.
agora vamos reexaminar a roleta “anomalia”
este mesmo erro é o que faz Joseph Mazur concluir incorretamente que, como uma roda de roleta surgiu mesmo 28 vezes seguidas em 1950, era muito provável que fosse uma roda injusta. Vamos ver onde ele errou.
existem 37 faixas horárias numa roleta Europeia. 18 são iguais, 18 são ímpares, e um é o 0, que presumo que não conta como par ou ímpar aqui.
assim, com uma roda justa, as chances de um número par chegando são 18/37. Se spins são independentes, podemos multiplicar probabilidades de spins únicos para obter probabilidades conjuntas, então a probabilidade de dois pares retos é então (18/37)*(18/37). Continuando desta forma, calculamos as chances de obter 28 números pares consecutivos para ser $$(18/37)^{28}$$.
acontece que, isso nos dá um número que é aproximadamente duas vezes maior (o que significa um evento duas vezes mais raro) do que o cálculo de Mazur indicaria. Qual é a diferença?Aqui é onde Mazur acertou.: Ele está admitindo que uma corrida de 28 números ímpares consecutivos seria tão interessante (e é tão provável) como uma corrida de pares. Se 28 probabilidades tivessem surgido, isso também teria entrado no seu livro, porque seria igualmente extraordinário para o leitor.
assim, ele duplica a probabilidade que calculamos, e relata que 28 pares em uma linha ou 28 probabilidades em uma linha deve acontecer apenas uma vez a cada 500 anos. Fino.
mas e que tal 28 vermelhos seguidos? Ou 28 Negros?
aqui está o problema: ele não conta para vários outros eventos que seriam tão interessantes. Dois óbvios que me vêm à mente são 28 vermelhos seguidos e 28 Negros seguidos.
existem 18 negros e 18 vermelhos na roda (0 é verde). Assim, as probabilidades são idênticas às acima, e agora temos mais dois eventos que teriam sido notáveis o suficiente para nos fazer pensar se a roda era tendenciosa.
assim agora, em vez de dois eventos (28 odds ou 28 evens), agora temos quatro tais eventos. Então é quase o dobro da probabilidade de um ocorrer. Portanto, um desses eventos deve acontecer a cada 250 anos, não 500. Um pouco menos notável.E outros eventos improváveis?
e uma série de 28 números que alternaram o tempo todo, como Ímpar-Par-Ímpar, ou vermelho-preto-vermelho-preto-preto? Eu acho que se um destes tivesse ocorrido, Mazur teria ficado tão animado para incluí-lo em seu livro.Estes acontecimentos são tão improváveis como os outros. Agora quase duplicámos o nosso número de eventos notáveis que nos fariam apontar para uma roda partida como o culpado. Só que agora, são tantos, que seria de esperar que um acontecesse a cada 125 anos.Finalmente, considere que Mazur está olhando para trás ao longo de muitos anos, quando ele aponta este evento aparentemente extraordinário que ocorreu. Se tivesse acontecido a qualquer momento entre 1900 e o presente, eu estou supondo que Mazur teria considerado que Recente o suficiente para incluir como prova de seu ponto de que Rodas roleta foram tendenciosos não muito tempo atrás.É uma janela de 110 anos. É assim tão surpreendente, então, que algo que deveria acontecer uma vez a cada 125 anos ou assim aconteceu durante aquela grande janela? Nem por isso.
talvez ligeiramente improvável, mas nada que pudesse convencer alguém de que uma roda era injusta.
