Sommatoria di Einstein

La sommatoria di Einstein è una convenzione notazionale per semplificare le espressioni, incluse le sommatorie di vettori, matrici e tensori generali. Ci sono essenzialmente tre regole della notazione di sommatoria di Einstein, vale a dire:

1. Gli indici ripetuti sono implicitamente sommati.

2. Ogni indice può apparire al massimo due volte in qualsiasi termine.

3. Ogni termine deve contenere indici identici non ripetuti.

Il primo elemento dell’elenco precedente può essere impiegato per semplificare e abbreviare notevolmente le equazioni che coinvolgono i tensori. Per esempio, l’utilizzo di Einstein sommatoria,

(1)

e

(2)

il secondo e Il terzo elemento dell’elenco indicano che l’espressione

(3)

è valido, considerando che le espressioni

(4)

e

(5)

non sono validi, in quanto l’indice compare tre volte nel primo termine di (), mentre l’indice non ripetuto nel primo termine di () non corrisponde al non ripetuto del secondo termine.

La convenzione fu introdotta da Einstein (1916, sec. 5), che in seguito scherzò con un amico: “Ho fatto una grande scoperta in matematica; ho soppresso il segno di sommatoria ogni volta che la sommatoria deve essere fatta su un indice che si verifica due volte…”(Kollros 1956; Pais 1982, p. 216).

In pratica, la convenzione tende a verificarsi sia accanto al delta di Kronecker che al simbolo di permutazione. Inoltre, la convenzione di sommatoria di Einstein accoglie facilmente sia apici che pedici per tensori controvarianti e covarianti, rispettivamente.