se todella riippuu siitä, mitä ”äärettömyydellä”tarkoitetaan. Jos tarkoitat $ \ infty$, niin se ei ole luku, vaan pikakirjoitus käsitteelle, että jokin määrä (yleensä luonnollinen tai reaaliluku) kasvaa yli minkään äärellisen sidotun. Sellaisenaan sitä ei voi moninkertaistaa millään, eikä varsinkaan itse. On kuitenkin olemassa useita aritmeettisia järjestelmiä, joiden elementit ovat suurempia kuin mitkään äärelliset summat muodossa $1+1+\cdots +1$, ja siksi niitä on syytä kutsua äärettömiksi kooltaan. Kerron teille kolme niistä (hieman yksinkertaistettu, mutta toivottavasti ei suoraan virheellinen).
ensimmäinen on kardinaalit. Ne merkitsevät sitä, kuinka suuri jokin (joukko) on. Äärellinen kardinaali on vain luonnollinen luku (tarkoittaa ”joukon kokoa, jolla on niin monta alkuainetta”), mutta on olemassa myös ininiittisiä kardinaaleja. Pienin ääretön kardinaali on $\aleph_0$, natrual-lukujen joukon koko.
kardinaalien yhteenlasku toimii samalla tavalla kuin luulisi kokojen yhteenlaskun toimivan, eli asettaa kaksi joukkoa vierekkäin, ja laskea kuinka monta alkuainetta on yhteensä. Tarkemmin sanottuna, jos sinulla on kaksi kardinaalinumeroa $\kappa_1, \kappa_2$, joista kukin merkitsee kahden joukon kokoa $x_1, X_2$, niin kardinaali $\kappa_1+\kappa_2$ on hajanaisen unionin kardinaalisuus $X_1\sqcup X_2$, tai vastaavasti parien joukko $(x_i, i)$ missä $x_i \in X_i$ ja $I \in \{1, 2\}$.
kardinaalien kertolasku toimii seuraavasti: $\kappa_1\cdot\kappa_2$ on joukon koko $X_1\kertaa X_2$, parien joukko $x_1, x_2$ kanssa $x_1\x_1$ ja $x_2\x_2$. Jos suurin $\kappa_1$ ja $\kappa_2$ on ääretön, niin $\kappa_1+\kappa_2 = \kappa_1\cdot\kappa_2 = \max (\kappa_1, \kappa_2)$. Tämä tarkoittaa, että jos $\kappa$ on ääretön kardinaali, $\kappa^2 = \kappa$, niin saamme myös $\sqrt\kappa = \kappa$.
(voit myös määritellä eksponentit: $\kappa_1^{\kappa_2}$ on kaikkien mahdollisten funktioiden joukon koko muodossa $X_2$ – $X_1$. Esimerkiksi $2$ on kahden elementin joukko, joten $\kappa^2$ on funktioiden joukko kahden elementin joukosta $ \kappa$. Kahden elementin joukon funktio on sama kuin tilattu pari,joten tämä on itse asiassa sama kuin $\kappa\cdot \kappa$. Siistiä, vai mitä?)
toinen on ordinaalit. Ne merkitsevät esineiden järjestämistä. Eivät kuitenkaan kaikki järjestykset, vaan järjestykset, joissa millä tahansa osajoukolla on pienin osa, niin sanotut hyvin järjestetyt. Jälleen äärellinen ordinaali on vain luonnollinen luku (tarkoittaa ”kaikkien pienempien luonnollisten lukujen järjestystä”), mutta aivan kuten viimeksi, on olemassa äärettömiä ordinaaleja, joista pienintä kutsutaan nimellä $\omega_0$, tai vain $\omega$, ja se merkitsee luonnollisten lukujen järjestystä.
Ordinaalien yhteenlasku tapahtuu seuraavasti:jos $\gamma, \lambda$ ovat ordinaaleja, niin $\gamma + \lambda$ on tilaus, joka saadaan asettamalla $\gamma$ eteen $\lambda$. Esimerkiksi $1 + \omega$ on sama kuin $\omega$, koska jos otat luonnolliset luvut, ja laitat yhden elementin niiden kaikkien eteen, sinulla on jotain, joka tilaamisen osalta näyttää täsmälleen samalta kuin luonnolliset luvut itse. Kuitenkin $\omega + 1$ tarkoittaa yhden elementin asettamista kaikkien luonnollisten lukujen jälkeen, mikä on eri järjestyksessä.
kertolasku toimii seuraavalla tavalla: $\gamma\cdot \lambda$ on järjestysnumero, jonka saamme ottamalla $\lambda$, korvaamalla jokainen alkio tuossa järjestyksessä kopiolla $\gamma$, ja sitten lisätään ne kaikki tässä järjestyksessä (ts. laita ne toisensa jälkeen) (määritämme, että työskentelet tiesi vasemmalta oikealle). Tällä tavalla $2\cdot \ omega$ tarkoittaa luonnollisten lukujen ottamista, vaihtaen jokaisen numeron siellä kahdelle numerolle ja laittaen sitten kaikki nämä parit toisensa jälkeen. Tämä antaa meille $ \ omega$ takaisin. Kuitenkin, $\omega\cdot 2$ tarkoittaa ottaa tilattu pari, vaihtaa molemmat kaksi elementtiä kopio luonnollisia lukuja, ja sitten laittaa yksi kopio toisensa jälkeen. Tämä on sama kuin saisit laskemalla $ \ omega + \ omega$.
tässä kehyksessä äärettömien ordinaalien kerto-ja yhteenlasku ei ole yhtä triviaalia kuin kardinaalien. Saamme esimerkiksi $\omega\cdot \omega = \omega + \omega + \omega + \omega + \ cdots $, joka on pienin ääretön täydellinen neliö ordinaali. Kuten luonnollisilla luvuilla itsellään, on myös joitakin ordinaaleja, joilla on neliöjuuri, ja joitakin, joilla ei ole. Tarkemmin sanottuna $\omega$: lla ei ole neliöjuurta.
(eksponentit voidaan määritellä myös ordinaaleille: Tässä tapauksessa $\gamma^\lambda$ on järjestysnumero, jonka saamme, jos otamme $\lambda$, korvaamme sen jokaisen elementin $\gamma$ kopioilla ja kerromme ne kaikki yhdessä, aivan kuten kertolasku määriteltiin toistuvaksi yhteenlaskuksi. Tämä tekee $\omega^2 = \omega\cdot \ omega$. Siistiä, vai mitä? Huomaa, että vaikka ordinaalinen ja kardinaalinen yhteenlasku ja kertolasku ovat jokseenkin samanlaisia, niiden eksponentiaation käsitteet ovat hyvin erilaisia.)
lopuksi kerron surrealistisista luvuista. Vaikka ordinaalit ja kardinaalit ovat joukko-opissa kovassa käytössä, surrealistiset luvut ovat enemmänkin kuriositeetti. Niiden ympärille on myös hieman vaikeampi kietoutua. Pidän kuitenkin niistä todella, joten tässä on lyhyt yhteenveto.
surrealistinen luku $x$ koostuu järjestetystä joukosta, joka on kirjoitettu $\langle L_x\mid R_x \ rangle$, jossa $l_x$ kutsutaan vasenta joukkoa $x$ ja $R_x$ kutsutaan oikeaa joukkoa. Nämä molemmat joukot koostuvat muista surrealistisista luvuista, joiden vaatimuksena on, että jos $x_l \in L_x$ ja $x_r\in R_x$, niin meillä on $x_l < x_r$. $x$ merkitsee tällöin surrealistista lukua $L_x$ ja $R_x$ välillä (ensimmäinen tällainen luku sukupolvensa mukaan, katso alla). Järjestys määritellään seuraavasti: annetaan kaksi surrealistista lukua $x = \langle L_x\mid R_x\rangle, y = \langle L_y\mid R_y\rangle$ sanomme, että $x \leq y$ iff molemmat seuraavat ovat totta:
- ei ole $x_l\in L_x$ siten, että $y \leq x_l $
- ei ole $y_r\in R_y$ siten, että $y_r\leq x$
(huomaa, että arvioidaksesi $y \leq x_l$ ja $y_r\leq x$, sinun on sovellettava samaa määritelmää uudelleen. Tämä käy käytännössä hyvin tylsäksi kaikille paitsi yksinkertaisimmille numeroille. Tämä rekursiivinen käsite tulee takaisin yhteen-ja kertolaskua määriteltäessä.)
itse asiassa en ollut aiemmin aivan totuudenmukainen. Surrealistinen luku on vastaavuusluokka tällaisten parien (tämä on mitä kesti kauan todella arvostaa). Paria itseään kutsutaan surrealistiseksi lukumuodoksi. Kaksi muotoa $x, y$ kuuluvat samaan ekvivalenssiluokkaan iff $x\leq y$ ja $y\leq x$.
jokaisella surreaaliluvulla on ns. Ensimmäinen surrealistinen luku (generation $0$) on $0 = \langle {}\mid{} \rangle$, jossa vasen ja oikea joukko ovat tyhjiä. Kaksi seuraavaa surrealistista lukua (generation $1$) ovat $1 = \langle0\mid{}\rangle$ ja $-1 = \langle{}\mid 0\rangle$. Generation $2$ koostuu $ -2 = \langle{}\mid -1\rangle$, $ – \frac12 = \langle -1\mid 0\rangle$, $\frac12 = \langle 0\mid 1\rangle$ ja $2 = \langle 1\mid{}\rangle$.
tässä näemme ekvivalenssiluokat työssä, koska meillä on myös $2 = \langle -1, 0, 1\mid {} \rangle$, ja meillä on esimerkiksi $0 = \langle -2\mid 1\rangle$, koska vaikka $-1$, $\frac12$ ja $-\frac12$ ovat myös välillä $-2$ ja $1$, $0$ kuuluu aikaisempaan sukupolveen. Voit tarkistaa, että meillä on todellakin $\langle -2\mid 1\rangle\leq \langle {}\mid {}\Langle$ ja samalla $\langle {}\mid{}\rangle \leq \langle -2\mid 1\rangle$, vaikka sama ei pidä paikkaansa, jos vaihdamme $\langle {}\mid{}\rangle$ hintaan $\langle 0\mid 1\rangle$.
jatkamme hienompien ja hienompien jakojen tekemistä kaikissa äärellisissä sukupolvissa, jokainen luku, joka esiintyy muodossa $\frac a{2^b}$, dyadinen murtoluku, kunnes pääsemme ensimmäiseen äärettömään sukupolveen, $\omega$ (Kyllä, sukupolvet ovat ordinaaleja), jossa kaikki reaaliluvut yhtäkkiä ponnahtavat esiin (esimerkiksi $\sqrt 2 = \langle 1, \frac{5}{4}, \frac{11}{8}, \ldots{}\mid {}\ldots,\frac{12}{8}, \frac{3}{2}, 2\rangle$). Saamme myös ensimmäisen äärettömän ordinaalin, $ \omega$ itse, kuten $\langle 1, 2, 3,\ldots{}\mid{}\rangle$, ja sen vastavuoroisen $\frac1\omega = \Langle {}\mid {}\ldots \frac18,\frac14,\frac12, 1\rangle$.
toistaiseksi en ole puhunut aritmetiikasta. Ilman sitä, ei ole mitään syytä soittaa $\langle 0\mid 1 \ rangle$ $\frac12$ eikä mitään muuta. Koska $x = \langle L_x\mid R_x\rangle$ ja $y = \langle L_y\mid R_y\rangle$, yhteenlasku määritellään rekursiivisesti $ $x + y = \langle \{x + y_l: y_l \in l_y\}\cup \{x_l + y:x_l\in L_x\} \mid \ {x + y_r: y_r \in R_y\}\cup \{x_r + y:X_r\in R_x\}\rangle$$kertolasku on hieman sotkuisempaa, joten käytän hieman pikakirjoitusta:$$xy = \langle \{x_ly + xy_l – x_ly_l\}\cup\{x_ry + xy_r – x_ry_r\}\mid \{x_ly + xy_r – x_ly_r\}\cup\{x_ry + xy_l – x_ry_l\}\rangle$$missä vähennyslasku on määritelty kuten voisi odottaa, kieltämällä oikea luku ja lisäämällä. Negating tehdään negating jokainen elementti oikealla ja vasemmalla asetetaan, ja swap kaksi ympäri.
aivan kuten ordinaalien kohdalla, $\omega^2 = \omega\cdot \ omega$ on täydellinen neliö. Tässä tulee kuitenkin hauska osa: millä tahansa positiivisella surrealistisella numerolla on neliöjuuri. Saadaksemme neliöjuuri $\omega$, meidän täytyy niin joitakin enemmän määritelmiä (teoriassa yksi voisi, ja pitäisi, perustella jokainen näistä nimistä suorittamalla yhteenlasku ja kertolasku nähdä, että saat mitä sinun pitäisi, mutta se on paljon työtä):$$\omega – 1 = \langle 1, 2, 3,\ldots\mid \omega\rangle\\\omega – 2 = \langle 1, 2, 3,\ldots\mid \omega – 1\rangle\\\omega – 3 = \langle 1, 2, 3,\ldots\mid \Omega – 2\rangle\\\vdots$$ja sitten saamme $\frac\omega2 = \Langle 1, 2, 3,\ldots \mid\ldots, \omega – 3, \omega – 2, \Omega – 1\rangle$. Vastaavasti voimme määritellä $\frac\omega2-1, \frac\omega2 – 2$ ja niin edelleen, ja saamme $\frac\omega4 = \langle 1, 2, 3, \ldots\mid \ldots, \frac\omega2-3,\frac\omega2 – 2,\frac\omega2-1\rangle$. Sitten voimme määritellä $\frac\omega8, \frac \ omega{16}$ ja niin edelleen. Lopuksi saamme $\sqrt\omega = \langle 1, 2, 3, 4,\ldots\mid \ldots,\frac\omega8,\frac\omega4,\frac\omega2,\omega\rangle$. Olemme nyt generation $\omega^2$.
