Vzdělávací Cíle
- Cíl: měrná tepelná kapacita dat pro širokou škálu prvků, které se používají k posuzování přesnosti a omezení Dulong-Petit Zákon.
- Předpoklady: vstupní znalost statistické termodynamiky včetně odvození kmitavý (harmonický oscilátor) příspěvky k tepelné kapacity jsou doporučené.
- zdroje, které budete potřebovat: Toto cvičení by mělo být prováděno v softwarovém prostředí pro analýzu dat, které je schopné grafovat a generovat nejvhodnější řádek pro datovou sadu XY.
tepelná kapacita (\(C\)) látka je měřítkem toho, jak moc je teplo potřebné ke zvýšení teploty dané látky o jeden stupeň Kelvina. Pro jednoduchý molekulární plyn mohou molekuly současně ukládat kinetickou energii v translačních, vibračních a rotačních pohybech spojených s jednotlivými molekulami. V tomto případě je tepelná kapacita látky lze rozdělit na translační, vibrační a rotační příspěvky;
\
Monoatomic krystalické pevné látky představují mnohem jednodušší případ. Einstein navrhl jednoduchý model pro takové látky, kdy atomy mají pouze vibrační energie (každý atom může vibrovat ve třech kolmých směrech kolem své mřížkové pozice). Konkrétně Einstein objemového Modelu se předpokládá, že atomy se chovají jako tří-dimenzionální harmonické oscilátory (s vibrační pohyb každého atomu v každé kolmé dimenze zcela nezávislé). Statistická mechanika poskytuje relativně jednoduchý výraz pro konstantní objem molární tepelné kapacity (\(C_{V,m}\)) jednorozměrný harmonický oscilátor
\
kde \(R\) je univerzální plynová konstanta, \(T\) je absolutní teplota, a \(Θ_v\), nazývá se charakteristický vibrační teploty‘ oscilátoru a závisí na vibrační frekvenci (\(ν\)) podle
\
s \(h\), což představuje Prkno konstanta a \(k\), což představuje Boltzmannovy konstanty.
Protože vibrace v každé dimenzi se předpokládá, že jsou nezávislé, výraz pro konstantní objem molární tepelná kapacita „trojrozměrnou“ Einstein Solidní je získána prostým vynásobením Rovnice \ref{1} o tři;
\
kolísání teploty tepelné kapacity většiny pevných látek kovové je dobře popsán Rovnicí \ref{3}. Kromě toho, pozemky Rovnici \ref{3} jako funkce teploty pro kovy s široce různé vibrační frekvence ukazují, že tepelné kapacity se vždy blíží stejné asymptotické limit \(3R\) při vysokých teplotách. Jinak řečeno, při vysokých teplotách
\ = 1 \štítek{4}\]
a Rovnici \ref{3} snižuje
\ = 3R \label{5}\]
(Budete vyzváni k ověření tohoto výsledku ve cvičení níže). Podle rovnice \ref{5} by se molární tepelné kapacity kovových pevných látek měly přiblížit 24.9 J / (K mol) při vysokých teplotách, bez ohledu na identitu kovu.
vibrační frekvence většiny kovových pevných látek jsou obvykle dostatečně malé tak, že \(Θ_v\) leží výrazně pod teplotou místnosti (\(Θ_v \ll 298\, K\)). U těchto látek, omezení vyplývá z Rovnice \ref{4} a \ref{5} jsou dobře aproximovat i při pokojové teplotě, což vede k výsledku, že \(C_{v,m} = 24.9\, J/(K·mol)\) pro většinu kovů při pokojové teplotě.
V časném 1800s, dva francouzští vědci, podle jména Pierre Louis Dulong a Alexis Therese Petit empiricky objevil stejný pozoruhodný výsledek. Na Dulong-Petit Práva je obvykle vyjádřené v měrné tepelné kapacity (\(C_s\)) a molární hmotnosti (\(M\)) kovu
\
kde \(C_s\) představuje, kolik tepla je potřebné ke zvýšení teploty jednoho gramu‘ z dané látky o jeden stupeň Kelvina. Dulong a Petit, stejně jako další vědci své doby, používal tento slavný vztah jako prostředek stanovení přesnější hodnoty pro atomovou hmotností kovové prvky (místo měření měrné tepelné kapacity prvku a pomocí Dulong-Petit vztah, který je relativně jednoduchá metoda stanovení vah v porovnání s více sporných gravimetrické metody, které byly používány v době stanovení ekvivalentní hmotnosti prvků).
Ve cvičení níže, budete vypadat nahoru, měrné tepelné kapacity a počet prvků, které existují jako jednoduché monoatomic pevné látky při pokojové teplotě a posoudit správnost Dulong-Petit zákon.
Experimentální Data
Poraďte CRC Handbook of Chemistry and Physics (CRC Press: Boca Raton, FL) a sestaví se tabulka měrné tepelné kapacity pro velké množství prvků, které jsou známy jako monoatomic pevné látky při pokojové teplotě. Podívejte se také a zaznamenejte molární hmotnost těchto prvků. Prvky, které považujete, by měly být omezeny na ty, které se objevují ve skupinách 1-14 periodické tabulky. Ujistěte se, že vytvořit docela velký seznam, který obsahuje řadu prvků, které jsou normálně považovány za kovový charakter (jako je měď, železo, sodík, lithium, zlato, platina, baryum a hliník), ale také některé non-kovových prvků, které jsou však monoatomic izotropní pevné látky (např. uhlík-diamant, berylium, bor a křemík). Tepelné kapacity, které jsou obvykle hlášeny v literatuře nejsou skutečné konstantní objem, tepelné kapacity (\(C_v\)), ale jsou namísto konstantní tlak tepelné kapacity (\(C_p\)). Naštěstí, \(C_p\) a \(C_v\), jsou v podstatě stejné pro jednoduché pevných látek (v rámci úrovně přesnosti, které považujeme v tomto cvičení), a můžete předpokládat, že hodnoty CRC Handbook představují \(C_s\).
Cvičení
- Zadejte název prvku, měrná tepelná kapacita, molární hmotnost každého prvku v tabulce. Vypočítejte produkt měrného tepla a molární hmotnosti pro každý prvek a vypočítejte, jak se tento produkt liší od predikce Dulong-Petit (vyjádřete svůj výsledek jako procentní rozdíl vzhledem k \(3R\)).
- Posoudit obecnost Dulong-Petit právo na alternativní způsob generování spiknutí specifické teplo jako funkce vzájemných Molární Hmotnost (\(C_s\) a \(1/M\)), která by měla být lineární se sklonem rovná 3R pokud data se chovají podle Rovnice \ref{6}.
- zkontrolujte výsledky z 1 a 2 výše a identifikujte všechny prvky, které se významně odchylují od Dulong-Petitova zákona. Když k nim dojde, mají odchylky tendenci být menší nebo větší než 3R? Má stupeň odchylky od Dulong-Petit zákon zřejmě korelují s periodické trendy v kovové (nebo kovalentní) vazby pro tyto prvky? Dochází k odchylkám snadněji u prvků menší nebo vyšší atomové hmotnosti? Vysvětlete, jak může typ vazby a velikost atomové hmotnosti vést k odchylkám od argumentů uvedených v rovnicích \ref{4}-\ref{6} výše.
- Použít vykreslení metodu, že jste zaměstnán v kroku 2 výše, a to jako prostředek k určení hodnoty pro univerzální plynová konstanta (\(R\)) – ale ujistěte se, že jste hodit-žádné zvláštní teplo dat pro prvky, které máte podezření, že nespadají do limitu \(Θ_v \ll 298 \,K\). Vypočítejte procentuální chybu v hodnotě \(R\), kterou určíte.
- Ověřte, že omezení vyjádřené v Rovnici \ref{4} výše uvedené je pravda (TIP: rozšiřte každý z exponenciální podmínky v mocninné řady a vědomí, že vyšší pořadí termíny jsou zanedbatelné v limitu \(T \gg Θ_v\)).
