den traditionelle Oppositionsplads

introduktion

Doktrinen om oppositionspladsen stammer fra Aristoteles idet fjerde århundrede f.kr. og har fundet sted i logiske tekster lige siden.Selvom det er hårdt kritiseret i de seneste årtier, er det stadig regelmæssigthenvises til. Pointen med denne indgang er at spore sin historie fra fordelpunktet i det tidlige enogtyvende århundrede sammen med nært beslægtede doktriner, der bærer på tomme vilkår.

oppositionens firkant er en gruppe af afhandlinger, der er udformet i et diagram.Diagrammet er ikke afgørende for afhandlingerne; det er bare en nyttig måde at holde dem lige. Afhandlingerne vedrører logiske forhold mellem firelogiske former:

navn	formular	Titel
A	hver S er P	universel bekræftende
E	Nej S er P	Universal negativ
I	nogle S er P	særlig bekræftende
O	nogle S er ikke P	særlig negativ

diagrammet for den traditionelle kvadrat af opposition er:

de afhandlinger, der er indeholdt i dette diagram, kalder jeg ‘firkant’.De er:

firkant

• ‘hver S er P’ og ‘SomeS er ikke P’er modstridende.

• ‘ingen S er P’ og ‘SomeS er P’er modstridende.

• ‘hver S er P’ og ‘NoS er P’ er modsætninger.

• ‘nogle S er P’ og ‘SomeS er ikke P’ er underkontrakter.

• ‘nogle S er P’ er en subaltern af ‘hver S er P’.

• ‘nogle S er ikke P’ er asubaltern af ‘nej S er P’.

disse afhandlinger blev suppleret med følgende forklaringer:

• to forslag er modstridende, hvis de ikke begge kan være sande, og de kan ikke begge være falske.

• to forslag er modsætninger, hvis de ikke begge kan være sande, men begge kan være falske.

• to forslag er underkontrakter, hvis de ikke begge kan være falske, men begge kan være sande.

• et forslag er en subaltern af en anden, hvis det skal være sandt, hvis det er superaltern er sandt, og superaltern skal være falsk, hvis subalterner falsk.

sandsynligvis ingen før det tyvende århundrede nogensinde holdt præcis disseanmeldelser uden at holde visse tæt forbundne dem så godt. Den mestfælles tæt forbundne opfattelse, der er forbundet med det traditionellediagram, er, at E og Ipropositionerne konverterer simpelthen; det vil sige ‘Ingen s isP’ svarer i sandhedsværdi til ‘ingen Pis S’, og ‘nogle S er P ‘er ækvivalent i sandhedsværdi til’nogle P isS’. Den traditionelle doktrin suppleret med simplekonversion er et meget naturligt syn at diskutere. Det er Aristoteles opfattelse, og det blev bredt godkendt (eller i det mindste ikke udfordret) før slutningen af det 19.århundrede. Jeg kalder thistotal body of doctrine”:

=DF kvadrat + “E-og i-formerne konverterer simpelthen”

hvor

et forslag konverterer simpelthen, hvis det er nødvendigt ækvivalent i sandhedsværdi til det forslag, du får ved at ændre dets vilkår.

inkluderer således de forhold, der er illustreret i diagrammet plus visningen af, at ‘nej S er P’ svarer til’ Nej P er S’, og synspunktet om, at’nogle S er P’ svarer til ‘nogle P er S’.

1.1 Den moderne Revision af pladsen

de fleste moderne logiske tekster symboliserer de traditionelle former somfølger:

hver S er P	)
Nr. S er P	)
nogle S er P	)
nogle S er ikke P	)

hvis denne symbolisering vedtages sammen med standardvisninger omlogik af forbindelser og kvantificatorer, de forhold, der er indeholdt itraditionelle firkant forsvinder for det meste. Det moderne diagram lignerdette:

den moderne reviderede firkant:

dette har for lidt struktur til at være særlig nyttig, og det er derfor ikke almindeligt anvendt. Ifølge Alonso Kirke, denne moderne synspunktstammer sandsynligvis engang i slutningen af det nittende århundrede. Denne repræsentation af de fire former er nu generelt accepteret,bortset fra betænkeligheder ved tabet af subalternation i venstre håndkolonne. De fleste engelsktalende har en tendens til at forstå ‘EveryS is P’ som kræver for sin sandhed, at der er nogle Ss, og hvis dette krav pålægges, så er der en alternativ holdning til bekræftende forslag. Enhver moderne logiktekst skal adressere den tilsyneladende usandsynlighed ved at lade ‘EveryS is P’ være sandt, når der er nos ‘ er. Det fælles forsvar for dette er normalt, at dette er alogisk notation udtænkt med henblik på logik, og det hævder ikke at fange enhver nuance af de naturlige sprogformer, som symbolerne ligner. Det er derfor muligt, at ‘hver S er P’ ikke gør fuldstændig retfærdighed over for almindelig brug af ‘hver S er P’, men dette er ikke et problem med logikken. Hvis du tror, at ‘EveryS is P’ kræver for sin sandhed, at der beSs, så kan du få det resultat enkelt og nemt: bare repræsentere de genstridige anvendelser af ‘hver s isP’ i symbolsk notation ved at tilføje en ekstra konjunktur til symboliseringen, som denne:.

dette forsvar efterlader logikken intakt og opfylder også indsigelsen, som ikke er en logisk indsigelse, men blot et forbehold ompræsentationen af det naturlige sprog.

forfattere fortsætter typisk med at forklare, at vi ofte ønsker at gøre generaliseringer inden for videnskab, når vi er usikre på, om de har forekomster eller ej, og nogle gange endda når vi ved, at de ikke gør det, og de bruger undertiden dette som et forsvar for at symbolisere Afformen for at lade det være vakuumt sandt. Dette er anargument fra bekvemmelighed af notation, og bærer ikke på logiskkoherens.

1.2 argumentet mod den traditionelle firkant

hvorfor skal den traditionelle firkant overhovedet revideres? Argumenterer en simpel:

Antag at ‘S’ er et tomt udtryk; det er sandt for ingenting. Så danner jeg: ‘SomeS er P’ er falsk. Men så er dens modstridende form: ‘Nej S er P’ skal være sandt. Men så subaltern O form:’ nogle S er ikke P ‘ skal være sandt. Men det er forkert, da der ikke er nogen Ss.

puslespillet om dette argument er, hvorfor Doktrinen om dettraditionelle torv blev opretholdt i godt over 20 århundreder i lyset af denne overvejelse. Var 20 århundreder af logikere så stump somikke at have bemærket denne tilsyneladende fatale fejl? Eller er der en anden forklaring?

en mulighed er, at logikere forud for det 20.århundrede skal have troet, at ingen vilkår er tomme. Du ser denne opfattelse omtales ofte som en, som andre holdt. Men med et par meget specielle undtagelser (diskuteret nedenfor) har jeg ikke været i stand til at finde nogen, der havde en sådan opfattelse før det nittende århundrede. Mange forfattere gør det ikkediskutere tomme vilkår, men dem, der typisk tager deres tilstedeværelse tilskrevet. Eksplicit afvisning af tomme vilkår var aldrig en mainstreammulighed, selv i det nittende århundrede.

en anden mulighed er, at den særlige jeg formmight være sandt, når dens emne er tom. Dette var en almindelig opfattelse, når de læses på ubestemt tidgenerelt, såsom ‘en dodo er en fugl’, som (uden tvivl)kan være sandt nu uden at der er nogen dodoer nu, fordi det at være abird er en del af essensen af at være en dodo. Men sandheden om sådanubestemte propositioner med tomme emner bærer ikke på formularerneaf propositioner, der forekommer på pladsen. For selv om den ubestemte ‘en dodo spiste min frokost’ kan anses for at svare til det særlige forslag ‘nogle dodo spiste min frokost’,generiske ubestemte som ‘en dodo er en fugl’, er ret forskellige, og deres semantik bærer ikke på de kvantificerede konklusioner på oppositionspladsen.

faktisk er den traditionelle doktrin af helt sammenhængende.i nærværelse af tomme vilkår. Dette skyldes, at på den traditionellefortolkning mangler o-formularen eksistentiel import. O-formen er (vacuously) sand, hvis dens subjekterm er tom, ikke falsk, og dermed er de logiske sammenhænge mellem ikke-modstridende. I det følgende sporer jeg udviklingenaf denne opfattelse.

oppositionens Torvs Oprindelse

den doktrin , som jeg kalder, forekommer i Aristoteles. Det begynder i de Interpretatione 6-7, som indeholder tre krav: At A og O er kontradiktoriske, at E og I er kontradiktoriske, og at A og Eare modsætter sig (17b. 17-26):

jeg kalder en bekræftelse og en negation modsiger, når det ene betyder universelt, betyder det andet ikke universelt, f.eks. hver mand er hvid—ikke hver mand er hvid, ingen mand er hvid—en mand er hvid. Men jeg kalder den universelle bekræftelse og den universelle negation modsatte modsætninger, f.eks. Så disse kan ikke være sande sammen, men deres modsætninger kan begge være sande med hensyn til det samme, f.eks.

dette giver os følgende fragment af pladsen:

men resten er der implicit. For eksempel er der nok tilVis, at jeg og O er underkontrakter:de kan ikke begge være falske. For Antag at jeg er falsk. Så er det modstridende, E, er sandt. SoE er modsat, A, er falsk. SOAS modstridende, O, er sandt. Dette afviser muligheden for, at jeg og Oer begge er falske, og udfylder således det nederste forhold mellem subcontraries. Subalternation følger også. Antag at Thea-formularen er sand. Så må dens modsatte Eform være falsk. Men så E-formensmodstridende, jeg, må være sandt. Således hvis Thea form er sand, så skal være Iform. Et parallelt argument etablerer også subalternation fromE til O. Resultatet erfirkantet.

i Prior Analytics I. 2, 25A.1-25 får vi de yderligerekrav om, at E og i-propositionernekonvertere simpelthen. At sætte dette sammen med doktrinen om fortolkning har vi det fulde .

2.1 diagrammet

diagrammet, der ledsager og illustrerer doktrinen, dukker opallerede i det andet århundrede e. kr; Boethius indarbejdede det i sin skrivning, og det gik ned gennem den mørke middelalder til den høje middelalderperiode og derfra til i dag. Diagrammer af denne art var populæreblandt sene klassiske og middelalderlige forfattere, der brugte dem til en række formål. (Lignende diagrammer for modale forslag var isærpopulære.)

2.2 Aristoteles formulering af O-formularen

Ackrills oversættelse indeholder noget lidt uventet: Aristoteles ‘artikulation af O-formularen er ikke kendt’ nogle S er ikke P ‘eller en af dens varianter; det er snarere’ikke alle s isP’. Med denne formulering, Aristoteles doktrinudslipper automatisk den moderne kritik. (Dette gælder for hans synspunkter gennem de Interpretatione.) For Antag igen ,at’ S ‘er et tomt udtryk, ogantage, at dette gør, at jeg danner’ SomeS er p ‘ falsk. Dens modstridende, dig form: ‘Nej S er P’, er således sandt, og dette indebærer o-formen i Aristoteles ‘formulering:’ ikke alle S er P’, hvilket derfor skal være sandt. Da o-formularen blev formuleret ‘nogle S er ikke P’, generede det os, men med det formuleret ‘ikke alle S er P’ det ser ud til at være helt rigtigt. Husk, at vi indrømmer, at ‘EveryS is P’ har eksistentiel import, og så hvis’ er ‘ er tom, skal en formular falde. Men så ‘ikke alle S er P’ burde være sandt, som Aristoteles plads kræver.

på dette synspunkt har bekræftelser eksistentiel import, ognegativer gør det ikke—et punkt, der blev hævet til et generelt princip i slutningen af middelalderen. De gamle så således ikke pladsens usammenhæng som formuleret af Aristotelefordi der ikke var nogen usammenhæng at se.

2.3 omformuleringen af O-formularen

Aristoteles ‘arbejde blev stillet til rådighed for Latin vest hovedsagelig viaboethius’ s oversættelser og kommentarer, skrevet lidt efter 500ce. I sin oversættelse af de interpretatione, Boethiuspreserverer Aristoteles ‘ ordlyd af O-formen som “ikkehver mand er hvid.”Men når Boethius kommenterer denne tekst heillustrerer Aristoteles doktrin med det nu berømte diagram, og han bruger ordlyden “noget menneske er ikke bare”. Så dette må have virkettil ham at være en naturlig ækvivalent på Latin. Det ser underligt ud for os på engelsk, men han blev ikke generet af det.

tidligt i det tolvte århundrede protesterede Abelard mod Boethius ‘formulering af O-formen, men Abelards skrivning var ikke meget indflydelsesrig, og bortset fra hamog nogle af hans tilhængere brugte folk regelmæssigt’ noget Sis ikke P ‘ til O-formen idiagram, der repræsenterer pladsen. Tillod de, at Theo-formen var vakuum sandt? Måske kan vi få nogle forklaringer på, hvordan middelalderlige forfattere fortolkede disse former ved at se på andre doktriner, de godkendte. Disse er teorien om syllogismeog doktrinerne om kontraposition og obversion.

(Ir)relevansen af Syllogistisk

en central bekymring for den aristoteliske tradition i logikken er den kategoriske syllogismes teori. Dette er teorien om to-baserede argumenter, hvor præmisserne og konklusionen deler tre udtryk blandt dem, hvor hvert forslag indeholder to af dem. Det er karakteristisk for denne virksomhed, at alle er enige omhvilke syllogismer er gyldige. Teorien om syllogismen delvistbegrænser fortolkningen af formularerne. For eksempel bestemmer det, at a-formularen har eksistentiel import, i det mindste hvis I-formularen gør det. For et af de gyldige mønstre (Darapti) er:

hver C er B
hver C er en
så nogle A er B

dette er ugyldigt, hvis A-formularen mangler eksistentialimport, og gyldig, hvis den har eksistentiel import. Det holdes til bevalid, og så ved vi, hvordan a-formularen skal fortolkes. Man spørger så naturligvis om Oform; hvad fortæller syllogismerne os om det? Svaret er, at defortæl os intet. Dette skyldes, at Aristoteles ikke diskuterede svækketformer for syllogismer, hvor man konkluderer en bestemt propositionnår man allerede kunne konkludere medtilsvarende universel. For eksempel nævner han ikke formularen:

ingen C er B
hver A er C
så nogle A er ikke B

hvis folk omhyggeligt havde taget sider for eller imod gyldigheden af denne formular, ville det klart være relevant for forståelsen af O-formularen. Men de svækkede former var typiskignoreret.

principperne for Kontraposition og Obversion

et andet stykke emne bærer på fortolkningen af Oform. Folk var interesserede i Aristoteles diskussion af “uendelig” negation, som er brugen af negation til at danne et udtryk fra et udtryk i stedet for en holdning fra et forslag. I moderne engelsk bruger vi” non “tildette; vi laver” non-horse”, hvilket er sandt for netop de ting, somer ikke heste. I middelalderens Latin er” ikke” og “ikke” det samme ord,og derfor krævede sondringen særlig diskussion. Det blev almindeligtat bruge uendelig negation, og logikere overvejede sin logik. Nogle forfattere i det tolvte og trettende århundrede vedtog et principkaldet “konvertering ved kontraposition.”Det hedder det

• ‘hver S er P’ svarer til ‘hver ikke-P er ikke-s’

• ‘nogle S er ikke P’ svarer til ‘nogle ikke-P er ikke IKKE-s’

Desværre er dette princip (som ikke er godkendt af Aristoteles) i konflikt med tanken om, at der kan være tomme eller universellevilkår. For i det universelle tilfælde fører det direkte fra sandheden:

hvert Menneske er et væsen

til falskheden:

ethvert ikke-væsen er et ikke-menneske

(hvilket er falsk, fordi det universelle bekræftende har eksistentiel betydning, og der er ingen ikke-væsener). Og i det særlige tilfælde er detfører fra sandheden (husk at O-formularen ikke har nogeneksistentiel import):

en kimær er ikke en mand

til falskheden:

en ikke-mand er ikke en ikke-kimær

disse er Buridans eksempler, der blev brugt i det fjortende århundrede for at viseinvaliditeten af kontraposition. Desværre var Buridans tid blevet fortaler for kontrapositionsprincippet af en række forfattere.Læren er allerede til stede i flere tolvte århundrede traktater, og det er godkendt i det trettendeårhundrede af Peter af Spanien, hvis arbejde blev genudgivet i århundreder,af Vilhelm Shertræog af Roger Bacon. I det fjortende århundrede synes problemer, der er forbundet med kontraposition, at være velkendte, og forfattere nævner generelt princippet og bemærker, at det ikke er gyldigt, men at det bliver gyldigt med en yderligere antagelse om eksistensen af ting, der falder ind under emnebegrebet. For eksempel Paul af Venedig i hanseklektisk og bredt offentliggjort Logica Parva fra slutningen af det fjortende århundrede giver det traditionelle torv med enkel konvertering,men afviser konvertering ved kontraposition, i det væsentlige af Buridans grund.

en lignende ting skete med princippet om obversion. Dette erprincippet, der siger, at du kan ændre et forslag fraaffirmativ til negativ, eller omvendt, hvis du ændrer prædikatetermen fra endelig til uendelig (eller uendelig til endelig). Nogle eksemplerer:

hver S er P	=	ingen S er ikke-P
ingen S er P	=	hver S er ikke-P
nogle S er P	=	nogle S er ikke ikke-P
nogle S er ikke P	=	nogle S er ikke-P

Aristoteles diskuterede nogle tilfælde af obversion i fortolkning. Det er tydeligt, i betragtning af sandhedsbetingelserne for formerne, at disse slutninger er gyldige, når de bevæger sig fra bekræftende til negativ, men ikke i omvendt retning, når vilkårene kan være tomme, som Buridan gør det klart. Nogle middelalderlige forfatterefør Buridan accepterede de fejlagtige versioner, og nogle gjorde det ikke.

senere udviklinger

5.1 Negative propositioner med tomme udtryk

i Paul fra Venedigs andet store arbejde, Logica Magna(omkring 1400), giver han nogle relevante eksempler på særlignegative propositioner, der følger af ægte universelle negativer. Hanseksempler på sande særlige negativer med åbenlyst tomme emneudtryk er disse:

en mand, der er et æsel, er ikke et æsel.

hvad der er anderledes end at være er ikke.

nogle ting vilje mod af en kimær er ikke vilje mod bya kimær.

en kimær findes ikke.

en mand, som et Æsel har født, er ikke hans søn.

så i slutningen af det 14.århundrede var spørgsmålet om tomme vilkårklart anerkendt. De var tilladt i teorien, theo-formen havde bestemt ikke eksistentiel import,og den logiske teori, frataget de forkerte særlige tilfælde af kontrast og obversion, var sammenhængende og immun over for det 20.århundredes kritik.

5.2 bekræftende propositioner med tomme udtryk

det faktum, at universelle bekræftelser med tomme fagudtryk arefalsk løber ind i et problem med aristotelisk videnskabelig teori.Aristoteles mente ,at ‘ethvert menneske er et dyr’ er en nødvendig sandhed. I så fald er det sandt hver gang. Så hver gangdets emne er ikke tomt. Og så er der mennesker til enhver tid. Men den dominerende teologi mente, at før skabelsens sidste dag var der ingen mennesker. Så der er en modsigelse.

Ockham undgår dette problem ved at opgive dele af Aristoteles teori:

selvom det er i konflikt med Aristoteles tekster, er der i henhold til sandheden intet forslag blandt dem, der vedrører netop korrupte ting, der er helt bekræftende og helt om nutiden, i stand til at være et princip eller en konklusion om en demonstration, fordi en sådan er betinget. For hvis nogle sådan var nødvendige, ville dette synes at være så specielt for denne “et menneske er et rationelt dyr”. Men dette er kontingentfordi det følger “et menneske er et rationelt dyr, derfor er et menneske et dyr “og yderligere”derfor er et menneske sammensat af en krop og en følsom sjæl”. Men dette er kontingentfor hvis der ikke var noget menneske, der ville være falsk på grund af det falske underforståede, fordi det ville antyde, at noget er sammensat af en krop og sjæl, som så ville være falsk.

modsætningen kan også forsvinde, hvis propositioner i videnskabeligteori har usædvanlige betydninger. En mulighed er, at universellebekræftelser forstås i videnskabelig teori som universaliseredebetingede, som de forstås i dag. Dette ville ikke forstyrre det faktum, at de ikke er betingede i anvendelser uden for videnskabelig teori. Selvom de Rijk (1973, 52) siger, at Ockhamholder en sådan opfattelse, synes han eksplicit at afvise det og siger, at’ et menneske er et rationelt dyr ‘svarer ikke til’ hvis et menneske er så er et menneske et rationelt dyr “fordidette er en betinget og ikke en kategorisk”.

Buridans opfattelse er pænere. Han mener, at når han beskæftiger sig med videnskabelig teori, er emnet ikke begrænset til nuværende eksisterende ting. I stedet har propositionerne deres sædvanlige betydning, men et udvidet emne. Når ordet ‘menneske’ bruges, diskuterer man ethvert menneske, fortid og fremtid og endda mulige mennesker. Med en sådan forståelse er emnet ‘ethvert menneske er et dyr’ ikke tomt i det hele taget.

arbejdet med logik fortsatte i de næste par århundreder, dogdet meste af det var tabt og havde ringe indflydelse. Men emnet tomme vilkår stod helt overfor, og løsninger, der blev givet inden for den middelalderlige tradition, var i overensstemmelse med . Jeg stoler her på 1974, 201-02, der rapporterer de mest almindelige temaer ikonteksten af post-middelalderlige diskussioner om kontraposition. Et tema er, at kontraposition er ugyldig, når den anvendes på universelle eller tomme vilkår af de forskellige grunde, der er givet af Buridan. O-formularen anses eksplicit for at mangle eksistentiel import. Et andet tema, som siger, at det var den mest almindelige ting at sige, findes også iburidan: yderligere slutninger, såsom kontraposition, bliver gyldige, når de suppleres med en yderligere forudsætning, der hævder, at de pågældende vilkår ikke er tomme.

5.3 en underlighed

der er en ulige visning, der forekommer mindst to gange, hvilket kan have som en konsekvens, at der ikke er tomme udtryk. I det trettende århundrede foreslog Lambert af Lagny (undertiden identificeret som Lambert af hjælp), at et udtryk som “chimera”, der står for intet eksisterende, skal ” vende tilbage til ikke-eksisterende ting.”Så hvis vi antager, at der ikke findes roser, står udtrykket ‘rose’ for ikke-eksisterende ting. Menghus Blanchellus Faventinus mente,at negative udtryk som ‘nonman’ gælder for ikke-væsener, og han konkluderede ud fra dette, at ‘en nonman er en kimær’ istrue (tilsyneladende forudsat at ‘chimera’ også gælder for ikke-væsener).Imidlertid,ingen af disse synspunkter synes at have været klart udviklet, og ingen af dem blev bredt vedtaget. Det er heller ikke klart, at nogen af dem erforudsat at have den konsekvens, at der ikke er tomme vilkår.

5.4 moderne, Renæssanceog nittende århundrede

ifølge Ashværd, seriøs og sofistikeret undersøgelse af logik sluttede omkringtredje årti af det sekstende århundrede. Port Royal Logicaf det følgende (syttende) århundrede synes typisk i sin tilgang:dens forfattere antyder ofte, at logik er triviel oguvigtig. Dens doktrin inkluderer oppositionspladsen, men diskussionen om O-formen er så vag, at ingen kunne fastlægge dens nøjagtige sandhedsbetingelser, og der er bestemt ingen bevidsthed om problemer med eksistentiel betydning, på trods af det faktum, at forfatterne anfører, at e-formularen indebærer o-formen (4th Corollary of chapter 3 of part 3). Dette synes at typificere populære teksterfor det næste stykke tid. I det nittende århundrede var den tilsyneladende mestudbredt anvendte lærebog i Storbritannien og Amerika Hvad er elementer af logik. Hvad giver den traditionelle doktrin om pladsen uden nogen diskussion af spørgsmål om eksistentiel import eller tomvilkår. Han inkluderer de problematiske principper for kontraposition (somhan kalder “konvertering ved negation”):

hver S er P

=

hver ikke-P er ikke-S

han støtter også obversion:

• nogle A er ikke B svarer til nogle a isnot-B, og dermed konverterer det til nogle ikke-b er A.

han siger, at dette princip er “ikke fundet i Aldrich”, men at det er”i hyppig brug.”Denne “hyppige brug” fortsatte; senere i det nittende og tidlige tyvende århundrede lærebøger i England og Amerika fortsatte med at godkende obversion (også kaldet”infinitation” eller “permutation”) og kontraposition (også kaldet “illativ konvertering”). Denne fulde tradition fra det nittende århundrede er kun konsistent på den antagelse, at tomme (og universelle) vilkår er forbudt, men forfattere synes uvidende om dette; Keynes 1928, 126, siger generøst “denne antagelse ser ud til at være gjort implicit i den traditionelle behandling af logik.”De Morgan er atypisk i at gøre antagelseneksplicitte: i sin tekst fra 1847 (s. 64) forbyder han universelle udtryk (tomme vilkår forsvinder implicit,fordi hvis A er tom, vil ikke-a være universel), men senere i den samme tekst (S. 111) retfærdiggør han at ignorere tomme udtryk ved at behandle dette som en idealisering, vedtagetfordi ikke alle hans læsere er matematikere.

i det tyvende århundrede udviklede han også en version af syllogistisk, der eksplicit afhænger af fraværet af tomme vilkår;han tilskrev systemet Aristoteles og hjalp således med at fremme den tradition, ifølge hvilken de gamle var uvidende om tomme vilkår.

i dag deler logiske tekster sig mellem dem, der er baseret på nutidig logikog dem fra den aristoteliske tradition eller det nittende århundredetradition, men selv mange tekster, der underviser i syllogistisk, lærer det med de former, der fortolkes på den moderne måde, så f.eks. subalternation ertabt. Så den traditionelle plads, som traditionelt fortolket, er nuhovedsagelig forladt.

Halmsons forsvar

i det tyvende århundrede var der mange kreative anvendelser af logiskværktøjer og teknikker til revurdering af tidligere doktriner. Man kan naturligvis undre sig over, om der er en eller anden genial fortolkning af kvadratet, der tilskriver eksistentiel import til Oform og giver mening om det hele uden at forbyde tomme eller universelle udtryk og således forene traditionel doktrin med modernesyn. Peter Geach, 1970, 62-64, viser, at dette kan gøresved hjælp af en unaturlig fortolkning. Peter Halmson, 1952, 176-78, havde et mere ambitiøst mål. Halmsons ide var at retfærdiggøre firkanten ved at vedtage et ikke-klassisk syn på sandheden af udsagn og ved at omdefinere det logiske forhold mellem gyldighed. For det første foreslog han, at vi skulle antage, at et forslag, hvis emneudtryk er tomt, hverken er sandt eller falsk, men mangler sandhedsværdi helt. Så siger vi, at K indebærer R, bare hvis der ikke er nogen instanser af K og R, således at forekomsten af K og R er falsk. For eksempel er Thea-formularen ‘hver S er P ‘medfører i-formularen’ nogle s isP’, fordi der ikke er nogen forekomst af en form, der er sand, når den tilsvarende instanceof i-formularen er falsk. De besværlige sager, der involverer tomme udtryk, viser sig at være tilfælde, hvor en eller begge former mangler sandhedsværdi, og disse er irrelevante for så vidt angår medbringelse. Med denne reviderede redegørelse for entailment, alle de”traditionelle” logiske relationer resultat, hvis de er formuleret som følger:

modsigelser:	A-og O-formularenindebærer hinandens negationer, ligesom e andI-formerne gør. Negationen af A-formen medfører den (unnegated) O-form og omvendt;ligeledes for E-og i-formerne.
modsætninger:	A-og E-formularenindebærer hinandens negationer
Subcontraries:	negationen af I-formularen indebærer(unnegated) o-formularen og omvendt.
Subalternation:	a-formularen indebærer Iform, og E-formularen indebærer o-formularen.
samtaler:	E og jeg danner hver deres samtale.
Kontraposition:	A og O danner hver deres kontrapositiver.
Obverses:	hver formular indebærer sin egen forside.

disse doktriner er ikke, imidlertid, doktrinerne om . Dedoktrinerne af formuleres udelukkende med hensyn til mulighederne for sandhedsværdier, ikke med hensyn til inddragelse. Så” entailment ” erirrelevant for . Det viser sig, at Halmsons revision af sandhedenbetingelser bevarer principperne for kvadrat (disse kan let kontrolleres af sager), men ikke de yderligere konverteringsprincipper for, og ogsåikke de traditionelle principper for kontraposition eller obversion. For eksempel gælder Halmsons genfortolkede version af konvertering for deres form, fordi enhver I-formforslag indebærer sin egen samtale: hvis ‘nogle a isB’ og ‘nogle B er en’ begge har sandhedsværdi, så har ingen af dem et tomt emneudtryk, og så hvis enten mangler sandhedsværdi, og hvis den ene er sand, vil den anden være sand så godt. Men den oprindelige doktrin om konvertering siger, at anI-form og dens samtale altid har den samme sandhedsværdi, og det er falsk på Halmsons konto; hvis der er som men noBs, så er ‘nogle A er B’ falske, og ‘nogle B er A’ har ingen sandhedsværdi i det hele taget. Lignende resultater følger for kontraposition og obversion.

den “traditionelle logik”, som Halmson diskuterer, er meget tættere på det nittende århundredes logiske tekster end det er til den version, derholdt svaj i to årtusinder før det. Men selvom helbogstaveligt talt redder en version af det nittende århundredes logik, er synspunktet hesaves ude af stand til at tjene de formål, som logiske principper formuleres til, som det blev påpeget af Timothy Smiley i en kort note inMind i 1967. Folk har altid taget pladsen tilkropsprincipper, som man kan begrunde, og hvormed man kankonstruere udvidede ræsonnementskæder. Men hvis du snor dig sammen, kan du udlede usandheder fra sandheder, som ingen i nogen tradition ville betragte som legitime. Begynd for eksempel med denne sandhed (emnebegrebet er ikke tomt):

ingen mand er en kimær.

ved konvertering får vi:

ingen kimær er en mand.

af obversion:

hver kimær er en ikke-mand.

af subalternation:

nogle kimærer er en ikke-mand.

ved konvertering:

nogle ikke-mand er en kimær.

da der er ikke-mænd, er konklusionen ikke Sandhed-værdiløs, ogda der ikke er kimærer, er det falsk. Således er vi gået fra atrute krav til en falsk. (Eksemplet involverer ikke engang denproblematiske O-form.) Alle trin er valideret afværkernes doktrin. Så Halmson når sit mål om at bevarevisse mønstre, der ofte identificeres som værende traditionelle logiske, men på bekostning af at ofre anvendelsen af logik til udvidet ræsonnement.