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Figura 1. Carte de visite (biglietto da visita) circa 1866 di Augustus De Morgan, firmato “ADeMorgan” da lui. Fotografia di Maull e Polyblank (vedi Nota). Sid Kolpas)
Una breve biografia
Augustus De Morgan (1806-1871) è stato uno dei più influenti e di successo insegnanti di matematica del 19 ° secolo. Sia per gli standard contemporanei che attuali è stato un professore straordinario. Secondo Adrian Rice ,nell’articolo, ” Cosa rende un grande insegnante di matematica? Il caso di Augustus De Morgan, ” egli è stato un esempio di un grande insegnante di matematica, uno che ha instillato un amore e l’entusiasmo per la materia nei suoi studenti, avendo così un profondo effetto su di loro, anche se non hanno mai perseguito una carriera in matematica. La prova di tale opinione proviene dai commenti sopravvissuti di De Morgan studenti, e di alcuni matematici di fama che sono stati influenzati dal suo insegnamento. Possedeva quella rara combinazione di intuizione, umorismo e creatività. Le sue lezioni erano concise e lucide; a differenza di troppi suoi coetanei, si preoccupava che i suoi studenti dovessero essere stimolati, sfidati, ispirati e accuratamente istruiti con una buona pianificazione e pedagogia. Odiava i concorsi e la mancanza di condivisione delle conoscenze che ne derivavano (un problema attuale nelle nostre scuole); era a favore dell’apprendimento cooperativo. Gli studenti hanno riferito che le sue lezioni erano ricche di umorismo, applicazioni ad altre discipline, riferimenti per ulteriori studi e amore per la sua materia. Anche il più astratto dei concetti è stato chiarito attraverso il suo brillante uso di analogia, metafora e similitudine.
De Morgan è nato a Madura, in India. Fu educato in scuole private fino al suo ingresso al Trinity College di Cambridge, all’età di sedici anni. Era uno studente eccellente, vicino alla cima della sua classe. Tuttavia, ha scelto di non ottenere il MASTER, o di competere per una borsa di studio del college a causa della sua obiezione di coscienza ai test religiosi che sono stati richiesti ai candidati a Cambridge. Nel 1828, sul merito del suo successo accademico, ha ricevuto un appuntamento come professore di matematica presso la neonata Università di Londra (che divenne University College di Londra). Avrebbe insegnato lì per oltre 30 anni, ispirando generazioni di studenti. Le generazioni successive dei suoi studenti si riferivano a lui come “Gussy” -la figura alta e robusta che guardava attraverso gli occhiali cerchiati d’oro che insegnava loro appassionatamente la matematica.
La sua reputazione è cresciuta a causa della sua eccezionale, incoraggiante, cura di insegnamento e dei suoi articoli su temi all’avanguardia, puzzle matematici, giochi, stranezze, e paradossi; De Morgan è stato il Martin Gardner del XIX secolo. L’amore di De Morgan per i puzzle matematici e le storie ha portato, postumo, alla pubblicazione del suo Budget of Paradoxes (1872); è ancora in stampa. Mentre era un uomo di natura gentile, era anche un uomo di forte convinzione. Combatté contro la pretesa religiosa ed era un sostenitore dei diritti educativi delle donne, ma si oppose al suffragio femminile. Egli credeva anche che gli studi matematici avanzati sono stati potenzialmente dannosi per la salute fisica di una donna, che era un atteggiamento pervasivo verso le donne al momento. Sempre più liberale, come è cresciuto più vecchio, ha tenuto conferenze sulla matematica a classi di donne senza carica e ha incoraggiato le donne, anche date le loro limitazioni mentali presunti, per continuare con i loro studi matematici.
Figura 2. Disegno di uno studente di Augustus De Morgan che conduce una classe presso l’University College di Londra. (Questa immagine di MS ADD 7 è usata qui per gentile autorizzazione di UCL Library Services, Special Collections.)
I testi di De Morgan erano eccezionali quanto il suo insegnamento. Oltre cento anni dopo, sarebbero ancora ottimi modelli di curriculum. Gli argomenti dei suoi testi includevano algebra, trigonometria, calcolo differenziale e integrale, calcolo delle variazioni, probabilità e logica simbolica. Tutti i testi sono chiari, interessanti e pieni di esempi meravigliosi. Tra le sue migliori pubblicazioni sono stati Un saggio sulle probabilità (1838), Calcolo (1842), Logica formale (1847), e doppia Algebra (1849), che prefigurava algebra astratta. Quando non era duro al lavoro sui suoi numerosi articoli e libri-tra cui un sesto degli articoli nel famoso Penny Cyclopaedia per il quale ha scritto un articolo che ha definito il processo di induzione matematica-De Morgan trascorso del tempo sulle sue due grandi passioni: suonare il flauto e la raccolta di libri di matematica rari. Quest’ultimo hobby lo ha aiutato a diventare l’esperto della sua epoca sulla storia della matematica.
Nel 1837 Augustus De Morgan sposò Sophia Elizabeth Frend. La loro casa, con cinque figli, divenne il centro di una grande cerchia di amici che si incontravano lì per condividere interessi intellettuali. Uno degli amici di Augusto era George Boole, che insieme a De Morgan ha aperto la strada allo sviluppo della logica simbolica. De Morgan formale Logica (1847) è andato a premere allo stesso tempo, come il lavoro di Boole sulla algebra della logica. Entrambe le opere hanno affrontato il calcolo proposizionale.
De Morgan è forse meglio ricordato per “Le leggi di De Morgan”, due teoremi correlati nella logica simbolica e nella teoria degli insiemi, rispettivamente.
Logica simbolica: \
Teoria degli insiemi: \
Augustus De Morgan va ricordato, come tutti gli insegnanti ispiratori, per la profonda influenza che ebbe sui suoi studenti; tra i quali Isaac Todhunter (1820-1884) e James Joseph Sylvester (1814-1897). Egli ha anche insegnato Ada Lovelace (1815-1852), e la incoraggiò a sviluppare il suo talento matematico; egli sentiva che aveva superiore talento matematico rispetto alla maggior parte delle donne. Fu una forza stimolante nello sviluppo della matematica e degli insegnanti di matematica, una forza trainante nello sviluppo delle basi logiche della matematica e un sostenitore della modernizzazione del calcolo. Un uomo senza pretese, ha evitato lauree honoris causa, l’appartenenza alla Royal Society, e meschinità politica e religiosa. La sua vita è stata dedicata alla sua famiglia, ai suoi amici e ai suoi studenti.
Nota: Maull & Lo studio fotografico londinese di Polyblank fu fondato nel 1854. Lo studio si è specializzato in ritratti di personaggi famosi. Il loro lavoro più notevole, Ritratti fotografici di celebrità viventi, fu pubblicato in parti dal 1856 al 1859. Consisteva in quaranta ritratti individuali con biografie, rilasciati agli abbonati e poi rilegati in un unico volume dall’abbonato dopo che tutte le parti erano state consegnate; questa era una pratica popolare all’epoca. I ritratti sono stati pubblicati anche come incisioni nel Illustrated London News. Torna alla breve biografia di De Morgan.
Figura 3. De Morgan è un saggio sulle probabilità (1838). (Dalla raccolta del Dott. Sid Kolpas)
L’algoritmo di De Morgan per l’approssimazione dei fattoriali
I fattoriali dei numeri interi svolgono un ruolo importante nella teoria della probabilità, in particolare nelle permutazioni e nelle combinazioni. Durante il 19 ° secolo, senza dispositivi di calcolo, questi fattoriali erano difficili da calcolare per grandi numeri interi. Nel suo Saggio sulle probabilità, De Morgan ha introdotto l’algoritmo descritto nella Figura 4, sotto, per approssimare \(n!,\) dove \(n\) è un numero intero. Si noti che \(\) è la notazione di De Morgan per “\(n\) fattoriale” o \(n!.\ ) Quindi, nel primo paragrafo della Figura 4, quando De Morgan scrisse”, ” intendeva il fattoriale di un dato intero positivo.
Figura 4. Istruzioni di De Morgan per approssimare \(n!\ ) da pp. 15-16 del suo Saggio sulle probabilità(Google Books)
Approssimazione di Stirling di \(n!,\) dove \ (n\) è un numero intero, è stato scoperto dal matematico scozzese James Stirling (1692-1770). Stirling pubblicò la sua opera più importante, Methodus Differentialis, nel 1730. Questo libro discute serie infinite, sommatoria, interpolazione e quadratura. La seguente formula per \(n!,\) per cui Stirling è diventato noto, appare come esempio 2 della Proposizione 28 del Methodus Differentialis. L’approssimazione di Stirling afferma che \
L’algoritmo di De Morgan forniva istruzioni passo-passo per calcolare l’approssimazione a \(n!\) dato dalla formula di Stirling.
Figura 5. Pagina del titolo del Methodus Differentialis di Stirling(Google Books)
Riferendosi all’algoritmo di De Morgan per approssimare \(n!\) e notando che \(0.4342945\) è un’approssimazione di \(\log_{10} e,\) e \(0.7981799\) è un’approssimazione di \(\log_{10}(2\pi)\) abbiamo:
- Prendere il logaritmo in base 10 del numero di \(n\), e sottrarre \(0.4342945\) da \(\log n – \log (e) = \log \left(\frac{n}{e}\right).\)
- Moltiplicare il risultato per \(n\): \(n\log \left(\frac{n}{e}\right)= \log \left(\frac{n}{e}\right)^n.\)
- A \(\log n\) aggiungere \(0.7981799\): \(\log n + \log 2\pi = \log 2n\pi.\)
- Prendi metà di questa somma: \({\frac{1}{2}}\log 2n\pi = \log \sqrt{2n\pi}.\)
- Aggiungi i risultati del 2 ° e 4 ° passaggio: \
- Poiché \(\log n!\ sim \ log \ sqrt{2n \ pi} \ left (\frac{n}{e}\ right)^n,\) poi \ (n!\ sim \ sqrt{2n \ pi} \ left (\frac{n}{e} \ right)^n,\) che è la Formula di Stirling.
- Questa approssimazione di \(n!\ ) è un po ‘ troppo piccolo; per migliorarlo, aggiungi \({\frac{1}{12n}}\) di esso a se stesso: \
Una lettera di De Morgan Riguardante la storia della matematica
Come notato sopra, Augustus De Morgan è stato un frequente collaboratore al Penny Cyclopaedia, contribuendo oltre 700 articoli per i 27 volumi della Cyclopaedia, pubblicato dal 1828 al 1843.
Figura 6. Il Penny Cyclopaedia, Volume 26, contiene un articolo di De Morgan sul testo matematico indiano Viga Ganita. (Google Books)
Una delle ultime voci di De Morgan nella Penny Cyclopaedia era un articolo intitolato “VIGA GANITA” che apparve alle pagine 318-326 del Volume 26, pubblicato nel 1843 (facilmente accessibile tramite Google Books). De Morgan ha ammesso all’inizio di questo articolo che avrebbe discutere molto di più che il Viga Ganita (ormai sempre più spesso traslitterato come Bījagaṇita o Bīja-gaṇita), un lavoro di algebra dal 12 ° secolo, il matematico e astronomo Indiano Bhascara (generalmente noto come Bhāskara II), che è stato a lungo creduto di aver vissuto e lavorato in un famoso osservatorio astronomico a Ujjain. Infatti, De Morgan ha scritto che il suo piano era quello di approfittare del posto della lettera “V” vicino alla fine dell’alfabeto per riferire l’ultima borsa di studio sulla “scienza astronomica e aritmetica degli indù” (p. 318). L’attesa potrebbe non essere valsa la pena, perché ciò che De Morgan doveva scrivere era “un resoconto degli estremi più singolari dell’opinione” (p. 318) – una storia di molto disaccordo tra gli studiosi, almeno alcuni dei quali considerava piuttosto prevenuti.
In questo articolo, De Morgan ha dato tre possibilità per l’identità e il secolo dell’Indiano, astronomo e matematico Varāhamihira, che era di interesse per lui, perché (p. 320):
scrittori che sono più citati, Indù, gli astronomi hanno i nomi di Varaha-mihira e Brahmegupta.
Si ritiene che Varāhamihira sia vissuto nel VI secolo e Brahmagupta nel VII secolo. Entrambi sono stati a lungo pensato di aver vissuto e lavorato a Ujjain in un famoso osservatorio astronomico, come è stato Bhaskara II secoli dopo. Tuttavia, come ha riferito la storica dell’astronomia e della matematica indiana Kim Plofker nel suo libro del 2009, Mathematics in India, non ci sono prove che nessuno dei tre astronomi vivesse a Ujjain o che ci fosse anche un osservatorio astronomico lì (pp. 318-319, 326).
Tuttavia, ciò che De Morgan sapeva nel 1843 era che l’indologo Henry Thomas Colebrooke e gli “astronomi di Ujein” concordarono sulle date di Varāhamihira (e Brahmagupta), ma che altri collocarono Varāhamihira secoli prima o dopo (“VIGA GANITA”, p. 320):
Dai suoi dati astronomici, Colebrooke deduce che Varaha-mihira scrisse alla fine del V secolo, che è anche la data assegnatagli dagli astronomi di Ujein. There C’è un altro Varaha-mihira, che gli stessi astronomi collocano nel 200 d.C. Ma la tradizione popolare pone Varaha-mihira nel tempo di Vicramadytia (AC 56), e nomi, come in seguito notato, molti dei suoi contemporanei.
Colebrooke morì nel 1837. Il suo protetto Horace Hayman Wilson era diventato il primo Boden professore di sanscrito all’Università di Oxford nel 1832; tuttavia, come mostrato nella Figura 7, sotto, Wilson aveva scritto nel 1835 che Varāhamihira visse durante il primo secolo AC!
Figura 7. Da A Manual of Universal History and Chronology, for the Use of Schools (1835), di H. H. Wilson, pagina 25, paragrafo 43. Qui Wilson collocò Varāhamihira nel 56 a.C. o poco dopo. “Ougein” di Wilson divenne “Ujein” nell’articolo di De Morgan e ora è conosciuto come Ujjain. (Google Books)
Nella seguente lettera di De Morgan a Wilson, De Morgan tentò di confermare le credenze di Wilson sull’identità e il secolo di Varāhamihira, probabilmente per il suo articolo di Penny Cyclopaedia prima della sua pubblicazione.
Figura 8. Lettera di Augustus De Morgan a S. A. Wilson. Si noti che la firma di De Morgan alla fine della lettera è identica a quella sul biglietto da visita in Figura 1. (Dalla raccolta del Dott. Sid Kolpas)
Trascrizione di De Morgan, Lettera
Sir
Con molte scuse per impensieriscono, del tutto sconosciuto a voi come sono, mi permetto di chiederti una domanda sul tuo manuale di storia , un lavoro che ho spesso consultato per oriental date, e che ho, sul conto della convenienza di quelle stesse date, suggerimenti utili per lo studente di matematica storia nel tratto di accompagnamento di cui chiedo la vostra accettazione.
Pagina 25 43 . Consideri Varaha-Mihira come lo scrittore astronomico di quel nome, o quello di quel nome , la cui età è discussa da Colebrooke, e che Bentley e uno scrittore francese citato da Delambre avranno (contro l’opinione di Colebrook, come ho capito) per essere l’autore del Surya Siddhanta : o pensi che ci sia una buona probabilità che sia lo stesso.
Rimango Sir
Il tuo fedele Servitore
ADeMorgan
69 Gower Street
5 aprile 1843
Non sappiamo se De Morgan abbia ricevuto una risposta da Wilson o, in caso affermativo, di cosa si trattasse. Il riferimento di De Morgan alla “tradizione popolare” nel suo articolo sulla Penny Cyclopaedia piuttosto che a Wilson per nome potrebbe indicare che Wilson si allontanò dalla sua affermazione che Varāhamihira visse intorno al 56 a.C.
Note sulla lettera di De Morgan e la sua trascrizione
Nota 1. Un Manuale di Storia e Cronologia Universale, ad uso delle Scuole. H. H. Wilson, M. A., Boden Professore di Sanscrito, Oxford. Londra: Whittaker, 1835. Wilson è stato un protetto di Colebrooke (vedi Nota 4, sotto) e divenne il primo Boden Professore di Sanscrito all’Università di Oxford nel 1832.
Nota 2. Il passaggio da A Manual of Universal History and Chronology, for the Use of Schools, di H. H. Wilson, a pagina 25, paragrafo 43, è mostrato nella Figura 7 sopra.
Nota 3. Varāhamihira (505-587) è stato un astronomo, matematico e astrologo indiano.
Nota 4. Henry Thomas Colebrooke (1765-1837) è stato un indologo inglese particolarmente interessato alla religione, linguistica e astronomia. De Morgan ha scritto nel suo articolo Cyclopaedia, ” Mr. Colebrooke fu uno dei più eminenti studiosi del sanscrito, un instancabile antiquario indiano e più che ben informato in matematica e astronomia ” (p. 319). Dopo aver trascorso oltre 30 anni (1783-1814) in India, Colebrooke tornò in Inghilterra dove ha pubblicato Algebra, con aritmetica e Mensuration, dal Sanscrito di Brahmegupta e Bhascara (Londra, 1817) e co-fondato sia la Royal Astronomical Society nel 1820 e la Royal Asiatic Society nel 1823.
Nota 5. John Bentley era un indologo inglese di cui De Morgan ha scritto sprezzante nel suo articolo “VIGA GANITA”. Jean Baptiste Joseph Delambre (1749-1822) è stato un celebre astronomo francese, autore anche di libri sulla storia dell’astronomia dai tempi antichi al xviii secolo.
Nota 6. Il Sūrya-Siddhānta, un manuale di astronomia che discute ciò che chiamiamo seno, coseno e tangente, è stato ipotizzato da alcuni come una delle opere meno conosciute di Varāhamihira. Plofker (2009) ha collocato il Sūrya-Siddhānta o “Trattato del sole” a circa 800 CE, “composto o rivisto da un’opera precedente con lo stesso nome …. Questo precedente Sūrya-Siddhānta è stato in parte conservato” in un’opera del VI secolo di Varāhamihira (p. 71).
Ritorno alla trascrizione della lettera di De Morgan
Augustus De Morgan. Un bilancio di paradossi. Londra: Longmans, Green and Company, 1872.
Augustus De Morgan. Un saggio sulle probabilità. Londra: Longman, Orme, Brown, Green and Longmans, e John Taylor, 1838.
, “Viga Ganita”, Penny Cyclopaedia della Società per la diffusione della conoscenza utile, vol. 26 (1843), pp. 318-326.
Sophia De Morgan. Libro di memorie di Augustus De Morgan. Londra: Longmans, Green and Company, 1882.
James Essinger. Algoritmo di Ada: Come la figlia di Lord Byron, Ada Lovelace, ha lanciato l’era digitale. Londra: Gibson Square Ltd., 2014.
Il J. Paul Getty Museum. “Maull e Polyblank.”
http://www.getty.edu/art/collection/artists/1214/maull-polyblank-british-active-1850s-1860s/
Victor Katz. A History of Mathematics: An Introduction (3rd ed.). Boston: Addison-Wesley, 2009.
New World Encyclopedia contributori, “Henry Thomas Colebrooke,” New World Encyclopedia, ultimo aggiornamento 24 febbraio 2009.
http://www.newworldencyclopedia.org/p/index.php?title=Henry_Thomas_Colebrooke&oldid=935378
J. J. O’Connor e E. F. Robertson. “Augustus De Morgan,” MacTutor History of Mathematics Archive, 1996.
http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/De_Morgan.html
Kim Plofker. Matematica in India. Princeton: Princeton University Press, 2009.
Adrian Rice. “Cosa rende un grande insegnante di matematica? Il caso di Augustus De Morgan.”The American Mathematical Monthly. Vol. 106, n. 6 (giugno. – Lug., 1999), pp. 534-552.
Horace Hayman Wilson. Un Manuale di Storia e Cronologia Universale, ad uso delle Scuole. Londra: Whittaker e Co., 1835.
