mnoho funkcí v aplikacích je vytvořeno z jednoduchých funkcí vložením konstant na různých místech. Je důležité pochopitúčinek, který tyto konstanty mají na vzhled grafu.
horizontální posuny. Pokud nahradíme $x$ za $x-C$ všude, kde se vyskytuje ve vzorci pro $f (x)$, pak se graf posune přes $C$ na theright. (Pokud je $C$ záporné, znamená to, že graf se posune přes$ / C / $ doleva.) Například graf $y=(x-2)^2$ je$x^2$ – parabola posunutá tak, aby měla svůj vrchol v bodě 2 na ose$x$. Graf $y=(x+1)^2$ je stejná parabola posunutá nadlevo tak, aby měl svůj vrchol na $ -1$ na ose $x$. Poznámka dobře: při výměně $x$ za $x-C$ musíme věnovat pozornost významu, nikoli pouze vzhledu. Počínaje $y=x^2$ a doslova nahrazující $x$by $x-2$ dává $y=x-2^2$. Toto je $y=x-4$, přímka se sklonem 1, ne Ash-tovaná parabola.
vertikální posuny. Pokud nahradíme $y$ za $y-D$, pak grafpohybuje se$ D $ jednotky. (Pokud je $D$ záporné, znamená to, že grafpohybuje se dolů $|D|$ jednotky.) V případě, že vzorec je napsán v podobě$y=f(x)$ v a pokud $y$ je nahrazen $y-D$, $y, D=f(x)$, jsme canequivalently přesunout $D$ na druhou stranu rovnice a psát$y=f(x)+D$. Tento princip lze tedy uvést: získatgraf $y=f (x)+d$, vezměte graf $y=f (x)$ a přesuňte jej $d$ jednotky nahoru.Například funkce $y=x^2-4x=(x-2)^2-4$ lze získat z$y=(x-2)^2$ (viz poslední odstavec) posunutím grafu 4 jednotky dolů.Výsledkem je $x^2$-parabola posunula 2 jednotky doprava a 4 jednotkydolů tak, aby měl svůj vrchol v bodě $(2, -4)$.
varování. Nezaměňujte $f (x)+D$ A $f (x+D)$. Například,pokud $f(x)$ je funkce $x^2$, pak $f(x)+2$ je funkce $x^2+2$,přičemž $f(x+2)$ je funkce $(x+2)^2=x^2+4x+4$.
příklad 1.4.1 (kruhy)důležitý příklad výše uvedených dvou principůzačíná kruhem $x^2+y^2=r^2$. Toto je kružnice poloměru$r$ vystředěná na počátku. (Jak jsme viděli, toto není jediná funkce$y=f(x)$, ale spíše dvě funkce $y=\pm\sqrt{r^2-x^2}$ dohromady;v každém případě, dva přesouvá zásady se vztahují na rovnice, jako je toto, které nejsou ve tvaru $y=f(x)$.) Pokud bychom nahradit $x$do $x-C$ a nahradit $y$, $y-D$—dostat rovnici$(x-C)^2+(y-D)^2=r^2$—vliv na kružnici je pohyb $C$ na právo a $D$, čímž se získá kruhu o poloměru $r$střed v bodě $(C,D)$. To nám říká, jak psátrovnice jakéhokoli kruhu, nemusí být nutně soustředěna na původ.
později budeme chtít použít další dva principy týkající se účinkůkonstanty na vzhled grafu funkce.
horizontální dilatace. Pokud je $x$ nahrazeno$x / a$ ve vzorci a $a>1$, pak je účinek na grafrozšiřte jej o faktor $a$ ve směru $x$(od osy$y$). Pokud je $a$ mezi 0 a 1, pak je účinek na graf kontrakt faktorem $ 1 / a$(směrem k ose $ y$). Používáme slovo „dilatovat“ znamenat rozšířit nebo smlouvu.
například nahrazení $x$ za $ x / 0.5=x/(1/2)=2x$ má za následek kontrakci směrem k ose $ y$faktorem 2. Je-li $a$ záporné, rozšíříme o faktor $|A|$ a pak o osu $y$. Nahrazení $x$ za $ – x$ má tedy za následek vytvoření zrcadlového obrazu grafu vzhledem k ose $ y$. Například, funkce $y=\sqrt{-x}$, která má domény $\{x\in\R\mid x\le 0\}$, je obtainedby přičemž graf $\sqrt{x}$ a proletí to kolem $y$-osy do druhého kvadrantu.
vertikální dilatace. Pokud je $y$ nahrazeno$ y/b $ ve vzorci a$B>0$, pak je účinek na graf rozšířen o faktor $B$ ve svislém směru. Stejně jako dříve se jedná o rozšíření nebokontrakce v závislosti na tom, zda $B$ je větší nebo menší než jeden.Všimněte si, že pokud máme funkci $y=f (x)$, nahrazení $y$ za $y / b$ je ekvivalentní vynásobení funkce na theright $B$: $y=Bf (x)$. Účinek na grafu je rozšířit pictureaway z $x$-osa o faktor $B$, pokud $B>1$, ke smlouvě je towardthe $x$-osa o faktor $1/B$, pokud $0
Příklad 1.4.2 (Elipsy)základní příklad dvou rozšíření zásad je dána ellipseof semimajor osy $a$ a semiminor axis $b$. Dostaneme takové elipsy bystarting s jednotkové kružnice—kruh o poloměru 1 se středem theorigin, rovnice, z nichž je $x^2+y^2=1$—a rozšiřují se o factorof $$ vodorovně a koeficientem $b$ vertikálně. Chcete-li získat rovnicipse, která překročí$x $ -osu na $\pm a$ a překročí$y $ -osuat $ \pm b$, nahradíme $x$ za $x / a$ a $y$ za $y / b$ v rovnicipro jednotkový kruh. To dává $$\left({x\over v}\right)^2+\left({y\over b}\right)^2=1\qquad\h{nebo}\qquad {x^2\over a^2}+{y^2\over b^2}=1.$$
konečně, pokud chceme analyzovat funkci, která zahrnuje oběposunutí a dilatace, je obvykle nejjednodušší pracovat sdilatace nejprve a pak posuny. Například, pokud chceme todilate funkce faktorem $A$ v $x$-směr a thenshift $C$ správné, děláme to nahrazením $x$ první $x/$a pak tím, že $(x-C)$ ve vzorci. Jako příklad, předpokládám,že po rozšíří naše jednotka kruh $a$ v $x$-směr a $b$do $y$-směr, aby si elipsy v posledním odstavci, jsme thenwanted posun je vzdálenost $h$ doprava a vzdálenosti $k$směrem nahoru, tak, aby byl střed v bodě $(h,k)$. Nová elipsa by měla rovnici$$\left ({x-h\over a}\right)^2+\left ({y-K\over b}\right)^2=1.$$Všimněte si dobře, že je to jiné než první směnu tím, že $h$ a $k$ a dilations do $a$ a $b$:$$\left({x\over v}-h\right)^2+\left({y\over b}-k\right)^2=1.$$Viz obrázek 1.4.1.
obrázek 1.4.1. Elipsy: $\left ({x-1\over 2}\right)^2+\left ({y-1 \ over 3}\right)^2=1$ vlevo, $\left ({x \ over 2}-1 \ right)^2+\left ({y\over 3}-1 \ right)^2=1$ vpravo.
Cvičení 1.4
Počínaje graf $\ds y=\sqrt{x}$ je graf $\ds y=1/x$, a thegraph $\ds y=\sqrt{1-x^2}$ (horní jednotka půlkruh), skica thegraph každého z následujících funkcí:
Ex 1.4.1$\ds f(x)=\sqrt{x-2}$
Ex 1.4.2$\ds f(x)=-1-1/(x+2)$
Ex 1.4.3$\ds f(x)=4+\sqrt{x+2}$
Ex 1.4.4$\ds y=f(x)=x/(1-x)$
Ex 1.4.5$\ds y=f(x)=-\sqrt{-x}$
Ex 1.4.6$\ds f(x)=2+\sqrt{1-(x-1)^2}$
Ex 1.4.7$\ds f(x)=-4+\sqrt{-(x-2)}$
Ex 1.4.8$\ds f(x)=2\sqrt{1-(x/3)^2}$
Ex 1.4.9$\ds f(x)=1/(x+1)$
Ex 1.4.10$\ds f(x)=4+2\sqrt{1-(x-5)^2/9}$
Ex 1.4.11$\ds f(x)=1+1/(x-1)$
Ex 1.4.12$\ds f(x)=\sqrt{100-25(x-1)^2}+2$
graf $f(x)$ je uveden níže.Načrtněte grafy následujících funkcí.
Ex 1.4.13$\ds y=f(x-1)$
Ex 1.4.$14\ds y=1+f(x+2)$
Ex 1.4.15$\ds y=1+2f(x)$
Ex 1.4.16$\ds y=2f(3x)$
Ex 1.4.17$\ds y=2f(3(x-2))+1$
Ex 1.4.18$\ds y=(1/2)f(3x-3)$
Ex 1.4.19$\ds y=f(1+x/3)+2$
