¿Qué es una Wavelet?
Una wavelet es una forma de onda de duración efectivamente limitada que tiene un valor promedio de cero y distinto de cero.
Muchas señales e imágenes de interés muestran un comportamiento suave a trozos marcado por transitorios. Las señales del habla se caracterizan por ráfagas cortas que codifican consonantes seguidas de oscilaciones de estado estacionario indicativas de vocales. Las imágenes naturales tienen bordes. Las series de tiempo financieras muestran un comportamiento transitorio, que caracteriza las repuntes y las contracciones rápidas en condiciones económicas. A diferencia de la base de Fourier, las bases wavelet son expertas en representar escasamente señales e imágenes regulares a trozos, que incluyen un comportamiento transitorio.
Compare las wavelets con las ondas sinusoidales, que son la base del análisis de Fourier. Los sinusoides no tienen una duración limitada, se extienden de menos a más infinito. Mientras que los sinusoides son suaves y predecibles, las ondulas tienden a ser irregulares y asimétricas.
el análisis de Fourier consiste en dividir una señal en ondas sinusoidales de diferentes frecuencias. Del mismo modo, el análisis de wavelet es la ruptura de una señal en versiones desplazadas y escaladas de la wavelet original (o madre).
Con solo mirar imágenes de wavelets y ondas sinusoidales, puede ver intuitivamente que las señales con cambios bruscos podrían analizarse mejor con una wavelet irregular que con una sinusoide lisa.
También tiene sentido que las características locales se puedan describir mejor con wavelets que tienen extensión local. El siguiente ejemplo ilustra esto para una señal simple que consiste en una onda sinusoidal con una discontinuidad.
Localizar la discontinuidad en Onda sinusoidal
Este ejemplo muestra que el análisis de ondas puede localizar una discontinuidad en una onda sinusoidal.
Cree una onda sinusoidal de 1 Hz muestreada a 100 Hz. La duración de la onda sinusoidal es de un segundo. La onda sinusoidal tiene una discontinuidad en t=0.5 segundos.
t = linspace(0,1,100)';x = sin(2*pi*t);x1 = x-0.15;y = zeros(size(x));y(1:length(y)/2) = x(1:length(y)/2);y(length(y)/2+1:end) = x1(length(y)/2+1:end);stem(t,y,'markerfacecolor',); xlabel('Seconds'); ylabel('Amplitude');
Obtenga la transformada de wavelet discreta no definida de la onda sinusoidal utilizando la wavelet 'sym2' y trace los coeficientes de wavelet (detalle) junto con la señal original.
= swt(y,1,'sym2');subplot(211)stem(t,y,'markerfacecolor',); title('Original Signal');subplot(212)stem(t,swd,'markerfacecolor',);title('Level 1 Wavelet Coefficients');
Compare las magnitudes del coeficiente de Fourier para la onda sinusoidal de 1 Hz con y sin discontinuidad.
dftsig = fft();dftsig = dftsig(1:length(y)/2+1,:);df = 100/length(y);freq = 0:df:50;stem(freq,abs(dftsig));xlabel('Hz'); ylabel('Magnitude');legend('sine wave','sine wave with discontinuity');
Hay una diferencia mínima en las magnitudes de los coeficientes de Fourier. Debido a que los vectores de base de Fourier discretos tienen soporte durante todo el intervalo de tiempo, la transformada de Fourier discreta no detecta la discontinuidad tan eficientemente como la transformada de wavelet.
Compare los coeficientes de ondulación de nivel 1 para la onda sinusoidal con y sin discontinuidad.
= swt(x,1,'sym2');subplot(211)stem(t,swd); title('Sine Wave with Discontinuity (Wavelet Coefficients)');subplot(212)stem(t,swdx); title('Sine Wave (Wavelet Coefficients)');
Los coeficientes de ondulación de las dos señales demuestran una diferencia significativa. El análisis de ondas a menudo es capaz de revelar características de una señal o imagen que otras técnicas de análisis no ven, como tendencias, puntos de ruptura, discontinuidades en derivadas superiores y auto-similitud. Además, debido a que las wavelets proporcionan una vista de los datos diferente a la presentada por las técnicas de Fourier, el análisis de wavelets a menudo puede comprimir o eliminar el ruido de una señal sin una degradación apreciable.
