Archi, onde stazionarie e armoniche

Introduzione: vibrazioni, archi, pipe, percussioni….

Come facciamo suoni musicali? Per emettere un suono, abbiamo bisogno di qualcosa che vibra. Se vogliamo fare note musicali di solito è necessario la vibrazione di avere una frequenza quasi costante: che significa passo stabile. Vogliamo anche una frequenza che può essere facilmente controllata dal giocatore. Negli strumenti elettronici questo viene fatto con circuiti elettrici o con orologi e memorie. Negli strumenti non elettronici, la vibrazione stabile e controllata è prodotta da un’onda stazionaria. Qui discutiamo il modo in cui le stringhe funzionano. Questa è anche un’introduzione utile per lo studio degli strumenti a fiato, perché le corde vibranti sono più facili da visualizzare rispetto alla vibrazione dell’aria negli strumenti a fiato. Entrambi sono meno complicati delle vibrazioni delle barre e delle pelli della famiglia delle percussioni. Per la fisica delle onde stazionarie, c’è un tutorial multimediale.

Viaggiare onde in corde

Le corde del violino, del pianoforte e così via sono tese strettamente e vibrano così velocemente che è impossibile vedere cosa sta succedendo. Se riesci a trovare una lunga molla (un giocattolo noto come ‘slinky’ funziona bene) o diversi metri di tubo di gomma flessibile puoi provare alcuni esperimenti divertenti che renderanno facile capire come funzionano le corde. (La gomma morbida è buona per questo, i tubi da giardino non sono abbastanza flessibili.) Prima tenere o bloccare un’estremità e poi, tenendo l’altra estremità ancora in una mano, allungarla un po ‘(non troppo, un po ‘ di abbassamento non farà male). Ora tiralo da parte con l’altra mano per fare un nodo, e poi lascialo andare. (Questo, al rallentatore, è ciò che accade quando si pizzica una stringa.) Probabilmente vedrai che il nodo viaggia lungo la “corda”, e poi torna da te. Sarà improvvisamente tirare la mano lateralmente, ma, se si sta tenendo saldamente, si rifletterà di nuovo.

Per prima cosa noterai che la velocità dell’onda nella stringa aumenta se la allunghi più strettamente. Questo è utile per accordare gli strumenti – ma stiamo andando avanti a noi stessi. Dipende anche dal” peso ” della corda – viaggia più lentamente in una corda spessa e pesante che in una corda leggera della stessa lunghezza sotto la stessa tensione. (Rigorosamente, è il rapporto tra tensione e massa per unità di lunghezza che determina la velocità, come vedremo di seguito.)

Quindi diamo un’occhiata da vicino al riflesso all’estremità fissa. Noterai che se inizialmente tiri la corda a sinistra, il nodo che si allontana da te è a sinistra, ma che ritorna come un nodo a destra – il riflesso è invertito. Questo effetto è importante non solo negli strumenti a corda, ma anche nei fiati e nelle percussioni. Quando un’onda incontra un confine con qualcosa che non si muove o cambia (o che non cambia facilmente), il riflesso è invertito. (Il fatto che sia invertito dà zero spostamento alla fine. Tuttavia, la riflessione con qualsiasi cambiamento di fase darà un’onda stazionaria.)

Corde pizzicate

Se pizzichi una delle corde su una chitarra o un basso, stai facendo qualcosa di simile, anche se qui la corda è fissa ad entrambe le estremità. Si tira fuori la corda ad un certo punto, quindi rilasciarla come mostrato. La mozione che segue è interessante, ma complicata. Il movimento iniziale è mostrato di seguito. Tuttavia, le componenti ad alta frequenza del movimento (le curve strette nella corda) scompaiono rapidamente – motivo per cui il suono di una nota di chitarra diventa più morbido un secondo o più dopo averlo colto.

Uno schizzo del riflesso di viaggiare nodi causati da spennare una stringa. Agli istanti rappresentati da (e) e (m), la corda è diritta quindi ha perso l’energia potenziale associata a tirarla lateralmente, ma ha una massima energia cinetica. Si noti che, alle riflessioni, la fase del nodo viene modificata di 180°: dall’alto verso il basso o viceversa. Si noti anche come i nodi “passano” l’un l’altro quando si incontrano nel mezzo.

Perché la riflessione è invertita? Bene, se supponiamo che sia bloccato o legato a un oggetto fisso, il punto di riflessione non si è effettivamente spostato. Ma guarda il movimento della corda confrontando i diversi tempi rappresentati negli schizzi della mano sinistra. Si noti che la stringa dietro il nodo si sta spostando indietro verso la posizione indisturbata (in basso nello schizzo). Quando il nodo si avvicina alla fine, diventa più piccolo e, quando raggiunge l’estremità immobile, non c’è alcun nodo – la stringa è dritta per un istante. Ma la corda ha ancora il suo slancio verso il basso, e questo lo porta oltre la posizione di riposo, e produce un nodo dall’altra parte, che poi si sposta indietro nella direzione opposta. (Il movimento delle onde nelle corde è descritto in modo più dettagliato in Travelling Waves, che ha clip di film e animazioni. In questa pagina, tuttavia, ci concentreremo sulle implicazioni musicali. )

Come accennato in precedenza, questo movimento viene osservato solo immediatamente dopo il pluck. Man mano che i componenti ad alta frequenza perdono energia, i nodi acuti scompaiono e la forma si avvicina gradualmente a quella della modalità fondamentale di vibraiton, di cui discutiamo di seguito.

Una corda piegata si comporta in modo piuttosto diverso

In primo luogo, ha una fonte continua di energia, e quindi può mantenere lo stesso movimento indefinitamente (o almeno fino a quando non si esaurisce l’arco. In secondo luogo, la forma della corda necessaria per abbinare l’arco in movimento uniforme è diversa.

Uno schizzo del riflesso dei nodi di viaggio causati dall’inchino di una corda. Vedere l’animazione e una spiegazione dell’interazione arco-corda in archi e archi

Onde viaggianti e onde stazionarie

Un effetto interessante si verifica se si tenta di inviare una semplice onda lungo la corda agitando ripetutamente un’estremità su e giù. Se hai trovato una molla adatta o un tubo di gomma, provalo. Altrimenti, guarda questi diagrammi.


L’animazione mostra l’interazione di due onde, con uguale frequenza e magnitudine, che viaggiano in direzioni opposte: blu a destra, verde a sinistra. La linea rossa è la loro somma: l’onda rossa è ciò che accade quando le due onde viaggianti si sommano (superpose è il termine tecnico). Interrompendo l’animazione, puoi verificare che l’onda rossa sia davvero la somma delle due onde che interagiscono tra loro.

La figura a destra è lo stesso diagramma rappresentato come una sequenza temporale-il tempo aumenta dall’alto verso il basso. Si potrebbe pensare che rappresenti una serie di fotografie delle onde, scattate molto rapidamente. L’onda rossa è quello che avremmo effettivamente vedere in un tali fotografie.

Supponiamo che il limite della mano destra sia un muro immobile. Come discusso sopra, l’onda è invertita sulla riflessione quindi, in ogni “fotografia”, il blu più il verde aggiunge fino a zero sul confine destro. L’onda riflessa (verde) ha la stessa frequenza e ampiezza ma viaggia nella direzione opposta.

All’estremità fissa si aggiungono per non dare movimento – spostamento zero: dopotutto è questa condizione di immobilità che causa la riflessione invertita. Ma se guardi la linea rossa nell’animazione o nel diagramma (la somma delle due onde) vedrai che ci sono altri punti in cui la stringa non si muove mai! Si verificano a mezza lunghezza d’onda. Questi punti immobili sono chiamati nodi della vibrazione e svolgono un ruolo importante in quasi tutte le famiglie di strumenti. A metà strada tra i nodi ci sono gli antinodi: punti di massimo movimento. Ma si noti che questi picchi non viaggiano lungo la corda: la combinazione di due onde che viaggiano in direzioni opposte produce un’onda stazionaria.

Questo è mostrato nell’animazione e nella figura. Si noti le posizioni (nodi) in cui le due onde viaggianti si annullano sempre e le altre (antinodi) in cui si aggiungono per dare un’oscillazione con ampiezza massima.

Si potrebbe pensare a questo diagramma come una rappresentazione (non in scala) della quinta armonica su una stringa la cui lunghezza è la larghezza del diagramma. Questo ci porta al prossimo argomento.

Armoniche e modi

La corda su uno strumento musicale è (quasi) fissata ad entrambe le estremità, quindi qualsiasi vibrazione della corda deve avere nodi a ciascuna estremità. Ora che limita le possibili vibrazioni. Ad esempio la stringa con lunghezza L potrebbe avere un’onda stazionaria con lunghezza d’onda due volte più lunga della stringa (lunghezza d’onda λ = 2L) come mostrato nel primo schizzo della serie successiva. Questo dà un nodo a entrambe le estremità e un antinode nel mezzo.

Questa è una delle modalità di vibrazione della stringa (“modalità di vibrazione” significa solo stile o modo di vibrazione). Quali altre modalità sono consentite su una stringa fissata ad entrambe le estremità? Diverse onde stazionarie sono mostrate nello schizzo successivo.



Uno schizzo dei primi quattro modi di vibrazione di una corda tesa idealizzata* con una lunghezza fissa. L’asse verticale è stato esagerato.

Elaboriamo le relazioni tra le frequenze di queste modalità. Per un’onda, la frequenza è il rapporto tra la velocità dell’onda e la lunghezza dell’onda: f = v/λ. Rispetto alla lunghezza della stringa L, puoi vedere che queste onde hanno lunghezze 2L, L, 2L/3, L/2. Potremmo scrivere questo come 2L / n, dove n è il numero dell’armonica.

fondamentale o prima modalità di frequenza f1 = v/λ1 = v/2L,
La seconda armonica ha frequenza f2 = v/λ2 = 2v/2L = 2f1
La terza armonica è la frequenza f3 = v/λ3 = 3v/2L = 3f1,
La quarta armonica ha frequenza f4 = v/λ4 = 4v/2L = 4f1, e, per generalizzare,

La n-esima armonica ha frequenza fn = v/λn = nv/2L = nf1.

Tutte le onde in una stringa viaggiano con la stessa velocità, quindi queste onde con diverse lunghezze d’onda hanno frequenze diverse come mostrato. La modalità con la frequenza più bassa (f1) è chiamata fondamentale. Si noti che l’ennesima modalità ha frequenza n volte quella del fondamentale. Tutte le modalità (e i suoni che producono) sono chiamate armoniche della stringa. Le frequenze f, 2f, 3f, 4f ecc sono chiamate la serie armonica. Questa serie sarà familiare alla maggior parte dei musicisti, in particolare ai trombettisti e ai suonatori di corni naturali. Se ad esempio la fondamentale è la nota C3 o la viola C (una frequenza nominale di 131 Hz: vedi questo link per una tabella), allora le armoniche avrebbero le altezze mostrate nella figura successiva. Queste altezze sono state approssimate al tono quarto più vicino. Le ottave sono esattamente ottave, ma tutti gli altri intervalli sono leggermente diversi dagli intervalli nella scala temperata uguale.

La figura mostra la notazione musicale per le prime dodici armoniche su una corda di Do. Quando riproduci il file audio, ascolta attentamente il tono. La settima e l’undicesima armoniche cadono circa a metà strada tra le note sulla scala temperata uguale, e quindi sono state notate con mezzi taglienti.

È possibile produrre queste altezze su una corda allungata: è più facile sulle corde basse di una chitarra, violoncello o basso*. Tocca leggermente la corda in un punto 1/n della sua lunghezza dalla fine (dove n è 1, 2, 3 ecc.), quindi piega la corda vicino alla fine. In alternativa, toccare la corda molto leggermente ad un punto 1 / n della sua lunghezza dalla fine, pizzicare la corda vicino alla fine e rilasciare il primo dito non appena avete pizzicato. Toccando la stringa produce un nodo in cui si tocca, e quindi si eccita (principalmente) la modalità che ha un nodo lì. Troverete che si può giocare melodie bugle utilizzando armoniche da due a sei di una stringa.

(*Se hai appena fatto questo esperimento, potresti aver notato alcune peculiarità. Il dodicesimo tasto, che viene utilizzato per produrre l’ottava, è meno della metà lungo la lunghezza della corda, e quindi la posizione in cui si tocca la corda per produrre la 2a armonica – a metà strada lungo la corda – non è direttamente sopra il tasto di ottava. Ho detto una stringa “idealizzata” sopra, il che significa una stringa che è completamente flessibile e quindi può piegarsi facilmente a entrambe le estremità. In pratica, le corde hanno una rigidità di flessione finita e quindi la loro lunghezza effettiva (la” L “che dovrebbe essere usata nelle formule sopra) è un po’ inferiore alla loro lunghezza fisica. Questo è uno dei motivi per cui le corde più grandi di solito hanno un avvolgimento su un nucleo sottile, perché il ponte è di solito ad un angolo che dà le corde più grasse lunghezze più lunghe e perché il (solido) G string su una chitarra classica ha scarsa sintonia sui tasti più alti. C’è anche un effetto dovuto all’allungamento extra di una corda quando viene spinta verso il basso sulla tastiera, un effetto che è considerevole sulle corde d’acciaio.)

Un esercizio per chitarristi. Su una chitarra accordata nel solito modo, la corda B e la corda E alta sono approssimativamente sintonizzate sulla 3a e sulla 4a armonica della corda E bassa. Se pizzichi la corda E bassa ovunque tranne un terzo del percorso, la corda B dovrebbe iniziare a vibrare, guidata dalle vibrazioni nel ponte dall’armonica della prima corda. Se pizzichi la corda E bassa ovunque tranne un quarto del percorso, la corda E superiore dovrebbe essere guidata in modo simile.

Accordatura armonica su chitarre

I chitarristi spesso iniziano a sintonizzarsi nel modo seguente: prima accordare il 4 ° armonico della corda Mi bassa, il 3 ° della corda A e il Mi superiore tutti alla stessa nota. La figura a destra mostra la serie armonica sulle due corde più basse. Successivamente accordano la corda B (B3) alla 3a armonica della prima (E2); quindi accordano la 4a armonica della corda A alla 3a della corda D. Questo metodo non può essere esteso con successo alla corda Sol perché di solito è troppo spessa e rigida, quindi è meglio sintonizzato dalle ottave, usando i tasti. Per diversi motivi (vedi le note alla fine di questa pagina), questo metodo di accordatura è solo approssimativo, e bisogna risintonizzare le ottave in seguito. La migliore messa a punto è di solito un compromesso che deve essere fatto dopo aver considerato quali accordi si giocherà e dove si sta giocando sulla tastiera.

Accordatura per chitarra con armoniche. (Queste sono piazzole reali: la musica per chitarra è solitamente trasposta su un’ottava.)

Armoniche nella musica

I compositori spesso richiedono tali armoniche sugli strumenti a corda: il più comune è il “tocco quarto”. Con un dito, il giocatore ferma la corda per produrre la lunghezza richiesta per una nota particolare, e poi, usando un altro dito, tocca la corda molto leggermente nella posizione richiesta per la nota quattro note più in alto nella scala (da qui il nome). Questa posizione è un quarto del percorso lungo la corda, quindi produce la quarta armonica della nota interrotta. La quarta armonica ha quattro volte la frequenza fondamentale, e quindi è due ottave più alta. Per i suonatori di corde, le armoniche sono chiamate “naturali”; quando vengono suonate su corde aperte e” artificiali”; se il giocatore deve fermare la corda. Il diagramma mostra il modo in cui viene suonato un quarto tocco naturale e la notazione per il quarto tocco sul violino Una corda. L’asse verticale del diagramma è stato esagerato per chiarezza.


Aprire una corda suonata normalmente, quindi il tocco quarto su questa corda (4a armonica)

L’altezza di una nota è determinata dalla velocità con cui la corda vibra. Questo dipende da quattro cose:

• Corde più spesse e massicce vibrano più lentamente. Su violini, chitarre ecc., la lunghezza aperta della corda non cambia, e di solito la tensione non cambia molto (sono tutti ugualmente difficili da spingere verso il basso). Quindi le corde basse sono più spesse.
• La frequenza aumenta con la tensione nella corda. Questo è il modo in cui si accorda lo strumento, utilizzando teste di macchine o spine di sintonia: più stretto dà un tono più alto.
• Anche la lunghezza della stringa che è libera di vibrare è importante. Quando si ferma una corda contro la tastiera di un violoncello, ad esempio, si accorcia la lunghezza effettiva e quindi si alza il tono.
• È inoltre possibile modificare l’intonazione modificando la modalità di vibrazione. Quando suoni le armoniche, induci la corda a produrre onde che sono una frazione della lunghezza di quelle normalmente prodotte da una corda di quella lunghezza.

  Possiamo mettere tutto questo in una semplice espressione. Se la parte vibrante della corda ha una lunghezza L e una massa M, se la tensione nella corda è F e se si suona l’ennesima armonica, la frequenza risultante è

  fn = (n/2L)(FL/M)1/2 = (n/2)(F/LM)1/2.

  In strumenti come il violino e la chitarra, la lunghezza aperta e la tensione sono abbastanza simili per tutte le corde. Ciò significa che, per abbassare una corda di un’ottava, mantenendo la stessa lunghezza, è necessario quadruplicare il rapporto M/L. Se le corde sono fatte dello stesso materiale, ciò significa raddoppiare il diametro. Tuttavia, le stringhe fat sono solitamente composte: un nucleo sottile avvolto con avvolgimenti per renderli più massicci senza renderli più difficili da piegare.

  Vediamo da dove viene questa espressione. L’onda percorre una distanza λ in un periodo T della vibrazione, quindi v = λ / T. La frequenza f = 1 / T = v / λ. Quindi f = v / λ. Abbiamo anche visto che, per la frequenza fondamentale f1, la lunghezza della corda è λ/2, quindi f1 = v/2L. La velocità dell’onda è determinata dalla tensione della corda F e dalla massa per unità di lunghezza o densità lineare μ = M/L, v = (F/μ)1/2 = (FL / M)1/2. Quindi f1 = ½ (F/LM)1/2. Moltiplicando entrambi i lati per n si ottengono le frequenze delle armoniche sopra citate.

  Possiamo riorganizzare questo per dare la tensione della corda: F = 4f12LM.

Complicazioni con accordatura armonica

Ci sono diversi problemi con qualsiasi accordatura della chitarra, incluso quello usando le armoniche suggerite sopra.

L’approssimazione più ovvia è legata al temperamento: se le corde della chitarra fossero ideali e i tasti idealmente distanziati per un temperamento uguale, accordare i quarti armonici alle coppie E-A e A-D, più due semitoni temperati uguali sulla corda D, renderebbe l’intervallo tra il Mi più basso e il 2 ° tasto sulla corda D di circa 4 centesimi piatti ((4/3)222/12=1.996). Ciò porterebbe a battute di interferenza a tassi di ordine uno ogni diversi secondi.

Un’altra ovvia complicazione con l’accordatura armonica è che le corde non si piegano con completa facilità sul dado e sul ponte (come discusso sopra). Vedi anche Come armoniche sono armoniche.) Di conseguenza, il 1 ° tono su una corda è leggermente più nitido di un’ottava, il successivo ancora più nitido di un dodicesimo e così via. Quindi accordare la 4a ‘armonica’ della corda E alla 3a della corda A li rende il loro intervallo aperto più di una quarta armonica. Quindi questo tende a compensare il problema del temperamento.

Un ulteriore problema riguarda il posizionamento del tasto e del ponte. Quando si preme una stringa verso il basso al dodicesimo tasto, si aumenta la sua lunghezza. (Prima di premere, la distanza più breve tra dado e ponte. Dopo è più lungo.) Per allungarlo, hai aumentato la sua tensione. Per questo motivo, e anche a causa dell’effetto di flessione alla fine della corda, se il 12 ° tasto fosse a metà strada tra dado e ponte, l’intervallo sarebbe maggiore di un’ottava. (È possibile verificare questo sperimentalmente su uno strumento fretless.) Di conseguenza, la distanza dal ponte al 12 ° tasto è maggiore di quella dal dado al 12 ° tasto. L’effetto differisce tra le stringhe. In alcune chitarre elettriche, è possibile la regolazione individuale della posizione di ciascun ponte. In altre chitarre, il ponte è posizionato ad angolo. In una chitarra classica, il ponte semplice dritto richiede qualche compromesso nella messa a punto.

Gli effetti di cui sopra sono difficili da misurare sperimentalmente con la precisione richiesta: gli effetti sono solo pochi centesimi, che non è molto più grande della precisione delle orecchie o dei misuratori di accordatura quando applicati a una corda di pizzicamento. Inoltre, è difficile regolare le teste delle macchine per ottenere una precisione migliore di un paio di centesimi. D’altra parte, se si ottiene tutte le note in sintonia entro un paio di centesimi, si sta facendo meglio di molti musicisti e suonerà abbastanza bene!

Ci sono ulteriori problemi quando le stringhe invecchiano. Dove li dito con la mano sinistra, prendono il grasso e diventano più massicci (anche se possono anche perdere materiale dove si sfregano sui tasti). Essi possono anche indossare dove li si sceglie. Man mano che le corde diventano disomogenee, l’accordatura peggiora successivamente. Lavarli può aiutare.

Il modo per aggirare la maggior parte di questi problemi è suonare strumenti fretless, ma questo rende gli accordi più scomodi.

La scala posizioni in intonazione. Il tocco a 2/9 è più sicuro di quello a 1/9, ma non cade sopra qualsiasi posizione di nota di scala: è un po ‘ sopra il terzo minore. Violisti o violoncellisti che provano “Praticare l’infinito” (sic) di Radulescu sono invitati a scrivermi per ulteriori suggerimenti sulle tecniche per alti armonici.

Vedi anche Come armoniche sono armoniche?

Arpa acustica

L’unico lavoro che abbiamo fatto sulle arpe è descritto qui.

Ulteriori informazioni

• Onde stazionarie e onde mobili da Physclips hanno clip di film e animazioni.
• Archi e archi (una semplice introduzione a tale interazione).
• Violin studies (maggiori informazioni sui nostri studi sui violini).
• Modelli di Chladni (risultati sperimentali che mostrano la vibrazione dei piatti dei violini).
• Articolazione e vibrato sul violino e loro importanza per il suono del violino.
• Acustica del violino: una panoramica (una semplice introduzione all’acustica del violino).
• I documenti di ricerca di John McLennan, dottorando in Acustica musicale presso UNSW.
• Introduzione all’acustica del flauto (con una discussione di armoniche in una colonna d’aria).