Molte funzioni nelle applicazioni sono costruite da funzioni semplici inserendo costanti in vari punti. È importante capirel’effetto che tali costanti hanno sull’aspetto del grafico.
Spostamenti orizzontali. Se sostituiamo $x$ di $x-C$ ovunque itoccurs nella formula per $f(x)$, quindi il grafico turni $C$ per theright. (Se C C is è negativo, significa che il grafico si sposta su left| C / left a sinistra. Per esempio, il grafico di $y=(x-2)^2$ è$x^2$-parabola spostata su ha il suo vertice nel punto 2 della$x$-asse. Il grafico di $y=(x+1)^2$ è la stessa parabola è passato alla sinistra in modo da avere il suo vertice a $-1$ su $x$-asse. Nota bene: quando si sostituisce x x by con x x-C must dobbiamo prestare attenzione al significato, non all’aspetto puramente. A partire da $y=x^2$ e, letteralmente, la sostituzione di $x$di $x-2$ dà $y=x-2^2$. Questo è y y=x-4$, una linea con pendenza 1, non una parabola rialzata.
Spostamenti verticali. Se sostituiamo $y$ di $y-D$, quindi il graphmoves fino a $D$ unità. (Se D D is è negativo, significa che il grafomuove le unità down|D| units.) Se la formula viene scritta nella forma$y=f(x)$ e se $y$ è sostituita da $y-D$ per ottenere $y-D=f(x)$, abbiamo canequivalently spostare $D$ per l’altro lato dell’equazione e scrivere$y=f(x)+D$. Quindi, questo principio può essere indicato: per ottenere thegraph di $y=f(x)+D$, prendere il grafico di $y=f(x)$ e spostare $D$ unità.Ad esempio, la funzione y y=x^2-4x=(x-2)^2-4 can può essere ottenuta da y y=(x-2)^2. (vedi l’ultimo paragrafo) spostando il grafico di 4 unità verso il basso.Il risultato è che parab x^2 parab-parabola ha spostato 2 unità a destra e 4 unità verso il basso in modo da avere il suo vertice nel punto $(2,-4)$.
Attenzione. Non confondere f f (x) + D and e f f (x + D)$. Per esempio,se $f(x)$ è la funzione $x^2$, allora $f(x)+2$ è la funzione $x^2+2$,mentre $f(x+2)$ è la funzione $(x+2)^2=x^2+4x+4$.
Esempio 1.4.1 (Cerchi) Un esempio importante dei due principi soprainizia con il cerchio circle x^2+y^2=r^2$. Questo è il cerchio di raggio centered r centered centrato all’origine. (Come abbiamo visto, questo non è un singolo della funzione$y=f(x)$, ma piuttosto due funzioni $y=\pm\sqrt{r^2-x^2}$ mettere insieme;in ogni caso, i due cambiata principi si applicano alle equazioni come thisone che non sono in forma $y=f(x)$.) Se sostituiamo $x$di $x-C$ e sostituire $y$ di $y-D$—ottenere l’equazione$(x-C)^2+(y-D)^2=r^2$—l’effetto del cerchio è da spostare $C$ al diritto e $D$ in su, ottenendo in tal modo il cerchio di raggio $r$centrato il punto $(C,D)$. Questo ci dice come scrivere ilequazione di qualsiasi cerchio, non necessariamente centrato all’origine.
In seguito vorremo utilizzare altri due principi riguardanti gli effetti delle costanti sull’aspetto del grafico di una funzione.
Dilatazione orizzontale. Se $x$ è sostituita da$x/A$ in una formula e $A>1$, quindi l’effetto sul grafico è di estendere da un fattore di $A$ in $x$-direzione (lontano da$y$-asse). Se $A$ è compreso tra 0 e 1, quindi l’effetto sul grafico è una contrazione un fattore di $1/$(verso la $y$-asse). Usiamo la parola “dilatare” per significare espandere o contrarre.
Per esempio, la sostituzione di $x$ di$x/0.5=x/(1/2)=2x$ ha l’effetto di contrarre verso la $y$asse da factorof 2. Se $A$ è negativo, si dilatano per un fattore di $|A|$ e thenflip su $y$asse. Pertanto, in sostituzione di $x$ di $x$ ha l’effetto oftaking l’immagine speculare del grafico rispetto a $y$asse. Ad esempio, la funzione $y=\sqrt{-x}$, che è di dominio $\{x\in\R\mid x\le 0\}$, è obtainedby prendendo il grafico di $\sqrt{x}$ e lanciando intorno al $y$asse intothe secondo quadrante.
Dilatazione verticale. Se $y$ è sostituita da $a/B$ in una formula e$B>0$, quindi l’effetto sul grafico è quello di dilatare it con un fattore di $B$ in direzione verticale. Come prima, questa è un’espansione ocontrazione a seconda che $B is sia più grande o più piccolo di uno.Nota che se abbiamo una funzione $y=f(x)$,sostituendo $y$ di $a/B$ è equivalente a moltiplicare la funzione theright da $B$: $y=Bf(x)$. L’effetto grafico è quello di espandere il pictureaway da $x$-asse di un fattore di $B$ se $B>1$, per contratto, si towardthe $x$-asse di un fattore di 1 $a/B$ se $0
Esempio 1.4.2 (Ellissi)Un esempio di base di due principi di espansione è dato da un ellipseof semimajor asse $a$ e semiminor asse $b$. Si arriva ad una ellisse bystarting con il cerchio unitario—il cerchio di raggio 1 centrata a theorigin, l’equazione di cui è $x^2+y^2=1$e dilatando da un factorof $a$ in orizzontale e da un fattore di $b$ in verticale. Per ottenere il equationof il resultingellipse, che attraversa la $x$assi $\pm$ e attraversa la $y$-axisat $\pm b$, si sostituisce a $x$ di $x$ e $y$ di $a/b$ nel equationfor il cerchio unitario. Questo dà\\left ({x\over a}\right)^2+\left ({y\over b}\right)^2=1\qquad\hbox{or}\qquad {x^2\over a^2}+{y^2\over b^2}=1.$$
Infine, se vogliamo analizzare una funzione che coinvolge bothshifts e dilatazioni, di solito è più semplice lavorare con thedilations prima, e poi i turni. Per esempio, se vogliamo todilate una funzione di un fattore di $A$ in $x$-direzione e thenshift $C$ a destra, facciamo questo sostituendo $x$ prima di $x/A$e poi $(x-C)$ nella formula. Come esempio, supponiamo che,dopo dilatando il nostro cerchio unitario di $a$ in $x$-direzione e $b$in $y$-direzione per ottenere l’ellisse nell’ultimo paragrafo, si thenwanted per spostare una distanza $h$ a destra e a distanza di $k$verso l’alto, in modo da essere centrata nel punto $(h,k)$. La nuova ellisse avrebbe equazione equation\left ({xh\over a}\right)^2+\left ({yk\over b}\right)^2=1.$$Nota bene che questo è diverso rispetto a prima di fare i turni di $h$ e $k$ quindi dilatazioni da $a$ e $b$:$$\left({x\oltre a}-h\right)^2+\left({y\over b}-k\right)^2=1.See Vedere figura 1.4.1.
Figura 1.4.1. Ellissi: \ \ left({x-1\over 2}\right)^2+\left({y-1\over 3}\right)^2=1 on a sinistra, \\left({x\over 2}-1\right)^2+\left ({y\over 3}-1 \ right)^2=1.a destra.
Esercizi 1.4
a Partire con il grafico di $\ds y=\sqrt{x}$, il grafico di $\ds y=1/x$, e thegraph di $\ds y=\sqrt{1-x^2}$ (unità superiore a semicerchio, schizzo thegraph di ciascuna delle seguenti funzioni:
Ex 1.4.1$\ds f(x)=\sqrt{x-2}$
Ex 1.4.2$\ds f(x)=-1-1/(x+2)$
Ex 1.4.3$\ds f(x)=4+\sqrt{x+2}$
Ex 1.4.4$\ds y=f(x)=x/(1-x)$
Ex 1.4.5$\ds y=f(x)=-\sqrt{-x}$
Ex 1.4.6$\ds f(x)=2+\sqrt{1-(x-1)^2}$
Ex 1.4.7$\ds f(x)=-4+\sqrt{-(x-2)}$
Ex 1.4.8$\ds f(x)=2\sqrt{1-(x/3)^2}$
Ex 1.4.9$\ds f(x)=1/(x+1)$
Ex 1.4.10$\ds f(x)=4+2\sqrt{1-(x-5)^2/9}$
Ex 1.4.11$\ds f(x)=1+1/(x-1)$
Ex 1.4.12$\ds f(x)=\sqrt{100-25(x-1)^2}+2$
Il grafico di $f(x)$ è mostrato di seguito.Disegna i grafici delle seguenti funzioni.
Ex 1.4.13 ds \ ds y=f (x-1)$
Ex 1.4.$14\ds y=1+f(x+2)$
Ex 1.4.15$\ds y=1+2f(x)$
Ex 1.4.16$\ds y=2f(3x)$
Ex 1.4.17$\ds y=2f(3(x-2))+1$
Ex 1.4.18$\ds y=(1/2)f(3x-3)$
Ex 1.4.19$\ds y=f(1+x/3)+2$
