Qu’est-ce qu’une Ondelette ?
Une ondelette est une forme d’onde de durée effectivement limitée qui a une valeur moyenne de zéro et de norme non nulle.
De nombreux signaux et images d’intérêt présentent un comportement lisse ponctué de transitoires. Les signaux vocaux sont caractérisés par de courts éclats codant des consonnes suivis d’oscillations à l’état stationnaire indiquant les voyelles. Les images naturelles ont des bords. Les séries chronologiques financières présentent un comportement transitoire, qui caractérise les retournements et les ralentissements rapides des conditions économiques. Contrairement à la base de Fourier, les bases d’ondelettes sont aptes à représenter de manière éparse des signaux et des images réguliers par morceaux, qui incluent un comportement transitoire.
Comparez les ondelettes aux ondes sinusoïdales, qui sont la base de l’analyse de Fourier. Les sinusoïdes n’ont pas de durée limitée — elles s’étendent de moins à plus l’infini. Alors que les sinusoïdes sont lisses et prévisibles, les ondelettes ont tendance à être irrégulières et asymétriques.
L’analyse de Fourier consiste à décomposer un signal en ondes sinusoïdales de différentes fréquences. De même, l’analyse par ondelettes est la décomposition d’un signal en versions décalées et mises à l’échelle de l’ondelette d’origine (ou mère).
Juste en regardant des images d’ondelettes et d’ondes sinusoïdales, vous pouvez voir intuitivement que les signaux avec des changements brusques pourraient être mieux analysés avec une ondelette irrégulière qu’avec une sinusoïde lisse.
Il est également logique que les caractéristiques locales puissent être mieux décrites avec des ondelettes ayant une étendue locale. L’exemple suivant l’illustre pour un signal simple constitué d’une onde sinusoïdale à discontinuité.
Localiser la discontinuité dans une onde sinusoïdale
Cet exemple montre que l’analyse en ondelettes peut localiser une discontinuité dans une onde sinusoïdale.
Créer une onde sinusoïdale de 1 Hz échantillonnée à 100 Hz. La durée de l’onde sinusoïdale est d’une seconde. L’onde sinusoïdale a une discontinuité à t = 0,5 seconde.
t = linspace(0,1,100)';x = sin(2*pi*t);x1 = x-0.15;y = zeros(size(x));y(1:length(y)/2) = x(1:length(y)/2);y(length(y)/2+1:end) = x1(length(y)/2+1:end);stem(t,y,'markerfacecolor',); xlabel('Seconds'); ylabel('Amplitude');
Obtenez la transformée en ondelette discrète non déterminée de l’onde sinusoïdale en utilisant l’onde 'sym2' et tracez les coefficients d’onde (détail) avec le signal d’origine.
= swt(y,1,'sym2');subplot(211)stem(t,y,'markerfacecolor',); title('Original Signal');subplot(212)stem(t,swd,'markerfacecolor',);title('Level 1 Wavelet Coefficients');
Comparez les grandeurs du coefficient de Fourier pour l’onde sinusoïdale de 1 Hz avec et sans la discontinuité.
dftsig = fft();dftsig = dftsig(1:length(y)/2+1,:);df = 100/length(y);freq = 0:df:50;stem(freq,abs(dftsig));xlabel('Hz'); ylabel('Magnitude');legend('sine wave','sine wave with discontinuity');
Il y a une différence minimale dans les grandeurs des coefficients de Fourier. Étant donné que les vecteurs de base de Fourier discrets ont un support sur tout l’intervalle de temps, la transformée de Fourier discrète ne détecte pas la discontinuité aussi efficacement que la transformée en ondelettes.
Comparez les coefficients d’ondelettes de niveau 1 pour l’onde sinusoïdale avec et sans la discontinuité.
= swt(x,1,'sym2');subplot(211)stem(t,swd); title('Sine Wave with Discontinuity (Wavelet Coefficients)');subplot(212)stem(t,swdx); title('Sine Wave (Wavelet Coefficients)');
Les coefficients d’ondelettes des deux signaux montrent une différence significative. L’analyse en ondelettes est souvent capable de révéler des caractéristiques d’un signal ou d’une image que d’autres techniques d’analyse manquent, comme les tendances, les points de rupture, les discontinuités dans les dérivées supérieures et l’auto-similitude. De plus, comme les ondelettes offrent une vision des données différente de celles présentées par les techniques de Fourier, l’analyse en ondelettes peut souvent comprimer ou dénouer de manière significative un signal sans dégradation appréciable.
