Struny, stojaté vlny a harmonické

Úvod: vibrace, struny, trubky, perkuse….

jak děláme hudební zvuky? Abychom vydali zvuk, potřebujeme něco, co vibruje. Pokud chceme dělat noty, obvykle potřebujete, aby vibrace měly téměř konstantní frekvenci: to znamená stabilní rozteč. Chceme také frekvenci, kterou může hráč snadno ovládat. V elektronických přístrojích se to děje s elektrickými obvody nebo s hodinami a vzpomínkami. U neelektronických nástrojů je stabilní, řízená vibrace vytvářena stojatou vlnou. Zde diskutujeme o tom, jak řetězce fungují. To je také užitečný úvod pro studium dechových nástrojů, protože vibrační struny jsou snadněji vizualizovatelné než vibrace vzduchu ve větrných nástrojích. Oba jsou méně komplikované než vibrace tyčí a kůží rodiny perkusí. Pro fyziku stojatých vln je k dispozici multimediální tutoriál.

Cestování vlny v řetězcích

struny na housle, klavír a tak dále jsou natažené pevně a vibrovat tak rychle, že je nemožné vidět, co se děje. Pokud najdete dlouhou pružinu (hračka známá jako „slinky“ funguje dobře) nebo několik metrů pružné gumové hadice, můžete vyzkoušet několik zábavných experimentů, které usnadní pochopení toho, jak struny fungují. (Měkká guma je k tomu dobrá, zahradní hadice nejsou dostatečně flexibilní.) Nejprve přidržte nebo upněte jeden konec a poté držte druhý konec stále v jedné ruce ,trochu jej protáhněte (ne příliš, trochu prohnutí neublíží). Nyní ji druhou rukou odtáhněte stranou, abyste vytvořili zalomení,a pak ji nechte jít. (To, ve zpomaleném filmu, je to, co se stane, když vytrhnete řetězec.) Pravděpodobně uvidíte, že uzel cestuje po „řetězci“ a pak se k vám vrátí. Náhle zatáhne ruku do strany, ale pokud ji pevně držíte, znovu se odrazí.

nejprve si všimnete, že rychlost vlny v řetězci se zvyšuje, pokud ji pevněji natáhnete. To je užitečné pro ladění nástrojů – ale dostáváme se před sebe. Záleží také na „hmotnosti“ řetězce – pohybuje se pomaleji v tlustém, těžkém řetězci než v lehkém řetězci stejné délky pod stejným napětím. (Přesně je to poměr napětí k hmotnosti na jednotku délky, který určuje rychlost, jak uvidíme níže.)

dále se podívejme blíže na odraz na pevném konci. Všimnete si, že pokud nejprve zatáhnete za řetězec doleva, uzel, který se od vás pohybuje, je doleva , ale že se vrací jako uzel doprava-odraz je obrácený. Tento efekt je důležitý nejen u strunných nástrojů, ale také u větru a perkuse. Když vlna narazí na hranici s něčím, co se nebude pohybovat nebo měnit (nebo se nezmění snadno), odraz je obrácen. (Skutečnost, že je obrácená, dává na konci nulový posun. Reflexe s jakoukoli změnou fáze však vyvolá stálou vlnu.)

Trhal struny

Pokud budete trhat jeden řetězec na kytaru nebo basu, děláte něco podobného, i když řetězec, který je upevněn na obou koncích. Vytáhnete řetězec v jednom bodě a poté jej uvolněte, jak je znázorněno. Pohyb, který následuje, je zajímavý, ale komplikovaný. Počáteční pohyb je uveden níže. Nicméně, vysoká frekvence složek pohybu (ostré ohyby v řetězci), rychle zmizí – což je důvod, proč zvuk kytary na vědomí, stává se více měkký, druhý, nebo více, když budete trhat to.

náčrt odraz cestování smyčky způsobené škubání řetězec. V okamžicích reprezentovaných (e) A (m) je řetězec rovný, takže ztratil potenciální energii spojenou s tahem do strany, ale má maximální kinetickou energii. Všimněte si, že při odrazech se fáze zlomu změní o 180°: od nahoru dolů nebo naopak. Všimněte si také, jak se kinks „procházejí“ navzájem, když se setkají uprostřed.

proč je odraz obrácen? Pokud předpokládáme, že je upnutý nebo svázaný s pevným objektem, bod odrazu se ve skutečnosti nepohyboval. Ale podívejte se na pohyb řetězce porovnáním různých časů znázorněných v náčrtcích levé ruky. Všimněte si, že řetězec za zalomením se pohybuje zpět do nerušené polohy (dolů v náčrtu). Jak se zlom blíží ke konci, zmenšuje se a když dosáhne nepohyblivého konce, není vůbec žádný zlom – řetězec je na okamžik rovný. Ale struna má stále svou dynamiku směrem dolů, a to ji přenáší kolem polohy odpočinku a vytváří na druhé straně zalomení, které se pak pohybuje zpět v opačném směru. (Pohyb vln ve strunách je podrobněji popsán v traveling Waves, který obsahuje filmové klipy a animace. Na této stránce se však zaměříme na hudební důsledky. )

jak bylo uvedeno výše, tento pohyb je pozorován pouze bezprostředně po vytrhnutí. Jako vysokofrekvenční komponenty ztrácejí energii, ostré ohyby, zmizí a tvar se postupně blíží základním režimu vibraiton, které jsme diskutovat níže.

smyčcový řetězec se chová poněkud odlišně

nejprve má nepřetržitý zdroj energie ,a tak může udržovat stejný pohyb donekonečna (nebo alespoň do doby, než dojde luk. Za druhé, tvar řetězce potřebný k tomu, aby odpovídal rovnoměrně se pohybujícímu luku, je odlišný.

nákres odrazu pohyblivých zlomů způsobených ukloněním řetězce. Vidět animace a vysvětlení luk-string interakci v Luky a řetězce

Cestování a vlny, stojaté vlny,

zajímavý efekt nastane, pokud se pokusíte odeslat jednoduchý vlna podél řetězec opakovaně mává jeden konec nahoru a dolů. Pokud jste našli vhodnou pružinovou nebo gumovou hadici, vyzkoušejte ji. Jinak se podívejte na tyto diagramy.


animace ukazuje interakce dvou vln se stejnou frekvencí a velikosti, cestování v opačných směrech: modrá doprava, zelená doleva. Červená čára je jejich součet: červená vlna je to, co se stane, když dva cestující vlny dohromady (superponovat je technický termín). Zastavením animace můžete zkontrolovat, zda je červená vlna skutečně součtem dvou vzájemně se pohybujících vln.

obrázek vpravo je stejný diagram znázorněný jako časová posloupnost-čas se zvyšuje shora dolů. Dalo by se o tom uvažovat jako o sérii fotografií vln, pořízených velmi rychle. Červená vlna je to, co bychom na takových fotografiích skutečně viděli.

Předpokládejme, že limit pravé ruky je nehybná zeď. Jak bylo uvedeno výše, vlna je obrácena na odraz, takže v každé „fotografii“ se Modrá plus zelená přidává až k nule na pravé hranici. Odražená (zelená) vlna má stejnou frekvenci a amplitudu, ale pohybuje se v opačném směru.

na pevném konci přidávají, aby nedali žádný pohyb-nulový posun: koneckonců je to tento stav nehybnosti, který způsobuje obrácený odraz. Ale když se podíváte na červenou čáru v animaci nebo diagramu (součet dvou vln), uvidíte, že existují další body, kde se řetězec nikdy nepohybuje! Vyskytují se půl vlnové délky od sebe. Tyto nehybné body se nazývají uzly vibrací a hrají důležitou roli téměř ve všech rodinách nástrojů. Na půli cesty mezi uzly jsou antinody: body maximálního pohybu. Všimněte si však, že tyto vrcholy necestují podél řetězce: kombinace dvou vln pohybujících se v opačných směrech vytváří stojatou vlnu.

Toto je zobrazeno v animaci a na obrázku. Poznámka: pozice (uzly), kde se dva cestující vlny vždy vyruší, a ostatní (antinodes), kde přidat, aby kmitání s maximální amplitudou.

tento diagram byste mohli považovat za reprezentaci (nikoli v měřítku) páté harmonické na řetězci, jehož délka je šířka diagramu. To nás přivádí k dalšímu tématu.

Harmonické a režimy

řetězec na hudební nástroj je (téměř) pevné na obou koncích, takže nějaké vibrace řetězec musí mít uzly na každém konci. To omezuje možné vibrace. Například řetězec s délkou L může mít stojatou vlnu s vlnovou délkou dvakrát delší než řetězec (vlnová délka λ = 2L), jak je znázorněno na prvním náčrtu v další sérii. To dává uzel na obou koncích a antinodu uprostřed.

jedná se o jeden z režimů vibrací řetězce („režim vibrací“ znamená pouze styl nebo způsob vibrace). Jaké další režimy jsou povoleny na řetězci upevněném na obou koncích? V dalším náčrtu je zobrazeno několik stojatých vln.



nákres prvních čtyř režimů vibrací idealizovaného * nataženého řetězce s pevnou délkou. Svislá osa byla přehnaná.

pojďme vyřešit vztahy mezi frekvencemi těchto režimů. Pro vlnu je frekvence poměr rychlosti vlny k délce vlny: f = v/λ. Ve srovnání s délkou řetězce L můžete vidět, že tyto vlny mají délky 2L, L, 2L / 3, L / 2. Můžeme to napsat jako 2L / n, kde n je číslo harmonické.

základní nebo první režim má frekvenci f1 = v/λ1 = v/2L,
druhá harmonická má frekvenci f2 = v/λ2 = 2v/2L = 2f1
třetí harmonická má frekvenci f3 = v/λ3 = 3v/2L = 3f1,
čtvrtá harmonická má frekvenci f4 = v/λ4 = 4v/2L = 4f1, a, zobecnit,

n-Té harmonické frekvenci fn = v/λn = nv/2L = nf1.

všechny vlny v řetězci se pohybují stejnou rychlostí, takže tyto vlny s různými vlnovými délkami mají různé frekvence, jak je znázorněno. Režim s NEJNIŽŠÍ frekvencí (f1) se nazývá základní. Všimněte si, že n-tý režim má frekvenci n krát frekvenci základní. Všechny režimy (a zvuky, které produkují) se nazývají harmonické řetězce. Frekvence f, 2f, 3f, 4f atd. se nazývají harmonické řady. Tato série bude známá většině hudebníků, zejména buglerům a hráčům přírodních rohů. Pokud například zásadní je poznámka C3 nebo viola C (nominální frekvence 131 Hz: viz tento odkaz na stůl), pak harmonických by mít hřiště na následujícím obrázku. Tato hřiště byla aproximována k nejbližšímu čtvrt tónu. Oktávy jsou přesně oktávy, ale všechny ostatní intervaly se mírně liší od intervalů ve stejné temperované stupnici.

obrázek ukazuje hudební notaci prvních dvanácti harmonických na řetězci C. Při přehrávání zvukového souboru pozorně poslouchejte hřiště. Sedmé a jedenácté harmonické podzim, asi v půli cesty mezi poznámky na rovné temperované stupnice, a tak byly notated s polovinou vrcholů.

můžete vytvářet těchto hřišť na natažené struny: je to nejjednodušší na nízké struny kytary, violoncello a bass*. Lehce se dotkněte řetězce v bodě 1 / n jeho délky od konce (kde n je 1, 2, 3 atd.) Alternativně, klepněte na řetězec, velmi lehce v bodě 1/n, délka od konce, trhat řetězec uzavřít do konce a vydání první prst, jakmile jste vytáhl. Dotykem řetězce vznikne uzel, kde se dotknete, a tak vzrušíte (hlavně) režim, který tam má uzel. Zjistíte, že můžete hrát polnice melodie pomocí harmonické dva až šest řetězce.

(*pokud jste právě provedli tento experiment, možná jste si všimli některých zvláštností. Dvanáctý pražec, který se používá k výrobě oktávu, je méně než na půl cesty podél délky řetězce, a tak místo, kde se dotknete řetězec vyrábět 2. harmonické – v půli cesty podél provázku – není přímo nad oktáva starat. Řekl jsem“ idealizovaný “ řetězec výše, což znamená řetězec, který je zcela flexibilní a tak se může snadno ohýbat na obou koncích. V praxi mají struny konečnou ohybovou tuhost a jejich efektivní délka („L“, která by měla být použita ve výše uvedených vzorcích) je o něco menší než jejich fyzická délka. To je jeden z důvodů, proč větší řetězce mají obvykle vinutí přes tenké jádro, proč most je obvykle v úhlu, který dává tlustší struny delší délky a proč (solid) G struny na klasickou kytaru má špatnou ladění na vyšší pražce. K dispozici je také účinek v důsledku extra protažení řetězce, když je tlačen dolů na hmatník, což je značný účinek na ocelové struny.)

cvičení pro kytaristy. Na kytaru vyladěné obvyklým způsobem jsou řetězec B a řetězec high E přibližně naladěny na 3. a 4. harmonické řetězce low E. Pokud vytrhnete nízký řetězec E kdekoli kromě jedné třetiny cesty, řetězec B by měl začít vibrovat, poháněný vibracemi v můstku od harmonické prvního řetězce. Pokud vytrhnete nízký řetězec E kdekoli kromě jedné čtvrtiny cesty, horní řetězec E by měl být poháněn podobně.

Harmonické ladění na kytaru

Kytaristé často začnou tune-up a to následujícím způsobem: první tune 4. harmonické nízké E řetězec, 3 z řetězec a horní E všechny na stejnou notu. Obrázek vpravo ukazuje harmonickou řadu na dvou nejnižších řetězcích. Další naladit B řetězec (B3) pro 3. harmonickou z prvních (E2), pak naladit na 4. harmonickou řetězec na 3 D řetězec. Tuto metodu nelze úspěšně rozšířit na řetězec G, protože je obvykle příliš tlustý a tuhý, takže je lépe naladěn oktávami pomocí pražců. Z několika důvodů (viz Poznámky na konci této stránky) je tato metoda ladění pouze přibližná a je třeba oktávy znovu vyladit. Nejlepší ladění je obvykle kompromis, který musí být proveden po zvážení toho, jaké akordy budete hrát a kde hrajete na hmatníku.

kytarové ladění harmonickými. (To jsou skutečné hřiště: kytarová hudba je obvykle transponována do oktávy.)

harmonické v hudbě

skladatelé často volají po takových harmonických na strunných nástrojích: nejběžnější je „dotek čtvrtý“. S jedním prstem, hráč zastaví řetězec produkovat požadovanou délku pro konkrétní vědomí, a pak, pomocí jiného prstu, dotýká řetězec velmi lehce v pozici potřebné pro poznámka čtyř tónů v rozsahu (odtud název). Tato poloha je jedna čtvrtina cesty podél řetězce, takže vytváří čtvrtou harmonii zastavené noty. Čtvrtá harmonická má čtyřnásobek základní frekvence, a tak je o dvě oktávy vyšší. U strunných hráčů se harmonické nazývají „přirozené“; když se hrají na otevřených strunách a „umělé“; pokud hráč musí řetězec zastavit. Diagram ukazuje, jak se hraje přirozený dotek čtvrtý, a notace pro dotek čtvrtý na housle řetězec. Svislá osa diagramu byla pro přehlednost přehnaná.


Otevřít řetězec hrál normálně, pak touch čtvrté na tento řetězec (4. harmonické)

výšku poznámky je dána tím, jak rychle provázku vibruje. To závisí na čtyřech věcech:

• silnější, masivnější struny vibrují pomaleji. Na housle, kytary atd., otevřená délka řetězce se nemění, a obvykle se napětí příliš nemění (všechny jsou stejně těžké tlačit dolů). Takže nízko posazené struny jsou silnější.
• frekvence se zvyšuje s napětím v řetězci. Takto naladíte nástroj pomocí hlav strojů nebo ladicích kolíků: těsnější dává vyšší rozteč.
• důležitá je také délka řetězce, který může volně vibrovat. Když například zastavíte řetězec proti hmatníku violoncella, zkrátíte efektivní délku a zvýšíte tak výšku.
• můžete také změnit výšku tónu změnou režimu vibrací. Když budete hrát harmonických, vyvolat řetězec k výrobě vlny, které jsou zlomkem délky jsou běžně produkován řetězec této délky.

  to vše můžeme dát jednoduchým výrazem. Pokud vibrační část řetězce má délku L a hmotnost M, je-li napětí v řetězci je F a pokud budete hrát na n-té harmonické, pak výsledná frekvence je

  fn = (n/2L)(FL/M)1/2 = (n/2)(F/LM)1/2.

  u nástrojů, jako jsou housle a kytara, je otevřená délka a napětí poměrně podobné pro všechny struny. To znamená, že, aby se řetězec o oktávu nižší, a to při zachování stejné délky, musíte čtyřlůžkový poměr M/L. v Případě, že řetězce jsou vyrobeny ze stejného materiálu, to znamená zdvojnásobení průměru. Tukové řetězce jsou však obvykle složené: tenké jádro zabalené s vinutími, aby byly masivnější, aniž by byly těžší ohýbat.

  podívejme se, odkud tento výraz pochází. Vlna cestuje vzdáleností λ V jednom období t vibrací, takže v = λ/T. frekvence f = 1 / T = v / λ. Takže f = v/λ. Také jsme viděli, že pro základní frekvenci f1, řetězec, délka je λ/2, takže f1 = v/2L. Vlna, rychlost je určena řetězec napětí F a hmotnost na jednotku délky nebo lineární hustota μ = M/L, v = (F/μ)1/2 = (FL/M)1/2. Takže f1 = ½ (F/LM)1/2. Vynásobením obou stran n dává frekvence výše uvedených harmonických.

  můžeme to uspořádat tak, aby napětí řetězce: F = 4f12LM.

komplikace s harmonickým laděním

existuje několik problémů s jakýmkoli laděním kytary, včetně problémů s použitím harmonických navržených výše.

nejviditelnější aproximace souvisí s temperamentem: pokud kytarové struny byly ideální a pražce ideálně rozmístěných pro rovné temperament, tuning harmonické čtvrtiny E-a-D dvojici, plus dvě stejné temperované půltóny na string D, string, by interval mezi nejnižší. E a 2. pražec na D řetězec o 4 centy ploché ((4/3)222/12=1.996). To by vedlo k rušení rytmů rychlostí řádu jedna každých několik sekund.

další zjevnou komplikací harmonického ladění je to, že struny se neohýbají s naprostou lehkostí přes matici a můstek(jak je uvedeno výše). Viz také, jak harmonické jsou harmonické.) Výsledkem je, že 1. podtext na řetězci je o něco ostřejší než oktáva, další ještě ostřejší než dvanáctina atd. Takže naladění 4. „harmonické“ řetězce E na 3. řetězce a z nich dělá jejich otevřený interval více než harmonickou čtvrtinu. Takže to má tendenci kompenzovat problém temperamentu.

další problém souvisí s umístěním pražce a mostu. Když stisknete řetězec dolů na dvanáctém pražci, zvýšíte jeho délku. (Než jej stisknete, nejkratší vzdálenost mezi maticí a můstkem. Poté je delší.) Chcete-li jej prodloužit, zvýšili jste jeho napětí. Z tohoto důvodu, a také proto, že z ohybu v platnost na konci řetězce, pokud se 12 pražci jsou na půli cesty mezi matice a most, interval by být větší než oktávu. (Můžete to experimentálně zkontrolovat na fretless nástroji.) V důsledku toho je vzdálenost od můstku K 12. pražci větší než vzdálenost od matice K 12. pražci. Efekt se mezi řetězci liší. U některých elektrických kytar je možné individuální nastavení polohy každého mostu. U ostatních kytar je most umístěn pod úhlem. V klasické kytaře vyžaduje přímý jednoduchý most určitý kompromis v ladění.

efekty jsou obtížné měřit s experimentálně s požadovanou přesností: efekty jsou jen pár centů, které není o moc větší než přesnost uši nebo ladění metrů, když se aplikuje na trhat řetězec. Dále je obtížné nastavit hlavy strojů tak, aby bylo dosaženo přesnosti lepší než pár centů. Na druhou stranu, pokud máte všechny poznámky v melodii během několika centů, děláte lépe než většina hudebníků a bude to znít docela dobře!

existují další problémy, když řetězce zestárnou. Tam, kde je prstem levou rukou, zvednou mastnotu a stanou se masivnějšími (i když mohou také ztratit materiál, kde se otírají o pražce). Mohou se také nosit tam, kde je vyberete. Jak se struny stávají nehomogenními, ladění se postupně zhoršuje. Mytí je může pomoci.

způsob, jak obejít většinu z těchto problémů je hrát fretless nástroje, ale to dělá akordy více trapné.

měřítko pozice v jen intonace. Dotek na 2/9 je bezpečnější než na 1/9, ale nespadá nad žádnou pozici stupnice: je o něco nad menší třetinou. Violisté nebo violoncellisté zkoušející Radulescuovo „cvičení nekonečna“ (sic) jsou vyzváni, aby mi napsali další návrhy o technikách pro vysoké harmonické.

podívejte se také, jak harmonické jsou harmonické?

akustika harfy

zde je popsána jediná práce, kterou jsme na harfách udělali.

více informací

• stojaté vlny a cestovní vlny z Physclips mají filmové klipy a animace.
• luky a struny (jednoduchý úvod do této interakce).
• housle studie (více informací o našich studiích na housle).
• Chladni vzory (experimentální výsledky ukazující vibrace desek houslí).
• artikulace a vibrato na houslích a jejich význam pro zvuk houslí.
• akustika houslí: přehled (jednoduchý úvod do akustiky houslí).
• výzkumné práce Johna Mclennana, doktoranda v hudební akustice na UNSW.
• úvod do akustiky flétny (s diskusí o harmonických ve vzduchovém sloupci).