Hyperbolická trajektorie

podobně jako eliptická dráha může být hyperbolická trajektorie pro daný systém definována (ignorující orientaci) její poloosou a excentricitou. S hyperbolickou oběžnou dráhou však mohou být další parametry užitečnější při porozumění pohybu těla. V následující tabulce jsou uvedeny hlavní parametry popisující cestu těla po hyperbolické dráze kolem jiného na základě standardních předpokladů a vzorce, které je spojují.

Hyperbolické trajektorie rovnice

Prvek	Symbol	Vzorec	použití v ∞ {\displaystyle v_{\infty }} (nebo {\displaystyle a} ), a b {\displaystyle b}
Standardní gravitační parametr	μ {\displaystyle \mu \,}	v 2 ( v 2 / r − 1 / a ) {\displaystyle {\frac {v^{2}}{(2/r-1/a)}}}	b v ∞ 2 dětská postýlka ⁡ θ ∞ {\displaystyle bv_{\infty }^{2}\cot \theta _{\infty }}
Výstřednost (>1)	e {\displaystyle e}	ℓ r p − 1 {\displaystyle {\frac {\ell }{r_{p}}}-1}	1 + b 2 / 2 {\displaystyle {\sqrt {1+b^{2}/a^{2}}}}
poloosa (<0)	a {\displaystyle A\,\!}	1 / ( 2 / r − v 2 / μ ) {\displaystyle 1/(2/r-v^{2}/\mu )}	− μ / v ∞ 2 {\displaystyle -\mu /v_{\infty }^{2}}
Hyperbolické nadměrné rychlosti	v ∞ {\displaystyle v_{\infty }}	− μ / a {\displaystyle {\sqrt {-\mu /a}}}
(Vnější) Úhel mezi asymptoty	2 θ ∞ {\displaystyle 2\theta _{\infty }}	2 protože − 1 ⁡ ( − 1 / e ) {\displaystyle 2\cos ^{-1}(-1/e)}	π + 2 tan − 1 ⁡ ( b / a ) {\displaystyle \pi +2\tan ^{-1}(b/a)}
Úhel mezi asymptoty a konjugát osy z hyperbolické dráhy přístup	2 ν {\displaystyle 2\nu }	2 θ ∞ − π {\displaystyle 2\theta _{\infty }-\pi }	2 sin − 1 ⁡ ( 1 ( 1 + r p ∗ v ∞ 2 / μ ) ) {\displaystyle 2\sin ^{-1}{\bigg (}{\frac {1}{(1+r_{p}*v_{\infty }^{2}/\mu )}}{\bigg )}}
Vliv parametru (semi-vedlejší osa)	b {\displaystyle b}	− e 2 − 1 {\displaystyle – {\sqrt {e^{2}-1}}}
Semi-latus rectum	ℓ {\displaystyle \ell }	a ( e 2 − 1 ) {\displaystyle(e^{2}-1)}	− b 2 / a = h 2 / μ {\displaystyle -b^{2}/=h^{2}/\mu }
Přistávání vzdálenost	r p {\displaystyle r_{p}}	a ( 1 − e ) {\displaystyle a(1-e)}	2 + b 2 + a {\displaystyle {\sqrt {a^{2}+b^{2}}}+}
Konkrétní orbitální energie	ε {\displaystyle \varepsilon }	− μ / 2 {\displaystyle -\mu /2a}	v ∞ 2 / 2 {\displaystyle v_{\infty }^{2}/2}
Specifický moment hybnosti	h {\displaystyle h}	μ ℓ {\displaystyle {\sqrt {\mu \ell }}}	b v ∞ {\displaystyle bv_{\infty }}

Poloosa, energie a hyperbolické přebytek velocityEdit

semi hlavní osy ({\displaystyle\,\!}

) není okamžitě viditelný s hyperbolické trajektorie, ale může být konstruován jako je vzdálenost od přistávání na bod, kde se dvě asymptoty kříž. Obvykle je konvencí záporné udržovat různé rovnice v souladu s eliptickými oběžnými dráhami.

semi hlavní osy je přímo spojena s konkrétní orbitální energie ( ϵ {\displaystyle \epsilon \,}

) nebo charakteristické energie C 3 {\displaystyle C_{3}}

oběžné dráhy a rychlosti těla dosáhne na jako vzdálenost má tendenci k nekonečnu, hyperbolické nadměrné rychlosti ( v ∞ {\displaystyle v_{\infty }\,\!}

). v ∞ 2 = 2 ϵ = C 3 = − μ / a {\displaystyle v_{\infty }^{2}=2\epsilon =C_{3}=-\mu /}

nebo = − μ / v ∞ 2 {\displaystyle a=-{\mu /{v_{\infty }^{2}}}}

kde: μ = G m {\displaystyle \mu =Gm\,\!}

je standardní gravitační parametr a C 3 {\displaystyle C_{3}}

je charakteristická energie, běžně používané při plánování meziplanetárních misí

Všimněte si, že celková energie je pozitivní v případě hyperbolické trajektorii (vzhledem k tomu, že je negativní na eliptické oběžné dráze).

Excentricita a úhel mezi přístupem a departureEdit

S hyperbolické dráze orbitální excentricita ( e {\displaystyle e\,}

) je větší než 1. Excentricita přímo souvisí s úhlem mezi asymptoty. S excentricitou těsně nad 1 je hyperbola ostrým tvarem „v“. At e = 2 {\displaystyle e={\sqrt {2}}}

asymptoty jsou v pravém úhlu. S e > 2 {\displaystyle e>2}

asymptoty jsou více než 120° od sebe, a při přistávání vzdálenost je větší než semi hlavní osy. Jak se excentricita dále zvyšuje, pohyb se blíží přímce.

úhel mezi směrem přistávání a asymptota z centrálního tělo je pravá anomálie, jako je vzdálenost má tendenci k nekonečnu ( θ ∞ {\displaystyle \theta _{\infty }\,}

), takže 2 θ ∞ {\displaystyle 2\theta _{\infty }\,}

je vnější úhel mezi směry přiblížení a odletu, (mezi asymptoty). Pak θ ∞ = cos − 1 ⁡ ( − 1 / e ) {\displaystyle \theta {_{\infty }}=\cos ^{-1}(-1/e)\,}

nebo e = − 1 / cos ⁡ θ ∞ {\displaystyle e=-1/\cos \theta {_{\infty }}\,}

Vliv parametru a vzdálenost nejbližší přístup Upravit

Hyperbolické trajektorie následuje objekty blížící centrální objekt (malá tečka), s stejné hyperbolické nadměrné rychlosti (a semi-hlavní osa (=1)) a od stejného směr, ale s různými parametry nárazu a excentricitami. Žlutá čára skutečně prochází kolem centrální tečky a blíží se k ní těsně.

dopad parametrem je vzdálenost, o kterou tělo, pokud to pokračoval nevzrušeně cestu, by si ujít ústřední orgán při nejbližším přiblížení. S orgány zažívá gravitační síly a po hyperbolické trajektorie je rovna semi-vedlejší osu hyperboly.

v situaci, kdy se kosmická loď nebo kometa blíží k planetě, bude parametr nárazu a nadměrná rychlost přesně známa. Pokud je centrální tělo známo, trajektorie může být nyní nalezena, včetně toho, jak blízko bude blížící se tělo v periapsi. Pokud je to menší než poloměr planety, měl by se očekávat dopad. Vzdálenost nejbližšího přiblížení nebo periapsis vzdálenost je dána:

r p = − a ( e − 1 ) = μ / v ∞ 2 ( 1 + ( b v ∞ 2 / μ ) 2 − 1 ) {\displaystyle r_{p}=-a(e-1)=\mu /v{_{\infty }}^{2}({\sqrt {1+(bv{_{\infty }}^{2}/\mu )^{2}}}-1)}

Takže pokud se kometa blíží k Zemi (efektivní poloměr ~6400 km) s rychlostí 12.5 km/s (přibližné minimální rychlost tělesa přicházející z vnější Sluneční Soustavy) je, aby se zabránilo kolizi se zemí, dopad parametr bude muset být alespoň 8600 km, nebo 34% větší než poloměr Země. Tělo se blíží Jupiter (poloměr 70000 km) z vnější Sluneční Soustavy s rychlostí 5,5 km/h, bude třeba vliv parametru být alespoň 770,000 km nebo 11 krát poloměr Jupitera, aby se zabránilo kolizi.

Pokud hmotnost ústřední orgán není známo, jeho standardní gravitační parametr, a proto jeho hmotnost, může být určena odchylka menší tělo spolu s dopadem parametr a přístup, rychlost. Protože obvykle lze všechny tyto proměnné přesně určit, průlet kosmické lodi poskytne dobrý odhad tělesné hmotnosti.

μ = b v ∞ 2 tan ⁡ δ / 2 {\displaystyle \mu =bv_{\infty }^{2}\tan \delta /2}

, kde δ = 2 θ ∞ − π {\displaystyle \delta =2\theta _{\infty }-\pi }

je úhel menší tělo vychýlí z přímého směru v jeho průběhu.