Einsteinin summaus

Einsteinin summaus on notaatiokokonaisuus, jolla yksinkertaistetaan lausekkeita, mukaan lukien vektorien, matriisien ja yleisten tensorien summat. Einsteinin summamerkinnällä on periaatteessa kolme sääntöä:

1. Toistuvat indeksit summataan implisiittisesti yli.

2. Kukin indeksi voi ilmestyä korkeintaan kaksi kertaa millä tahansa aikavälillä.

3. Kunkin termin on sisällettävä samat toistamattomat indeksit.

edellä olevan luettelon ensimmäistä kohtaa voidaan käyttää huomattavasti tensoreita sisältävien yhtälöiden yksinkertaistamiseen ja lyhentämiseen. Esimerkiksi Einsteinin summauksen avulla,

(1)

ja

(2)

luettelon toinen ja kolmas kohta osoittavat, että ilmaisu

(3)

on voimassa, kun taas ilmaisut

(4)

ja

(5)

ovat virheellisiä, koska indeksi esiintyy kolme kertaa ensimmäisellä kaudella (), kun taas toistumaton indeksi ensimmäisellä kaudella () ei vastaa toistamatonta toista kautta.

konvention esitteli Einstein (1916, sec. 5), joka myöhemmin jested ystävälle: ”olen tehnyt suuren löydön matematiikassa; olen tukahduttanut summamerkin joka kerta, kun yhteenlasku on tehtävä indeksillä, joka tapahtuu kahdesti…”(Kollros 1956; Pais 1982, s.216).

käytännössä konventionilla on taipumus esiintyä sekä Kroneckerin suisto-että permutaatiomerkin rinnalla. Lisäksi Einsteinin summauskonventio mahtuu helposti sekä superscriptsiin että subscriptsiin kontravarianteille ja kovarianteille tensoreille.