Questo dipende davvero da cosa intendi per “infinito”. Se intendi $ \ infty$, allora questo non è un numero, ma piuttosto una scorciatoia per il concetto che una certa quantità (di solito un numero naturale o reale) cresce oltre ogni limite finito. Come tale, non si può moltiplicare con nulla, e soprattutto non se stesso. Esistono, tuttavia, diversi sistemi aritmetici che hanno elementi più grandi di qualsiasi somma finita della forma 1 1+1 +\cdots + 1 thus, e quindi meritano di essere chiamati dimensioni infinite. Ti parlerò di tre di loro (leggermente semplificato, ma si spera non direttamente errato).
Il primo sono i cardinali. Significano quanto è grande qualcosa (un insieme). Un cardinale finito è solo un numero naturale (che significa “la dimensione di un insieme con tanti elementi”), ma ci sono anche cardinali ininiti. Il cardinale infinito più piccolo è $\aleph_00, la dimensione dell’insieme dei numeri natruali.
L’aggiunta di cardinali funziona nel modo in cui ci si aspetterebbe che l’aggiunta di dimensioni funzioni, ovvero mettere i due set uno accanto all’altro e contare quanti elementi ci sono in totale. Più in particolare, se si hanno due numeri cardinali $\kappa_1, \kappa_2$, ogni significante le dimensioni di due insiemi $X_1, X_2$, quindi, il cardinale $\kappa_1+\kappa_2$ è la cardinalità del disgiunto unione $X_1\sqcup X_2$, o, equivalentemente, l’insieme di coppie $(x_i, i)$, dove $x_i \in X_i$ e $i \in \{1, 2\}$.
La moltiplicazione dei cardinali funziona nel modo seguente: $\kappa_1\cdot\kappa_2$ è la dimensione dell’insieme $X_1\times X_2$, l’insieme di coppie $x_1, x_2$, con $x_1\in X_1$ e $x_2\in X_2$. Se il più grande di $\kappa_1$ e $\kappa_2$ è infinito, allora $\kappa_1+\kappa_2 = \kappa_1\cdot\kappa_2 = \max\kappa_1, \kappa_2)$. Questo significa che, se $\kappa$ è un cardinale infinito, $\kappa^2 = \kappa$, in modo che anche noi possiamo avere $\sqrt\kappa = \kappa$.
(Si può anche definire esponenti: $\kappa_1^{\kappa_2}$ è la dimensione dell’insieme di tutte le possibili funzioni di forma $X_2$ a $X_1$. Per esempio, $2$ è un elemento di due set, quindi $\kappa^2$ è l’insieme delle funzioni da un insieme di elementi di $\kappa$. Una funzione da un set di due elementi è la stessa di una coppia ordinata, quindi questo è in realtà lo stesso di $\kappa\cdot \kappa$. Bello, eh?)
Il secondo è l’ordinale. Significano ordini di oggetti. Tuttavia, non tutti gli ordinamenti, ma gli ordinamenti in cui ogni sottoinsieme ha un elemento più piccolo, i cosiddetti ordini ben ordinati. Di nuovo, un ordinale finito è solo un numero naturale (che significa “l’ordine di tutti i numeri naturali più piccoli”), ma proprio come l’ultima volta, ci sono ordinali infiniti, il più piccolo dei quali è chiamato om\omega_00, o semplicemente omega\omega$, e significa l’ordine dei numeri naturali.
Aggiunta di numeri ordinali è fatto seguente modo: Se $\gamma, \lambda$ sono numeri ordinali, allora $\gamma + \lambda$ è l’ordinamento ottenuto mettendo $\gamma$ fronte $\lambda$. Ad esempio, $1 + \omega$ è lo stesso di omega\omega$, perché se prendi i numeri naturali e metti un elemento davanti a tutti, hai qualcosa che, per quanto riguarda l’ordine, sembra esattamente lo stesso dei numeri naturali stessi. Tuttavia, omega \ omega + 1 means significa mettere un singolo elemento dopo tutti i numeri naturali, che è un ordine diverso.
Moltiplicazione opere seguente modo: $\gamma\cdot \lambda$ è il numero ordinale otteniamo da cui $\lambda$, sostituendo ogni elemento che si ordina una copia di $\gamma$, e quindi aggiungere tutto in ordine (cioè mettili uno dopo l’altro) (specifichiamo che lavori da sinistra a destra). In questo modo, cd 2 \cdot \ omega means significa prendere i numeri naturali, scambiare ciascuno dei numeri lì per due numeri, e quindi mettere tutte queste coppie l’una dopo l’altra. Questo ci restituisce omega \ omega back indietro. Tuttavia, omega\omega \ cdot 2 means significa prendere una coppia ordinata, scambiare ciascuno dei due elementi con una copia dei numeri naturali e quindi inserire una copia dopo l’altra. Questo è lo stesso che si otterrebbe calcolando omega\omega + \omega$.
In questo quadro, la moltiplicazione e l’aggiunta di ordinali infiniti non sono così banali come per i cardinali. Otteniamo, ad esempio, $\omega\cdot \omega = \omega + \omega +\omega + \cdots$, che è il più piccolo ordinale quadrato perfetto infinito. Come con i numeri naturali stessi, ci sono alcuni ordinali che hanno una radice quadrata e alcuni che non lo fanno. In particolare, omega \ omega$ non ha una radice quadrata.
(Puoi definire esponenti anche per gli ordinali: In questo caso, $\gamma^\lambda$ è il numero ordinale di ottenere se prendiamo $\lambda$, sostituire ogni elemento con copie di $\gamma$, e moltiplicare tutti insieme, proprio come la moltiplicazione è stata definita come ripetuto oltre. Questo rende $ \ omega ^ 2 = \ omega \ cdot \ omega$. Bello, eh? Si noti che mentre l’addizione e la moltiplicazione ordinali e cardinali sono in qualche modo simili, le loro nozioni di esponenziazione sono molto diverse.)
Infine, ti parlerò dei numeri surreali. Mentre ordinali e cardinali sono in uso pesante nella teoria degli insiemi, i numeri surreali sono più di una curiosità. Sono anche un po ‘ più difficili da avvolgere la testa. Tuttavia, mi piacciono molto, quindi ecco un breve riassunto.
Un surreale numero $x$ si compone di una coppia ordinata di insiemi scritto $\langle L_x\mid R_x\rangle$, dove $L_x$ chiamato set di sinistra di $x$ e $R_x$ è chiamato il giusto set. Questi insiemi sono di altri surreale numeri, con la condizione che se $x_l \in L_x$ e $x_r\in R_x$, abbiamo $x_l < x_r$. $x$, allora significa un surreale numero compreso tra $L_x$ e $R_x$ (il primo numero in base alla sua generazione, vedi sotto). L’ordinamento è definito modo seguente: dati due surreale numeri $x = \langle L_x\mid R_x\rangle, y = \langle L_y\mid R_y\rangle$, diciamo che $x \leq y$ se e solo se entrambe le seguenti condizioni sono vere:
- non C’è $x_l\in L_x$ tale che $y \leq x_l$
- non C’è nessun $y_r\in R_y$ tale che $y_r\leq x$
(si noti che, al fine di valutare $y \leq x_l$ e $y_r\leq x$, è necessario applicare la stessa definizione di nuovo. Questo, in pratica, diventerà molto noioso per tutti tranne i numeri più semplici. Questo concetto ricorsivo ritorna quando si definisce l’addizione e la moltiplicazione.)
In realtà, non ero abbastanza sincero prima. Un numero surreale è una classe di equivalenza di tali coppie (questo è quello che mi ci è voluto molto tempo per apprezzare davvero). Una coppia stessa è chiamata una forma numerica surreale. Due forme di $x, y$ appartengono alla stessa classe di equivalenza se e solo se $x\leq y$ e $y\leq x$.
Ogni numero surreale ha una cosiddetta “generazione”. Il primo numero surreale (generazione 0 0)) è 0 0 = \langle {}\mid{} \rangle where dove gli insiemi sinistro e destro sono vuoti. I prossimi due surreale numeri (generazione $1$) sono $1 = \langle0\mid{}\rangle$ e $-1 = \langle{}\mid 0\rangle$. Generazione di $2$ si compone di $-2 = \langle{}\mid -1\rangle$, $-\frac12 = \langle -1\mid 0\rangle$, $\frac12 = \langle 0\mid 1\rangle$ e $2 = \langle 1\mid{}\rangle$.
Qui possiamo vedere le classi di equivalenza al lavoro, perché abbiamo anche $2 = \langle -1, 0, 1\mid {}\rangle$, e abbiamo, per esempio, $0 = \langle -2\mid 1\rangle$, perché, anche se a $-1$, $\frac12$ e $-\frac12$ sono anche tra $-2$ e $1$, $0$ appartiene a una generazione precedente. Si può controllare che ci hanno infatti $\langle -2\mid 1\rangle\leq \langle {}\mid {}\rangle$ e, allo stesso tempo $\langle {}\mid{}\rangle \leq \langle -2\mid 1\rangle$, mentre lo stesso non è vero se non ci swap $\langle {}\mid{}\rangle$ per $\langle 0\mid 1\rangle$.
continuiamo a fare più fini e sottili divisioni in tutti finiti generazioni, ogni numero che appare essere un numero della forma $\frac un{2^b}$, un diadica frazione, fino ad arrivare al primo infinita generazione, $\omega$ (sì, le generazioni sono ordinali), dove tutti i numeri reali improvvisamente pop-up (per esempio, $\sqrt 2 = \langle 1, \frac{5}{4}, \frac{11}{8}, \ldots{}\mid {}\ldots,\frac{12}{8}, \frac{3}{2}, 2\rangle$). Abbiamo anche ottenere il primo ordinale infinito, $\omega$ stessa, come $\langle 1, 2, 3,\ldots{}\mid{}\rangle$, e la reciproca $\frac1\omega = \langle {}\mid {}\ldots \frac18,\frac14,\frac12,1\rangle$.
Finora non ho parlato dell’aritmetica. Senza questo, non c’è motivo di chiamare lang \ langle 0 \ mid 1 \ rangle \\frac12 and e non nient’altro. Dato x x = \langle L_x\mid R_x \ rangle and e y y = \ langle L_y \ mid R_y \ rangle,, l’addizione è definita ricorsivamente da x x + y = \langle \{x + y_l: y_l \in L_y\}\cup \{x_l + y:x_l\in L_x\} \ mid \{x + y_r: y_r \ in R_y\} \ cup \ {x_r + y:x_r\in R_x\}\rangle$$Moltiplicazione è un po ‘ più disordinato, così potrai usare alcuni abbreviata:$$xy = \langle \{x_ly + xy_l – x_ly_l\}\cup\{x_ry + xy_r – x_ry_r\}\mid \{x_ly + xy_r – x_ly_r\}\cup\{x_ry + xy_l – x_ry_l\}\rangle$$in cui la sottrazione è definita come ci si potrebbe aspettare, negando il giusto numero e l’aggiunta di. La negazione viene eseguita negando ogni elemento nei set destro e sinistro e scambiando i due in giro.
Proprio come con gli ordinali, $\omega^2 = \omega\cdot \omega$ è un quadrato perfetto. Tuttavia, ecco che arriva la parte divertente: qualsiasi numero surreale positivo ha una radice quadrata. Per ottenere la radice quadrata di $\omega$, di cui abbiamo bisogno per così alcuni ulteriori definizioni (teoricamente, si potrebbe, e dovrebbe, giustificare ogni uno di questi nomi si esegue l’addizione e la moltiplicazione per vedere che si ottiene quello che si dovrebbe, ma che è un sacco di lavoro):$$\omega – 1 = \langle 1, 2, 3,\ldots\mid \omega\rangle\\\omega – 2 = \langle 1, 2, 3,\ldots\mid \omega – 1\rangle\\\omega – 3 = \langle 1, 2, 3,\ldots\mid \omega – 2\rangle\\\vdots$$e quindi otteniamo $\frac\omega2 = \langle 1, 2, 3,\ldots \mid\ldots, \omega – 3, \omega 2, \omega – 1\rangle$. Analogamente, si può definire $\frac\omega2-1, \frac\omega2-2$, e così via, e otteniamo $\frac\omega4 = \langle 1, 2, 3, \ldots\mid \ldots, \frac\omega2 – 3,\frac\omega2-2,\frac\omega2 – 1\rangle$. Quindi possiamo definire \ \ frac \ omega8,\frac \ omega{16}$ e così via. Infine, otteniamo omega\sqrt \ omega = \ langle 1, 2, 3, 4,\ldots\mid \ldots,\frac\omega8,\frac\omega4,\frac\omega2,\omega\rangle$. Siamo ora alla generazione omega \ omega ^ 2$.
