 |
 |
Kuva 1. Carte de visite (käyntikortti) noin 1866 Augustus De Morgan, allekirjoitettu ”ADeMorgan” hänen. Valokuva: Maul ja Polyblank (KS.Huom.). (Tohtori Sid Kolpasin kokoelmasta)
lyhyt elämäkerta
Augustus De Morgan (1806-1871) oli 1800-luvun vaikutusvaltaisimpia ja menestyneimpiä matematiikan opettajia. Sekä nykyajan ja nykyisten standardien hän oli ylimääräinen professori. Adrian Ricen mukaan kirjoituksessa” mikä tekee suuresta matematiikan opettajasta? Tapaus Augustus De Morgan, ” hän oli esimerkki suuri matematiikan opettaja, joka juurrutti rakkautta ja innostusta aiheesta hänen oppilaansa, mikä on syvällinen vaikutus niihin, vaikka he eivät koskaan harjoittanut uran matematiikassa. Todiste siitä, että lausunto on peräisin elossa kommentteja De Morgan ’ s opiskelijoiden, ja joidenkin tunnettujen matemaatikot jotka olivat vaikuttaneet hänen opetusta. Hänellä oli harvinainen oivalluksen, huumorin ja luovuuden yhdistelmä. Hänen luennot olivat tiivis ja selkeä; toisin kuin aivan liian monet ikätoverinsa, hän välitti siitä, että hänen oppilaitaan tulisi stimuloida, haastaa, inspiroida ja huolellisesti ohjeistaa järkevällä suunnittelulla ja pedagogiikalla. Hän vihasi kilpailuhenkisiä kokeita ja niistä johtuvaa tiedon jakamisen puutetta (joka on koulujemme nykyinen ongelma); hän kannatti yhteistoiminnallista oppimista. Opiskelijat kertoivat, että hänen luennoillaan oli runsaasti huumoria, sovelluksia muille tieteenaloille, viittauksia jatkotutkimuksiin ja rakkautta hänen aiheeseensa. Jopa kaikkein Abstrakti käsitteitä tehtiin selväksi kautta hänen loistava käyttö analogia, metafora, ja vertaus.
De Morgan syntyi Madurassa, Intiassa. Hän oli koulutettu yksityiskouluissa, kunnes hänen tuloa Trinity College, Cambridge, iässä kuusitoista. Hän oli erinomainen oppilas, lähellä luokkansa huippua. Kuitenkin, hän päätti olla hankkimatta M. A. tutkinto, tai kilpailla college fellowship, koska hänen aseistakieltäytyminen uskonnollisia testejä, joita vaadittiin ehdokkaiden klo Cambridge. Vuonna 1828 hän sai akateemisten saavutustensa ansioista nimityksen matematiikan professoriksi vastaperustettuun Lontoon yliopistoon (josta tuli University College London). Hän opetti siellä yli 30 vuotta, inspiroiden oppilassukupolvia. Seuraavat sukupolvet hänen oppilaansa kutsutaan häntä ”Gussy” -pitkä stout waddling luku peering kautta kulta-rimmed lasit jotka intohimoisesti opettaa heille matematiikkaa.
hänen maineensa kasvoi, koska hän oli erinomainen, rohkaiseva, huolehtiva opetus ja hänen artikkeleita huippuluokan aiheita, matemaattisia arvoituksia, pelejä, kummallisuuksia, ja paradokseja; De Morgan oli Martin Gardner, yhdeksästoista luvulla. De Morgan ’ s Rakkaus matemaattisia palapelit ja tarinoita johti, postuumisti, julkaisemista hänen talousarvion paradokseja (1872), se on edelleen tulostaa. Vaikka hän oli luonteeltaan lempeä, hän oli myös vakaumukseltaan vahva. Hän taisteli uskonnollista teeskentelyä vastaan ja oli naisten koulutusoikeuksien puolestapuhuja, mutta vastusti naisten äänioikeutta. Hän uskoi myös, että edistyneet matemaattiset tutkimukset olivat mahdollisesti vahingollisia naisen fyysiselle terveydelle, joka oli tuolloin vallitseva asenne naisia kohtaan. Yhä liberaali, koska hän kasvoi vanhempi, hän saarnaa matematiikan luokkiin naisten ilman maksua ja kannusti naisia, vaikka niiden oletetaan henkistä rajoituksia, jatkaa niiden matemaattisia tutkimuksia.
kuva 2. Opiskelijan piirros Augustus De Morganista, joka johtaa luokkaa University College Londonissa. (Tämä kuva MS ADD 7 käytetään tässä lajiluvalla UCL kirjastopalvelut, Erikoiskokoelmat.)
De Morganin tekstit olivat yhtä erinomaisia kuin hänen opetuksensa. Yli sata vuotta myöhemmin ne olisivat edelleen erinomaisia opetussuunnitelmamalleja. Aiheet hänen tekstejä sisältyvät algebra, Trigonometria, differentiaali-ja integraalilaskennan calculus, calculus variaatioita, todennäköisyys, ja symbolinen logiikka. Kaikki tekstit ovat selkeitä, mielenkiintoisia ja täynnä hienoja esimerkkejä. Hänen parhaita julkaisujaan olivat essee todennäköisyyksistä (1838), Calculus (1842), Formal Logic (1847) ja Double Algebra (1849), jotka ennakoivat abstraktia algebraa. Kun hän ei ollut kovaa työtä hänen monia artikkeleita ja kirjoja—mukaan lukien kuudesosa artikkeleita kuuluisa Penny Cyclopaedia, jolle hän kirjoitti artikkelin, joka määritellään prosessi matemaattinen induktio-De Morgan vietti aikaa hänen kaksi suurta intohimoa: pelaa huilu ja kerätä harvinaisia matematiikan kirjoja. Jälkimmäinen harrastus auttoi häntä tulemaan asiantuntija hänen aikakautensa historian matematiikka.
vuonna 1837 Augustus De Morgan meni naimisiin Sofia Elisabet Frendin kanssa. Heidän kodistaan, jossa oli viisi lasta, tuli suuren ystäväpiirin keskus, joka kokoontui sinne jakamaan älyllisiä kiinnostuksen kohteita. Yksi Augustuksen ystävistä oli George Boole, joka yhdessä De Morganin kanssa oli uranuurtaja symbolisen logiikan kehittämisessä. De Morgan ’ s muodollinen logiikka (1847) meni paina samaan aikaan kuin Boole työtä Algebra logiikkaa. Molemmat teokset käsittelivät propositionaalista calculus.
De Morgan muistetaan ehkä parhaiten” De Morganin laeista”, kahdesta toisiinsa liittyvästä teoreemasta symbolisessa logiikassa ja joukko-opissa.
symbolinen logiikka: \
joukko-oppi: \
Augustus De Morgan tulisi muistaa, kuten kaikki innostavat opettajat, siitä syvästä vaikutuksesta, joka hänellä oli oppilaisiinsa; heidän joukossaan olivat Isaac Todhunter (1820-1884) ja James Joseph Sylvester (1814-1897). Hän myös ohjattu Ada Lovelace (1815-1852), ja kannusti häntä kehittämään hänen matemaattisia kykyjä; hän tunsi hän oli ylivoimainen matemaattinen lahjakkuus verrattuna useimmat naiset. Hän oli kannustava voima kehityksen matematiikan ja matematiikan opettajien, liikkeellepaneva voima kehityksen looginen perusta matematiikan, ja kannattaja nykyaikaistamiseen calculus. Vaatimaton mies, hän karttoi kunniatohtori astetta, jäsenyys Royal Society, ja poliittinen ja uskonnollinen pikkumaisuus. Hänen elämänsä oli omistettu hänen perheelleen, hänen ystävilleen ja hänen oppilailleen.
Huom: Maull & Polyblankin Lontoon valokuvausstudio perustettiin vuonna 1854. Studio erikoistui kuuluisien henkilöiden muotokuviin. Heidän merkittävin teoksensa, Valokuvamuotokuvat elävistä julkkiksista, julkaistiin osissa vuosina 1856-1859. Se koostui neljästäkymmenestä yksittäisestä muotokuvasta elämäkertoineen, jotka annettiin tilaajille ja jotka Tilaaja sitoi yhteen niteeseen sen jälkeen, kun kaikki osat oli toimitettu; tämä oli tuohon aikaan suosittu käytäntö. Muotokuvat julkaistiin myös kaiverruksina ”Illustrated London News” – lehdessä. Palaa lyhyt elämäkerta De Morgan.
kuva 3. De Morganin essee todennäköisyyksistä (1838). (Toht. Sid Kolpas)
De Morganin algoritmi kokonaislukujen faktorien Likiarvoksi
Faktoreilla on tärkeä rooli todennäköisyyslaskennassa, erityisesti permutaatioissa ja yhdistelmissä. Aikana 19 th century, ilman laskentaa laitteita, nämä factorials oli vaikea laskea suuria kokonaislukuja. Hänen essee todennäköisyyksistä, De Morgan esitteli algoritmi kuvattu kuvassa 4, alla, likimääräinen \(n!,\) missä \(n\) on kokonaisluku. Huomaa, että \ ( \ ) on De Morganin notaatio ”\(n\) factorial” tai \(n!.\ ) Niinpä kuvan 4 ensimmäisessä kappaleessa, kun De Morgan kirjoitti ”,” hän tarkoitti tietyn positiivisen kokonaisluvun faktoria.
Kuva 4. De Morganin ohjeet approksimoida \(n!\ ) s. 15-16 hänen esseensä todennäköisyyksistä (Google Books)
Stirlingin likiarvo \(n!,\) missä \(n\) on kokonaisluku, löysi skotlantilainen matemaatikko James Stirling (1692-1770). Stirling julkaisi tärkeimmän teoksensa ”Methodus Differentialis” vuonna 1730. Tämä teos käsittelee ääretön sarja, yhteenlasku, interpolointi, ja quadrature. Seuraava kaava \(n!,\), josta Stirling on tullut tunnetuksi, esiintyy Methodus Differentialis-teorian Proposition 28 esimerkissä 2. Stirlingin approksimaation mukaan \
De Morganin algoritmi antoi vaiheittaiset ohjeet approksimaation laskemiseksi \(n!\ ) annettu Stirlingin kaavalla.
kuva 5. Stirlingin Methodus Differentialis (Google Books)
– julkaisun nimilehti viittaa De Morganin algoritmiin approksimoida \(n!\ ) ja toteaa, että \(0.4342945\) on approksimaatio arvolle \(\log_{10} e,\) ja \(0.7981799\) on approksimaatio arvolle \(\log_{10}(2\pi),\) meillä on:
- otetaan luvun \(n\) 10 logaritmin kantaluku ja vähennetään siitä \(0.4342945\): \(\log n – \log e = \log \left(\frac{n}{e}\right).\)
- kerro tulos \(n\): \(n\log \left(\frac{n}{e}\right)= \log \left(\frac{n}{e}\right)^n.\)
- to \(\log n\) add \(0.7981799\): \(\log n + \log 2\pi = \log 2n\pi.\)
- ota puolet tästä summasta: \({\frac{1}{2}}\log 2n\pi = \log \sqrt{2n\pi}.\)
- lisää 2. ja 4. vaiheen tulokset: \
- koska \(\log n!\sim \log \sqrt{2n\pi}\left(\frac{n}{e}\right)^n,\) then \(n!\sim \sqrt{2n\pi}\left(\frac{n}{e}\right)^n,\), joka on Stirlingin kaava.
- tämä likiarvo \(n!\ ) on hieman liian pieni; parantaaksesi sitä, lisää \({\frac{1} {12N}}\) siitä itseensä: \
a Letter of De Morgan Concerning History of Mathematics
As noted above, Augustus De Morgan was a frequent contributor to the Penny Cyclopaedia, contributing over 700 articles to the 27 volumes of the Cyclopaedia, joka julkaistiin 1828-1843.
kuva 6. The Penny Cyclopaedia, Volume 26, sisältää artikkelin De Morgan noin Intian matemaattinen teksti Viga Ganita. (Google Books)
yksi De Morganin viimeisistä merkinnöistä Penny Cyclopaediassa oli artikkeli ”VIGA GANITA”, joka ilmestyi vuonna 1843 julkaistun Nide 26: n sivuilla 318-326 (helposti saatavilla Google Booksin kautta). De Morgan myönsi kirjoituksen alussa, että hän käsittelisi paljon muutakin kuin 1100-luvun intialaisen matemaatikon ja tähtitieteilijän Bhascaran algebrasta kertovaa Viga Ganitaa (translitteroitu useimmiten bījagaṇitaksi tai bīja-gaṇitaksi), jonka uskottiin pitkään asuneen ja työskennelleen kuuluisassa tähtitieteellisessä observatoriossa Ujjainissa. De Morgan kirjoittikin, että hänen suunnitelmansa oli hyödyntää V-kirjaimen paikkaa lähellä aakkosten loppua kertoakseen viimeisimmästä stipendistä ”hindujen tähtitieteellisestä ja aritmeettisesta tieteestä” (s. 318). Odotus ei ehkä ollut sen arvoista, koska De Morganin oli kirjoitettava ”an account of the most singular extremes of opinion” (s. 318) – tarina, jossa tutkijat olivat hyvin erimielisiä, ja ainakin jotkut heistä olivat hänen mielestään melko puolueellisia.
tässä artikkelissa De Morgan esitti kolme mahdollisuutta intialaisen tähtitieteilijän ja matemaatikon Varāhamihiran identiteetille ja vuosisadalle, joka kiinnosti häntä, koska (p. 320):
hindulaisten tähtitieteilijöiden eniten siteeraamat kirjailijat kantavat Varaha-mihiran ja Brahmeguptan nimiä.
nykyään uskotaan, että Varāhamihira eli 500-luvulla ja Brahmagupta 600-luvulla. Molempien ajateltiin pitkään asuneen ja työskennelleen ujjainissa kuuluisassa tähtitieteellisessä observatoriossa, samoin kuin Bhaskara II vuosisatoja myöhemmin. Kuitenkin, kuten historioitsija Intian tähtitieteen ja matematiikan Kim Plofker raportoi hänen 2009 kirjassaan, Mathematics in India, ei ole todisteita siitä, että kukaan kolmesta astronomers asui Ujjain tai että siellä oli jopa tähtitieteellinen observatorio (s. 318-319, 326).
De Morgan kuitenkin tiesi vuonna 1843, että arvostettu Indologi Henry Thomas Colebrooke ja ”ujeinin tähtitieteilijät” sopivat Varāhamihiran (ja Brahmaguptan) ajankohdista, mutta että toiset sijoittivat Varāhamihiran vuosisatoja aikaisemmin tai myöhemmin (”VIGA GANITA”, S. 320):
Colebrooke päättelee tähtitieteellisistä tiedoistaan, että Varaha-mihira kirjoitti 400-luvun lopulla, mikä on myös ujeinin tähtitieteilijöiden hänelle määräämä päivämäärä. … On olemassa toinen Varaha-mihira, jolle sama tähtitieteilijät paikka vuonna 200 jKr. Mutta suosittu perimätieto sijoittaa Varaha-mihiran Vikramadytian aikaan (EKR. 56) ja nimeää, kuten jäljempänä on huomattu, useita hänen aikalaisiaan.
Colebrooke kuoli vuonna 1837. Hänen suojattinsa Horace Hayman Wilson oli tullut ensimmäinen Bodenin sanskritin professori Oxfordin yliopistossa vuonna 1832; kuten alla olevasta kuvasta 7 kuitenkin ilmenee, Wilson oli kirjoittanut vuonna 1835, että Varāhamihira eli ensimmäisellä vuosisadalla eaa.
Kuva 7. Wilsonin kirjasta A Manual of Universal History and Chronology, for the Use of Schools (1835), s.25, kpl 43. Tänne Wilson sijoitti Varāhamihiran 56 eaa tai hieman myöhemmin. Wilsonin ” Ougeinista ”tuli De Morganin artikkelissa” Ujein”, ja nykyään se tunnetaan nimellä Ujjain. (Google Books)
seuraavassa De Morganin Wilsonille lähettämässä kirjeessä De Morgan yritti vahvistaa Wilsonin uskomuksia Varāhamihiran identiteetistä ja vuosisadasta, luultavasti Penny Cyclopaedia-artikkelinsa vuoksi ennen sen julkaisua.
Kuva 8. Augustus De Morganin kirje H. H. Wilsonille. Huomaa, että De Morganin allekirjoitus kirjeen lopussa on sama kuin kuvassa 1 olevassa käyntikortissa. (Toht. Sid Kolpas)
transkriptio De Morganin kirjeestä
Sir
monien anteeksipyyntöjen kera, jotka vaivaavat teitä, jotka olen teille täysin tuntematon, otan vapauden esittää teille kysymyksen historiankäsikirjastanne, teoksesta, jota olen usein kysynyt itämaisista päivämääristä ja jota olen noiden samojen päivämäärien mukavuuden vuoksi suositellut hyödylliseksi matemaattisen historian opiskelijalle siinä traktaatissa, jonka liitteenä pyydän hyväksyntä.
sivu 25 43 . Pidättekö Varaha-Mihiraa tuon nimen tähtitieteellisenä kirjoittajana, tai sitä, jonka ikää Colebrooke käsittelee, ja jota Bentley ja delambren mainitsema ranskalainen kirjailija pitävät (vastoin Colebrookin mielipidettä, kuten olen ymmärtänyt) Surya Siddhantan kirjoittajana : Vai luuletteko, että on melko todennäköistä, että hän on sama.
I remain Sir
your faith Servant
ADeMorgan
69 Gower Street
April 5, 1843
we don ’ t know if De Morgan received an answer from Wilson or, if niin, what it was. De Morganin viittaus” suosittuun perinteeseen ” Penny Cyclopaedia-lehden artikkelissaan Wilsonin nimen sijasta saattaa viitata siihen, että Wilson perääntyi väitteestään, jonka mukaan Varāhamihira eli noin vuonna 56 eaa.
muistiinpanoja De Morganin kirjeestä ja sen transkriptiosta
Huomautus 1. Universaalin historian ja ajanlaskun käsikirja koulujen käyttöön. H. H. Wilson, M. A., Bodenin Sanscritin professori, Oxford. Lontoo: Whittaker, 1835. Wilson oli Colebrooken suojatti (KS.Huomautus 4, alla) ja hänestä tuli Oxfordin yliopiston ensimmäinen Bodenin sanskritin professori vuonna 1832.
Huom.2. Edellä olevassa kuvassa 7 esitetään H. H. Wilsonin kirjan A Manual of Universal History and Chronology, for the Use of Schools sivulla 25, kappaleessa 43.
Huom. 3. Varāhamihira (505-587) oli intialainen tähtitieteilijä, matemaatikko ja astrologi.
Huom. 4. Henry Thomas Colebrooke (1765-1837) oli englantilainen Indologi, joka oli kiinnostunut erityisesti uskonnosta, kielitieteestä ja tähtitieteestä. De Morgan kirjoitti Cyclopaedia-artikkelissaan ” Mr. Colebrooke oli yksi arvostetuimmista Sanscrit-tutkijoista, väsymätön Intialainen Antikvariaatti ja enemmän kuin hyvin perillä matematiikassa ja tähtitieteessä” (s. 319). Kun menojen yli 30 vuotta (1783-1814) Intiassa, Colebrooke palasi Englantiin, jossa hän julkaisi algebran, aritmeettinen ja Mensuration, mistä Sanscrit, Brahmegupta ja Bhascara (Lontoo, 1817) ja oli mukana perustamassa sekä Royal Astronomical Society vuonna 1820 ja Royal Asiatic Society vuonna 1823.
Huom. 5. John Bentley oli englantilainen Indologi, josta De Morgan kirjoitti halventavasti ”VIGA GANITA” – artikkelissaan. Jean Baptiste Joseph Delambre (1749-1822) oli kuuluisa ranskalainen tähtitieteilijä, joka myös kirjoitti kirjoja tähtitieteen historiasta antiikin ajoista 1700-luvulle.
Huom. 6. Sūrya-Siddhānta, tähtitieteen käsikirja, joka käsittelee Siniä, kosinia ja tangenttia, oli yksi Varāhamihiran vähemmän tunnetuista teoksista. Plofker (2009) sijoitti sūrya-Siddhāntan eli ”Auringon tutkielman” noin vuoteen 800 jaa, ”joka on muodostettu tai tarkistettu aiemmasta samannimisestä teoksesta …. Tämä varhaisempi Sūrya-Siddhānta on osittain säilynyt ” 500-luvulla ilmestyneessä teoksessa Varāhamihira (s. 71).
palaa de Morganin kirjeen transkriptioon
Augustus De Morgan. Paradoksien budjetti. Lontoo: Longmans, Green and Company, 1872.
Augustus De Morgan. Essee Todennäköisyyksistä. Lontoo: Longman, Orme, Brown, Green ja Longman ja John Taylor, 1838.
,” Viga Ganita”, Penny Cyclopaedia of the Society for the Diffusion of usual Knowledge, vol. 26 (1843), s.318-326.
Sophia De Morgan. Augustus De Morganin muistelmat. Lontoo: Longmans, Green and Company, 1882.
James Essinger. Adan algoritmi: Miten lordi Byronin tytär Ada Lovelace käynnisti digiajan. Lontoo: Gibson Square Ltd., 2014.
J. Paul Getty Museum. ”Maul ja Polyblank.”
http://www.getty.edu/art/collection/artists/1214/maull-polyblank-british-active-1850s-1860s/
Victor Katz. A History of Mathematics: An Introduction (3rd ed.). Boston: Addison-Wesley, 2009.
New World Encyclopedia contributors, ”Henry Thomas Colebrooke”, New World Encyclopedia, päivitetty viimeksi 24. helmikuuta 2009.
http://www.newworldencyclopedia.org/p/index.php?title=Henry_Thomas_Colebrooke&oldid=935378
J. J. O ’ Connor ja E. F. Robertson. ”Augustus De Morgan”, MacTutor History of Mathematics Archive, 1996.
http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/De_Morgan.html
Kim Plofker. Matematiikka Intiassa. Princeton: Princeton University Press, 2009.
Adrian Rice. ”Mikä tekee suuren matematiikan opettajan? Augustus De Morganin tapaus.”American Mathematical Monthly. Vol. 106, Nro 6 (Kesä. Heinäkuuta., 1999), s.534-552.
Horace Hayman Wilson. Universaalin historian ja ajanlaskun käsikirja koulujen käyttöön. Lontoo: Whittaker and Co., 1835.
