Teoria dei nodi

Teoria dei nodi, in matematica, lo studio delle curve chiuse in tre dimensioni e delle loro possibili deformazioni senza che una parte ne tagli l’altra. Nodi possono essere considerati come formata da interlacciamento e loop un pezzo di corda in qualsiasi modo e poi unendo le estremità. La prima domanda che sorge è se una tale curva è veramente annodata o può semplicemente essere districata; cioè, se si può deformarla o meno nello spazio in una curva standard non annodata come un cerchio. La seconda domanda è se, più in generale, due curve date rappresentano nodi diversi o sono davvero lo stesso nodo nel senso che una può essere continuamente deformata nell’altra.

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Lo strumento di base per classificare i nodi consiste nel proiettare ogni nodo su un piano—immaginare l’ombra del nodo sotto una luce—e contare il numero di volte che la proiezione attraversa se stessa, notando ad ogni incrocio quale direzione va “sopra” e quale va “sotto.”Una misura della complessità del nodo è il minor numero di incroci che si verificano mentre il nodo viene spostato in tutti i modi possibili. Il più semplice possibile vero nodo è il nodo trifoglio, o overhand nodo, che ha tre tali incroci; l’ordine di questo nodo è quindi indicato come tre. Anche questo semplice nodo ha due configurazioni che non possono essere deformate l’una nell’altra, sebbene siano immagini speculari. Non ci sono nodi con meno incroci e tutti gli altri ne hanno almeno quattro.

Il numero di nodi distinguibili aumenta rapidamente all’aumentare dell’ordine. Ad esempio, ci sono quasi 10.000 nodi distinti con 13 incroci e oltre un milione con 16 incroci—il più alto conosciuto entro la fine del 20 ° secolo. Alcuni nodi di ordine superiore possono essere risolti in combinazioni, chiamate prodotti, di nodi di ordine inferiore; ad esempio, il nodo quadrato e il nodo della nonna (nodi del sesto ordine) sono prodotti di due trifogli che sono della stessa o opposta chiralità, o manualità. I nodi che non possono essere così risolti sono chiamati primi.

I primi passi verso una teoria matematica dei nodi sono state prese circa 1800 dal matematico tedesco Carl Friedrich Gauss. Le origini della moderna teoria dei nodi, tuttavia, derivano da un suggerimento del matematico-fisico scozzese William Thomson (Lord Kelvin) nel 1869 che gli atomi potrebbero essere costituiti da tubi a vortice annodati dell’etere, con diversi elementi corrispondenti a diversi nodi. In risposta, un contemporaneo, il matematico-fisico scozzese Peter Guthrie Tait, fece il primo tentativo sistematico di classificare i nodi. Sebbene la teoria di Kelvin sia stata infine respinta insieme all’etere, la teoria dei nodi ha continuato a svilupparsi come teoria puramente matematica per circa 100 anni. Poi un importante passo avanti del matematico neozelandese Vaughan Jones nel 1984, con l’introduzione dei polinomi di Jones come nuovi invarianti di nodo, ha portato il fisico matematico americano Edward Witten a scoprire una connessione tra la teoria dei nodi e la teoria quantistica dei campi. (Entrambi gli uomini hanno ricevuto Medaglie Fields nel 1990 per il loro lavoro.) In un’altra direzione, il matematico americano (e collega Fields medagliato) William Thurston ha fatto un importante collegamento tra la teoria dei nodi e la geometria iperbolica, con possibili ramificazioni in cosmologia. Altre applicazioni della teoria dei nodi sono state fatte in biologia, chimica e fisica matematica.