Hvad er en bølge?
en bølger er en bølgeform med effektivt begrænset varighed, der har en gennemsnitlig værdi på nul og ikke-nul norm.
mange signaler og billeder af interesse udviser stykkevis glat adfærd præget af transienter. Talesignaler er kendetegnet ved korte udbrud, der koder for konsonanter efterfulgt af steady state-svingninger, der indikerer vokaler. Naturlige billeder har kanter. Finansielle tidsserier udviser forbigående adfærd, som karakteriserer hurtige op-og nedture i økonomiske forhold. I modsætning til Fourier-basis er bølgebaser dygtige til tyndt at repræsentere stykkevis regelmæssige signaler og billeder, som inkluderer forbigående opførsel.
Sammenlign bølger med sinusbølger, som er grundlaget for Fourier-analyse. Sinusoider har ikke begrænset varighed-de strækker sig fra minus til plus uendelig. Mens sinusoider er glatte og forudsigelige, har bølger tendens til at være uregelmæssige og asymmetriske.
Fourier-analyse består i at opdele et signal i sinusbølger med forskellige frekvenser. Tilsvarende er bølgeanalyse opbruddet af et signal i skiftede og skalerede versioner af den oprindelige (eller Moder) bølger.
bare når man ser på billeder af bølger og sinusbølger, kan man intuitivt se, at signaler med skarpe ændringer kan analyseres bedre med en uregelmæssig bølger end med en glat sinusoid.
det giver også mening, at lokale træk kan beskrives bedre med bølger, der har lokal udstrækning. Det følgende eksempel illustrerer dette for et simpelt signal bestående af en sinusbølge med en diskontinuitet.
Lokaliser diskontinuitet i sinusbølge
dette eksempel viser bølgeanalyse kan lokalisere en diskontinuitet i en sinusbølge.
Opret en 1-HS sinusbølge samplet ved 100 HS. Varigheden af sinusbølgen er et sekund. Sinusbølgen har en diskontinuitet ved t=0,5 sekunder.
t = linspace(0,1,100)';x = sin(2*pi*t);x1 = x-0.15;y = zeros(size(x));y(1:length(y)/2) = x(1:length(y)/2);y(length(y)/2+1:end) = x1(length(y)/2+1:end);stem(t,y,'markerfacecolor',); xlabel('Seconds'); ylabel('Amplitude');
få den ikke-specificerede diskrete bølgetransformation af sinusbølgen ved hjælp af 'sym2' bølgerne og plotte bølgerne (detalje) koefficienterne sammen med det originale signal.
= swt(y,1,'sym2');subplot(211)stem(t,y,'markerfacecolor',); title('Original Signal');subplot(212)stem(t,swd,'markerfacecolor',);title('Level 1 Wavelet Coefficients');
Sammenlign Fourier-koefficientstørrelserne for 1-HS sinusbølgen med og uden diskontinuiteten.
dftsig = fft();dftsig = dftsig(1:length(y)/2+1,:);df = 100/length(y);freq = 0:df:50;stem(freq,abs(dftsig));xlabel('Hz'); ylabel('Magnitude');legend('sine wave','sine wave with discontinuity');
der er minimal forskel i størrelsen af Fourier-koefficienterne. Fordi de diskrete Fourier-basisvektorer har Støtte over hele tidsintervallet, registrerer den diskrete Fourier-transformation ikke diskontinuiteten så effektivt som bølgetransformationen.
Sammenlign niveau 1-bølgekoefficienterne for sinusbølgen med og uden diskontinuiteten.
= swt(x,1,'sym2');subplot(211)stem(t,swd); title('Sine Wave with Discontinuity (Wavelet Coefficients)');subplot(212)stem(t,swdx); title('Sine Wave (Wavelet Coefficients)');
bølgekoefficienterne for de to signaler viser en signifikant forskel. Bølgeanalyse er ofte i stand til at afsløre karakteristika ved et signal eller billede, som andre analyseteknikker savner, som tendenser, opdelingspunkter, diskontinuiteter i højere derivater og selvlighed. Desuden, fordi bølger giver et andet billede af data end dem, der præsenteres ved Fourier-teknikker, kan bølgeanalyse ofte betydeligt komprimere eller denoise et signal uden mærkbar nedbrydning.
