1.4 siirtymät ja Dilataatiot

monet sovellusten funktiot rakentuvat yksinkertaisista funktioista sijoittamalla vakioita eri paikkoihin. On tärkeää ymmärtää tällaisten vakioiden vaikutus kuvaajan ulkonäköön.

vaakasuorat siirtymät. Jos korvaamme $x$ by $x-C$ kaikkialla se esiintyy kaavassa $f (x)$, sitten kaavio siirtyy yli $c$ theright. (Jos $c$ on negatiivinen, tämä tarkoittaa, että kuvaaja siirtyy yli$ / C / $ vasemmalle.) Esimerkiksi kuvaaja $y=(x-2)^2$ on$x^2$-paraabeli siirretty yli on sen huippupiste pisteessä 2$x$-akselilla. Kuvaaja $y=(x+1)^2$ on sama paraabeli siirtynyt vasemmalle niin, että sen huippupiste on $-1$ $$x $ -akselilla. Huomaa hyvin: kun korvaamme $x$$: lla $x-C$: lla, meidän täytyy kiinnittää huomiota merkitykseen, ei ulkonäköön. Alkaen $ y=x^2$ ja kirjaimellisesti korvaa $x$ $ $ x-2$ antaa $y=x-2^2$. Tämä on $y=x-4$, rivi, jossa on kaltevuus 1, ei tuhkattu paraabeli.

Pystyvuorot. Jos korvaamme $y$: n $y-D$: lla, kuvaaja nostaa $D$: n yksiköitä. (Jos $D$ on negatiivinen, tämä tarkoittaa, että kuvaaja laskee $ / D / $ – yksikköä.) Jos kaava kirjoitetaan muodossa$y=f (x)$ ja jos $y$ korvataan $y-d$ saada $y-D=f(x)$, voimme yhtäläisesti siirtää $D$ toiselle puolelle yhtälön ja kirjoittaa$y=f(x)+D$. Näin ollen voidaan todeta tämä periaate: saadaksesi kuvan $y=f(x)+D$, ota kaavio $y=f (x)$ ja siirrä se $D$ yksikköä ylöspäin.Esimerkiksi funktio $y=x^2-4x=(x-2)^2-4$ saadaan$y = (x-2)^2$ (katso viimeinen kappale) siirtämällä kaaviota 4 yksikköä alaspäin.Tuloksena on $x^2$ – paraabeli siirtynyt 2 yksikköä oikealle ja 4 unitsdown niin, että sen huippupiste pisteessä $(2, -4)$.

Varoitus. Älä sekoita $f(x)+D$ ja $f(x+D)$. Esimerkiksi jos $f (x)$ on funktio $x^2$, niin $f(x)+2$ on funktio $x^2+2$,kun taas $f(x+2)$ on funktio $(x+2)^2=x^2+4x+4$.

esimerkki 1.4.1 (ympyrät)tärkeä esimerkki edellä mainituista kahdesta periaatteesta, joissa ympyrä $x^2+y^2=r^2$. Tämä on ympyrän säde$r$ keskitetty alkuperä. (Kuten näimme, tämä ei ole yksi funktio$y=f(x)$, vaan kaksi funktiota $y=\pm\sqrt{R^2-x^2}$ yhteenlaskettuna;joka tapauksessa nämä kaksi muuttuvaa periaatetta pätevät tämänkaltaisiin yhtälöihin, jotka eivät ole muodossa $y=f(x)$.) Jos me korvata $x$$ $x-c$ ja korvata $y$ $ y-d$ – saada yhtälö$(x-C)^2+(y-D)^2=r^2$—vaikutus ympyrä on siirtää sitä $c$ oikealle ja $D$ ylöspäin, jolloin saadaan ympyrän säde $r$keskitetty pisteeseen $(C,D)$. Tämä kertoo, miten kirjoittaa minkä tahansa ympyrän, joka ei välttämättä ole keskipisteenä origossa.

haluamme myöhemmin käyttää kahta muuta periaatetta, jotka koskevat vakioiden vaikutuksia funktion kuvaajan ulkonäköön.

vaakasuora dilaatio. Jos $x$ korvataan$x / a$ kaavassa ja $A>1$, niin vaikutus kuvaajaan on laajentaa sitä kertoimella $a$ x $-suuntaan (pois$y$ – akselilta). Jos $A$ on välillä 0 ja 1 sitten vaikutus kuvaajan on sopimus kertoimella $1/$(kohti $y$-akseli). Käytämme sanaa ”laajentaa” tarkoittamaan laajentaa tai supistua.

esimerkiksi $x$: n korvaaminen$x/0.5=x/(1/2)=2x$: lla saa aikaan sen, että $y$-akselia kohti supistuu tekijä 2. Jos $A$ on negatiivinen, laajennamme kertoimella $ / A / $ ja thenflip noin $Y$ – akseli. Siten, korvaa $x$ by $ – x$ on vaikutus ofaking peilikuva kuvaajan suhteessa $y$ – akselin. Esimerkiksi funktio $y=\sqrt{-x}$, jolla on domain $\{x\in\r\mid x\le 0\}$, otetaan kaaviosta $\sqrt{x}$ ja käännetään se $y$-akselin ympäri toiseen kvadranttiin.

pystysuuntainen laajentuma. Jos $y$ korvataan kaavassa $y / B$ ja$b>0$, niin vaikutus kuvaajaan on laajentaa sitä kertoimella $b$ pystysuunnassa. Kuten ennenkin, tämä on laajennus tai sopimus riippuen siitä, onko $B$ suurempi vai pienempi kuin yksi.Huomaa, että jos meillä on funktio $y=f(x)$,korvaa $y$ $y/b$ vastaa funktion kertomista oikealla funktiolla $b$: $y=Bf(x)$. Kuvaajan vaikutus on laajentaa kuvaa $x$ – akselilta kertoimella $b$ if $b>1$, sopimaan se $x$ – akselille kertoimella $1 / B$ if $0

esimerkki 1.4.2 (ellipsit)perusesimerkki kahdesta laajennusperiaatteesta annetaan puolimajorin akselin $A$ ja puolimajorin akselin $b$avulla. Saamme tällaisen ellipsin sivustakartoituksen yksikköympyrän kanssa-ympyrän säde 1 keskitetty theorigin, jonka yhtälö on $x^2+y^2=1$—ja laajenevan tekijällä $a$ vaakasuunnassa ja kertoimella $b$ pystysuunnassa. Saadaksemme yhtälön tuloksesta, joka ylittää $x$ – akselin $\pm A$ ja ylittää $y$ – axisat $ \ pm b$, korvaamme $x$ by $x / A$ ja $y$ by $y/b$ yhtälössä yksikön ympyrän. Tällöin saadaan $ $ \left({x\over a}\right)^2+\left({y\over B}\right)^2=1\qquad\hbox{tai}\qquad {x^2\over a^2}+{y^2\over B^2}=1.$$

lopuksi, jos haluamme analysoida funktio, johon liittyy bothshifts ja laajentumat, se on yleensä yksinkertaisin työskennellä thedilations ensin, ja sitten siirtymät. Esimerkiksi, jos haluamme todilate funktio kertoimella $A$ IN $x$ – suuntaan ja sitten Shift $C$ oikealle, teemme tämän korvaamalla $x$ ensin $ x/A $ja sitten $(x-C)$ kaavassa. Oletetaan esimerkiksi, että laajennettuamme yksikköympyrämme $ a$ x$ – suunnassa ja $ b$$y$ – suunnassa saadaksemme ellipsin viimeisessä kappaleessa, me sitten halusimme siirtää sen matkan $h$ oikealle ja etäisyyden $k$ylöspäin, niin että se keskitetään pisteeseen $(h, k)$. Uudella ellipsillä olisi yhtälö$$\left ({x-h\over a}\right)^2+\left ({y-k\over B}\right)^2=1.$ $ Huomaa hyvin, että tämä on eri asia kuin tehdä ensin vuoroja $h$ ja $k$ ja sitten dilataatioita $A$ ja $b$:$$\left({x\over a}-h\right)^2+\left({y\over b}-k\right)^2=1.KS. kuva 1.4.1.

Kuva 1.4.1. Ellipsit: $\left ({x-1\over 2} \ right)^2+\left({y-1\over 3}\right)^2=1$ vasemmalla, $\left({x\over 2}-1\right)^2+\left({y\over 3}-1\right)^2=1$ oikealla.