následující je od Joseph Mazur je nová kniha, Co je Štěstí s tím Má co Dělat?:
…existuje autenticky ověřený příběh, že někdy v padesátých letech se kolo v Monte Carlu objevilo dokonce osmadvacetkrát za sebou. Pravděpodobnost, že se tak stane, se blíží 268 435 456 ku 1. Na základě počtu převratů za den v Monte Carlu se taková událost pravděpodobně stane pouze jednou za pět set let.
Mazur používá tento příběh zálohování argument, který praví, že, alespoň donedávna, mnoho ruleta kola nebyly vůbec reálné.
za předpokladu, že matematika je správná (zkontrolujeme ji později), můžete najít chybu v jeho argumentu? Následující příklad vám pomůže.
Pravděpodobnost válcování zdvojnásobí
Představte si, že předáte pár kostek někomu, kdo v životě nikdy nehrál kostkami. Hodí je, a dostane dvojité pětky v první roli. Někdo říká: „Hej, štěstí začátečníka! Jaká je šance na její první roli?“
No, co jsou zač?
zde bych vzal dvě odpovědi, jedna mnohem lepší než druhá.
první jde takto. Šance na válcování pěti s jednou matricí jsou 1 v 6; kostky jsou nezávislé, takže šance na válcování dalších pěti jsou 1 v 6; proto je pravděpodobnost válcování dvojité pětky jsou
$$(1/6)*(1/6) = 1/36$$.
1 z 36.
podle této logiky, náš nový hráč právě udělal něco docela nepravděpodobné, na svém prvním hodu.
ale počkejte chvíli. Nebyla by nějaká dvojice čtyřhry stejně „působivá“ na prvním kole? To, co bychom opravdu měli počítat, jsou šance na zdvojnásobení, ne nutně pětky. Jaká je pravděpodobnost?
vzhledem k tomu, že existuje šest možných dvojic, ne jen jeden, můžeme jen vynásobit šesti získat 1/6. Další snadný způsob, jak to vypočítat: První umírání může být cokoliv. Jaká je pravděpodobnost, že se druhá smrt shoduje? Jednoduché: 1: 6. (Skutečnost, že kostky jsou hozeny současně, nemá pro výpočet žádný význam.)
není to tak pozoruhodné, že?
z nějakého důvodu má mnoho lidí potíže pochopit tento koncept. Šance na válcování čtyřhry s jedním hodem dvojice kostek je 1 v 6. Lidé chtějí věřit, že je to 1 v 36, ale to je jen tehdy, pokud určíte, který pár dvojic musí být hozen.
To stejnou chybu, je to, co způsobuje Joseph Mazur nesprávně k závěru, že proto, že kolo rulety přišel i 28 přímo krát v roce 1950, to bylo velmi pravděpodobné, že nespravedlivé kola. Uvidíme, kde se pokazil.
na evropské ruletě je 37 slotů. 18 jsou sudé, 18 jsou liché a jedna je 0, což předpokládám, že se zde nepočítá jako sudé nebo liché.
takže při spravedlivém kole jsou šance na sudé číslo 18/37. Pokud se točí, jsou nezávislé, můžeme vynásobit pravděpodobnosti jediném otočení o společné pravděpodobnosti, pravděpodobnost, že se dvě přímky vyrovnává je pak (18/37)*(18/37). Pokračujeme tímto způsobem, počítáme šance na získání 28 po sobě jdoucích sudých čísel $$(18/37)^{28}$$.
Ukázalo se, že to nám dává číslo, které je zhruba dvakrát větší (což znamená událost, dvakrát tak vzácné) jako Mazur výpočet by naznačovalo. Proč ten rozdíl?
zde je místo, kde Mazur to správně: Připouští, že běh 28 po sobě jdoucích lichých čísel by byl stejně zajímavý (a je stejně pravděpodobný)jako běh evens. Kdyby přišlo 28 šancí, tak by se to dostalo i do jeho knihy, protože by to bylo pro čtenáře stejně mimořádné.
Tím, že zdvojnásobuje pravděpodobnost spočítali jsme, a uvádí, že 28 vyrovnává v řadě nebo 28 kurzy v řadě by se mělo stát pouze jednou za 500 let. Pokuta.
ale co 28 červených v řadě? Nebo 28 černochů?
zde je problém: nedokáže vysvětlit několik dalších událostí, které by byly stejně zajímavé. Dva zjevné, které přicházejí na mysl, jsou 28 červených v řadě a 28 černých v řadě.
na volantu je 18 černých a 18 červených (0 je zelená). Takže pravděpodobnosti jsou stejné jako ty výše uvedené, a nyní máme další dvě akce, které by byly pozoruhodné dost na to, aby nás zajímalo, jestli kolo bylo neobjektivní.
takže nyní místo dvou událostí (28 kursů nebo 28 evens) máme nyní čtyři takové události. Takže je téměř dvakrát větší pravděpodobnost, že by k němu došlo. Proto by se jedna z těchto událostí měla stát asi každých 250 let, ne 500. O něco méně pozoruhodné.
a co jiné nepravděpodobné události?
a co běh 28 čísel, která přesně střídala celou dobu, jako sudá-lichá-sudá-lichá, nebo červeno-černá-červeno-černá? Myslím, že kdyby k jednomu z nich došlo, Mazur by byl stejně nadšený, kdyby to zahrnul do své knihy.
tyto události jsou stejně nepravděpodobné jako ostatní. Nyní jsme téměř zdvojnásobili počet pozoruhodných událostí, které by nás přiměly ukázat na rozbité kolo jako viníka. Teprve teď je jich tolik, že bychom očekávali, že by se to mělo stát každých 125 let.
nakonec si uvědomte, že Mazur se ohlíží zpět po mnoho let, když poukazuje na tuto zdánlivě mimořádnou událost, ke které došlo. Kdyby se to stalo kdykoliv mezi 1900 a současnost, hádám Mazur by se domníval, že dostatečně nedávné zahrnout jako důkaz svého bodu, že ruleta kola byla zaujatá není to tak dávno.
to je 110leté okno. Je tedy tak překvapivé, že něco, co by se mělo stát jednou za 125 let, se stalo během toho velkého okna? Ani ne.
možná trochu nepravděpodobné, ale nic, co by někoho přesvědčilo, že kolo je nespravedlivé.
