seuraava on Joseph Mazurin uudesta kirjasta What ’ s Luck got to Do with It?:
…on autenttisesti todennettu tarina, että joskus 1950-luvulla Monte Carlossa pyörästä tuli jopa kaksikymmentäkahdeksan kertaa peräkkäin. Sen todennäköisyys on lähellä 268 435 456: 1. Monte Carlon päiväkohtaisten vallankaappausten määrän perusteella tällainen tapahtuma tapahtuu todennäköisesti vain kerran viidessäsadassa vuodessa.
Mazur käyttää tätä tarinaa vahvistaakseen väitteen, jonka mukaan ainakin aivan viime aikoihin asti monet rulettipyörät eivät olleet lainkaan oikeudenmukaisia.
jos matematiikka on oikein (tarkistamme sen myöhemmin), Löydätkö virheen hänen argumentistaan? Seuraava esimerkki auttaa.
todennäköisyys heittää noppaa kaksinkertaistuu
Kuvittele, että ojennat noppaparin jollekulle, joka ei ole koskaan elämässään heittänyt noppaa. Hän käärii ne ja saa tuplavitoset ensimmäisellä rullallaan. Joku sanoo: ”Hei, aloittelijan tuuria! Miten todennäköistä se on ensimmäisellä heitolla?”
No, mitä ne ovat?
tässä on kaksi vastausta, joista toinen on paljon parempi kuin toinen.
ensimmäinen menee näin. Kertoimet liikkuvan viisi yhdellä kuolee ovat 1: 6; noppaa ovat riippumattomia, joten kertoimet liikkuvan toiset viisi ovat 1: 6; siksi kertoimet liikkuvan tuplavitoset ovat
$$(1/6)*(1/6) = 1/36$$.
1 / 36.
tällä logiikalla Uusi pelaajamme teki juuri jotain aika epätodennäköistä ensimmäisellä heitollaan.
mutta hetkinen. Eikö mikään nelinpelipari olisi ollut yhtä” vaikuttava ” ensimmäisellä heitolla? Meidän pitäisi laskea tuplauksen todennäköisyys, ei välttämättä vitosta. Miten todennäköistä se on?
koska mahdollisia nelinpelipareja on kuusi, ei vain yksi, voimme vain kertoa kuudella saadaksemme 1/6. Toinen helppo tapa laskea se: Ensimmäinen kuolema voi olla mitä tahansa. Mikä on todennäköisyys, että toinen die vastaa sitä? Yksinkertainen: 1: 6. (Sillä, että noppaa heitetään samanaikaisesti, ei ole merkitystä laskennan kannalta.)
ei aivan niin merkillistä, eihän?
jostain syystä monilla on vaikeuksia ymmärtää tuota käsitettä. Mahdollisuudet liikkuvan nelinpelin yhden heiton pari noppaa on 1: 6. Ihmiset haluavat uskoa, että se on 1: 36, mutta se on vain, jos täsmennetään, mitkä nelinpeliparit on heitettävä.
nyt tarkastellaan uudelleen ruletin ”anomaliaa”
tämä sama virhe saa Joseph Mazurin virheellisesti päättelemään, että koska rulettipyörä ilmestyi jopa 28 kertaa putkeen vuonna 1950, se oli hyvin todennäköisesti epäreilu pyörä. Katsotaan, missä hän meni vikaan.
eurooppalaisella rulettipyörällä on 37 paikkaa. 18 on parillinen, 18 on pariton, ja yksi on 0, jota oletan ei lasketa joko parillinen tai pariton tässä.
joten reilulla pyörällä parillisen luvun todennäköisyys on 18/37. Jos kierrokset ovat riippumattomia, voimme moninkertaistaa yksittäisten pyöräytysten todennäköisyydet saadaksemme yhteistodennäköisyydet, joten kahden suoran tasapelin todennäköisyys on silloin(18/37)*(18/37). Jatkuvat tällä tavalla, laskemme mahdollisuudet saada 28 peräkkäistä parillinen numerot olla $$(18/37)^{28}$$.
osoittautuu, että tästä saadaan luku, joka on suurin piirtein kaksi kertaa niin suuri (eli tapahtuma kaksi kertaa harvinaisempi) kuin Mazurin laskelma osoittaisi. Mistä ero johtuu?
tässä Mazur onnistui: Hän myöntää, että juoksu 28 peräkkäistä pariton numerot olisi yhtä mielenkiintoinen (ja on yhtä todennäköistä) kuin ajaa tasoihin. Jos 28 kerrointa olisi tullut, sekin olisi päässyt hänen kirjaansa, koska se olisi lukijalle aivan yhtä poikkeuksellista.
näin hän tuplaa laskemamme todennäköisyyden ja kertoo, että 28 tasatilannetta peräkkäin tai 28 kerrointa peräkkäin pitäisi tapahtua vain kerran 500 vuodessa. Hieno.
mutta entä 28 punaista peräkkäin? Tai 28 mustaa?
tässä on ongelma: hän ei kerro useista muista tapahtumista, jotka olisivat yhtä kiinnostavia. Kaksi itsestään selvää, jotka tulevat mieleen, ovat 28 punaista peräkkäin ja 28 mustaa peräkkäin.
ratissa on 18 mustaa ja 18 punaista (0 on vihreä). Joten todennäköisyydet ovat samat kuin edellä, ja meillä on nyt kaksi muuta tapahtumaa, jotka olisivat olleet niin merkittäviä, että olisimme ihmetelleet, oliko pyörä puolueellinen.
joten nyt kahden tapahtuman (28 kerrointa tai 28 tasoitusta) sijaan meillä on nyt neljä tällaista tapahtumaa. On siis lähes kaksi kertaa todennäköisempää, että sellainen tapahtuisi. Siksi yksi näistä tapahtumista pitäisi tapahtua noin 250 vuoden välein, ei 500. Hieman vähemmän merkittävä.
entä muut epätodennäköiset tapahtumat?
entä 28 numeron juoksu, joka vuorotteli täsmälleen koko ajan, kuten parillinen-pariton-pariton-pariton tai punainen-musta-punainen-musta? Luulen, että jos yksi näistä olisi tapahtunut, Mazur olisi ollut yhtä innoissaan sisällyttää se hänen kirjassaan.
nämä tapahtumat ovat aivan yhtä epätodennäköisiä kuin muutkin. Olemme nyt lähes kaksinkertaistaneet merkittävien tapahtumien määrän, – mikä saa meidät osoittamaan rikkinäisen pyörän syylliseksi. Nyt niitä on niin paljon, että sellainen pitäisi tapahtua 125 vuoden välein.
lopuksi on syytä ajatella, että Mazur muistelee menneitä vuosia, kun hän huomauttaa tästä yhdestä näennäisesti poikkeuksellisesta tapahtumasta, joka tapahtui. Jos se olisi tapahtunut välillä 1900 ja nykyinen, veikkaan Mazur olisi katsonut, että viime tarpeeksi sisällyttää todisteena hänen kohta, että ruletti pyörät olivat puolueellinen ei liian kauan sitten.
se on 110 vuoden aikaikkuna. Onko sitten niin yllättävää, että tuon suuren ikkunan aikana tapahtui jotain, mitä pitäisi tapahtua noin 125 vuoden välein? En oikeastaan.
hieman epätodennäköinen ehkä, mutta ei mitään sellaista, joka vakuuttaisi ketään pyörän epäreiluudesta.
