Alzando ad una potenza è iterata moltiplicazione. Per fortuna, è possibile trovare le unità cifra con un semplice modello di moltiplicazione, anche quando si sta lavorando con grandi potenze. (Per un aggiornamento delle regole di moltiplicazione per unità di cifre, vedere il nostro post su unità difficili cifre.)
Vedi come fai con questa domanda:
Qual è la cifra di unità di 5745?
A) 1
B) 3
C) 5
D) 7
E) 9
Per risolvere questo problema, inizieremo ad esaminare le potenze più piccole e cercheremo un modello.
571 = 57 (la cifra delle unità è 7)
572 = 3,249 (la cifra delle unità è 9)
573 = 185,193 (la cifra delle unità è 3)
A parte: poiché questi poteri aumentano rapidamente, è utile notare che dobbiamo solo moltiplicare le cifre delle unità ogni volta. Ad esempio, la cifra di unità di 572 è la stessa della cifra di unità di 72. Allo stesso modo, la cifra di unità di 573 è la stessa della cifra di unità di 73.
Quindi, una volta che sappiamo che le unità di 572 sono 9, possiamo trovare la cifra di unità di 573 moltiplicando 9 per 7 per ottenere 63. Quindi la cifra unitaria di 573 è 3.
Per trovare la cifra di unità di 574, moltiplichiamo 3 per 7 per ottenere 21. Quindi la cifra unitaria di 574 è 1.
Quando iniziamo a elencare i vari poteri, possiamo vedere un modello emergere:
- La cifra delle unità di 571 7
- La cifra delle unità di 572 9
- La cifra delle unità di 573 3
- La cifra delle unità di 574 1
- La cifra delle unità di 575 è 7
A questo punto, dobbiamo riconoscere che il modello comincia a ripetere. Il modello va: 7-9-3-1-7-9-3-1-7-9-3-1-…
Poiché il modello si ripete ogni 4 potenze, diciamo che il “ciclo” è uguale a 4
Ora arriva un’osservazione importante:
La cifra delle unità di 571 7
La cifra delle unità di 572 9
La cifra delle unità di 573 3
La cifra delle unità di 574 1
La cifra delle unità di 575 7
La cifra delle unità di 576 9
La cifra delle unità di 577 3
La cifra delle unità di 578 1
La cifra delle unità di 579 7
La cifra delle unità di 5710 9
La cifra delle unità di 5711 3
La cifra delle unità di 5712 è 1. . . ecc.
Come puoi vedere, dal momento che il ciclo = 4, la cifra di unità di 57k sarà 1 ogni volta che k è un multiplo di 4.
Ora per trovare la cifra di unità di 5745, tutto ciò che dobbiamo fare è riconoscere che la cifra di unità di 5744 è 1 (poiché 44 è un multiplo di 4).
Da qui, continueremo con il nostro modello:
La cifra di unità di 5744 è 1
La cifra di unità di 5745 è 7
La cifra di unità di 5746 è 9
La cifra di unità di 5747 è 3 . . . ecc.
Quindi, la cifra delle unità di 5745 è 7, il che significa che la risposta è D.
