to opravdu záleží na tom, co máte na mysli „nekonečno“. Pokud máte na mysli $\infty$, pak to není číslo, ale spíše zkratka pro pojem, že některé množství (obvykle přirozené nebo reálné číslo) roste mimo konečných vázán. Jako takový jej nemůžete znásobit ničím, a zejména ne sám. Existuje však několik aritmetických systémů, které mají prvky větší než jakýkoli konečný součet tvaru $1+1+ \ cdots +1$, a proto si zaslouží být nazýván nekonečnou velikostí. Řeknu vám o třech z nich (mírně zjednodušené, ale doufejme, že ne přímo nesprávné).
první z nich jsou kardinálové. Označují, jak velké je něco (sada). Konečný kardinál je jen přirozené číslo (označující „velikost sady s mnoha prvky“), ale tam jsou také ininite kardinálů. Nejmenší nekonečný kardinál je $\aleph_0$, velikost sady natruálních čísel.
přidání kardinálů funguje tak, jak byste očekávali, že přidání velikostí bude fungovat, jmenovitě uvedení dvou sad vedle sebe a spočítat, kolik prvků je celkem. Přesněji řečeno, máte-li dvě kardinální čísla $\kappa_1, \kappa_2$, každý označující velikost dvě sady $X_1, X_2$, pak kardinál $\kappa_1+\kappa_2$ je mohutnost nesouvislý unie $X_1\sqcup X_2$, nebo ekvivalentně, sada dvojici $(x_i, i)$, kde $x_i \in X_i$ a $i \in \{1, 2\}$.
násobení kardinálů funguje následujícím způsobem: $\kappa_1 \ cdot \ kappa_2$ je velikost sady $X_1 \ krát X_2$, sada párů $x_1, x_2$ s $x_1 \ v X_1$ a $x_2 \ v X_2$. Pokud největší z $\kappa_1$ a $\kappa_2$ je nekonečná, pak $\kappa_1+\kappa_2 = \kappa_1\cdot\kappa_2 = \max(\kappa_1, \kappa_2)$. To znamená, že pokud $\kappa$ je nekonečný kardinál, $\kappa^2 = \kappa$, tak také dostaneme $ \ sqrt\kappa = \kappa$.
(můžete také definovat exponenty: $\kappa_1^{\kappa_2}$ je velikost sady všech možných funkcí z $X_2 $ na $ X_1$. Například $2$ je sada dvou prvků, takže $\kappa^2$ je sada funkcí ze dvou prvků nastavených na $\kappa$. Funkce z dvouprvkové sady je stejná jako uspořádaný pár, takže je to vlastně stejné jako $\kappa \ cdot \ kappa$. Parádní, co?)
druhým jsou ordinály. Označují uspořádání objektů. Ne však všechny řády, ale řády, kde každá podmnožina má nejmenší prvek, tzv. Znovu, konečné pořadové číslo je přirozené číslo (označující „objednávání všech menších přirozených čísel“), ale stejně jako minule, tam jsou nekonečné řadové, z nichž nejmenší se nazývá $\omega_0$, nebo $\omega$, a to znamená uspořádání přirozených čísel.
Přidání anglické řadové číslovky se provádí následujícím způsobem: je-Li $\gamma, \lambda$ jsou řadové, pak $\gamma + \lambda$ je objednávání dostal tím, že $\gamma$ před $\lambda$. Například, $1 + \omega$ je stejný jako $\omega$, protože pokud budete mít přirozených čísel, a dal jeden prvek před všechny z nich, budete mít něco, že co se týče objednávání týče, vypadá úplně stejně jako přirozená čísla sami. Nicméně, $ \ omega + 1$ znamená uvedení jednoho prvku po všech přirozených číslech, což je jiné pořadí.
Násobení funguje následujícím způsobem: $\gamma\cdot \lambda$ je pořadové číslo dostaneme, tím, že $\lambda$, nahrazením každý prvek v objednávce s kopií $\gamma$, a pak přidat je všechny v tomto pořadí (tj. dejte je po sobě) (určujeme, že pracujete zleva doprava). Tímto způsobem $2 \ cdot \ omega$ znamená vzít přirozená čísla, vyměnit každé z čísel za dvě čísla a pak dát všechny tyto páry za sebou. To nám dává $ \ omega$ zpět. Nicméně, $ \ omega \ cdot 2$ znamená vzít objednaný pár, vyměnit každý ze dvou prvků s kopií přirozených čísel a pak dát jednu kopii za druhou. To je stejné, jako byste získali výpočtem $ \ omega + \ omega$.
v tomto rámci není násobení a přidávání nekonečných ordinálů tak triviální jako u kardinálů. Dostaneme například $ \ omega \ cdot \ omega = \ omega + \ omega + \ omega + \cdots $, což je nejmenší nekonečný dokonalý čtvercový ordinál. Stejně jako u samotných přirozených čísel Existují některé ordinály, které mají druhou odmocninu, a některé, které ne. Konkrétně $ \ omega$ nemá druhou odmocninu.
(můžete také definovat exponenty pro ordinály: V tomto případě, $\gamma^\lambda$ je pořadové číslo se dostaneme, pokud budeme trvat $\lambda$, nahradit každý prvek se v ní s kopií $\gamma$, a všechny vynásobíme dohromady, stejně jako násobení byla definována jako opakované sčítání. To dělá $ \ omega^2 = \ omega \ cdot \ omega$. Parádní, co? Všimněte si, že zatímco ordinální a kardinální sčítání a násobení jsou poněkud podobné, jejich představy o umocňování jsou velmi odlišné.)
nakonec vám povím o surrealistických číslech. Zatímco řadové a kardinálové jsou v těžké použití v teorii množin, neskutečný čísla jsou spíše ze zvědavosti. Oni jsou také trochu obtížnější zabalit hlavu kolem. Nicméně se mi opravdu líbí, takže zde je stručné shrnutí.
neskutečný číslo $x$ se skládá z uspořádané dvojice množiny písemné $\langle L_x\mid R_x\rangle$, kde $L_x$ nazývají levá sada $x$ a $R_x$ se nazývá správně nastavit. Tyto sady se skládají z dalších neskutečný čísla, s požadavkem, že pokud $x_l \v L_x$ a $x_r\v R_x$, pak máme $x_l < x_r$. $x$ pak znamená neskutečné číslo mezi $L_x$ a $R_x$ (první takové číslo podle jeho generace, viz níže). Objednání je definována následujícím způsobem: Vzhledem k tomu, dva neskutečný čísla $x = \langle L_x\mid R_x\rangle, y = \langle L_y\mid R_y\rangle$ řekneme, že $x \leq y$ mff obě tyto jsou pravdivé:
- nemáme žádné $x_l\v L_x$ takové, že $y \leq x_l$
- není $y_r\v R_y$ takové, že $y_r\leq x$
(Vědomí, že za účelem vyhodnotit $y \leq x_l$ a $y_r\leq x$, budete muset použít stejnou definici znovu. To bude v praxi velmi únavné pro všechny kromě nejjednodušších čísel. Tento rekurzivní koncept se vrací při definování sčítání a násobení.)
Vlastně jsem předtím nebyl úplně pravdivý. Surrealistické číslo je třída ekvivalence takových párů (to je to, co mi trvalo dlouho, než jsem to opravdu ocenil). Samotný pár se nazývá surrealistická číselná forma. Dvě formy $x, y$ patří do stejné třídy ekvivalence iff $x\leq y$ a $y \ leq x$.
každé surrealistické číslo má tzv. První neskutečné číslo (generace $0$) je $0 = \ langle {}\mid{} \rangle$, kde je levá a pravá množina prázdná. Další dvě surrealistická čísla (generace $1$) jsou $1 = \ langle0\mid{}\rangle$ a $-1 = \ langle{}\mid 0 \ rangle$. Generace $2$ se skládá z $-2 = \langle{}\mid -1\rangle$, $-\frac12 = \langle -1\mid 0\rangle$, $\frac12 = \langle 0\mid 1\rangle$ a $2 = \langle 1\mid{}\rangle$.
Tady můžeme vidět ekvivalence tříd v práci, protože máme také $2 = \langle -1, 0, 1\mid {}\rangle$, a máme, například, $0 = \langle -2\mid 1\rangle$, protože i když $-1$, $\frac12$ a $-\frac12$ jsou také mezi $-2$ a $1$, $0$ patří do starší generace. Si můžete ověřit, že jsme skutečně $\langle -2\mid 1\rangle\leq \langle {}\mid {}\rangle$ a zároveň $\langle {}\mid{}\rangle \leq \langle -2\mid 1\rangle$, zatímco totéž není pravda, pokud vyměníme $\langle {}\mid{}\rangle$ pro $\langle 0\mid 1\rangle$.
Budeme i nadále dělat jemnější a jemnější dělení ve všech konečných generace, každé číslo, které se objeví, že číslo formuláře $\frac{2^b}$, dyadická zlomek, dokud jsme se dostat na první nekonečné generace, $\omega$ (ano, generace jsou řadové), kde všech reálných čísel najednou pop-up (například, $\sqrt 2 = \langle 1, \frac{5}{4}, \frac{11}{8}, \ldots{}\mid {}\ldots,\frac{12}{8}, \frac{3}{2}, 2\rangle$). Také jsme si první nekonečné ordinální, $\omega$ sám, jako $\langle 1, 2, 3,\ldots{}\mid{}\rangle$, a jeho převrácená hodnota $\frac1\omega = \langle {}\mid {}\ldots \frac18,\frac14,\frac12,1\rangle$.
zatím jsem nemluvil o aritmetice. Bez toho není důvod volat $ \ langle 0 \ mid 1 \ rangle$ $\frac12$ a nic jiného. Vzhledem k tomu, $x = \langle L_x\mid R_x\rangle$ a $y = \langle L_y\mid R_y\rangle$, navíc je definována rekurzivně pomocí$$x + y = \langle \{x + y_l: y_l \v L_y\}\cup \{x_l + y:x_l\in L_x\} \mid \{x + y_r: y_r \v R_y\}\cup \{x_r + y:x_r\v R_x\}\rangle$$Násobení je trochu chaotický, takže budu používat některé zkratky:$$xy = \langle \{x_ly + xy_l – x_ly_l\}\cup\{x_ry + xy_r – x_ry_r\}\mid \{x_ly + xy_r – x_ly_r\}\cup\{x_ry + xy_l – x_ry_l\}\rangle$$, kde sčítání je definováno, jak by se dalo očekávat, tím, negování správné číslo a přidávání. Negace se provádí negací každého prvku v pravé a levé sadě, a vyměňte je kolem.
stejně jako u ordinálů je $ \ omega^2 = \ omega \ cdot \ omega$ dokonalým čtvercem. Zde však přichází zábavná část: každé pozitivní surrealistické číslo má druhou odmocninu. Získat odmocniny $\omega$, musíme tak některé další definice (teoreticky, jeden by mohl a měl ospravedlnit každý jeden z těchto názvů provedením sčítání a násobení vidět, že dostanete to, co jste měli, ale to je hodně práce):$$\omega – 1 = \langle 1, 2, 3,\ldots\mid \omega\rangle\\\omega – 2 = \langle 1, 2, 3,\ldots\mid \omega – 1\rangle\\\omega – 3 = \langle 1, 2, 3,\ldots\mid \omega – 2\rangle\\\vdots$$a pak dostaneme $\frac\omega2 = \langle 1, 2, 3,\ldots \mid\ldots, \omega – 3, \omega – 2, \omega – 1\rangle$. Podobně můžeme definovat $\frac\omega2-1, \frac\omega2-2$, a tak dále, a dostaneme $\frac\omega4 = \langle 1, 2, 3, \ldots\mid \ldots, \frac\omega2 – 3,\frac\omega2-2,\frac\omega2 – 1\rangle$. Pak můžeme definovat $ \ frac\omega8, \frac\omega{16}$ a tak dále. Konečně, dostaneme $\sqrt\omega = \langle 1, 2, 3, 4,\ldots\mid \ldots,\frac\omega8,\frac\omega4,\frac\omega2,\omega\rangle$. Nyní jsme na generaci $ \ omega^2$.
