Traiettoria iperbolica

Come un’orbita ellittica, una traiettoria iperbolica per un dato sistema può essere definita (ignorando l’orientamento) dal suo semiasse maggiore e dall’eccentricità. Tuttavia, con un’orbita iperbolica altri parametri possono essere più utili nella comprensione del movimento di un corpo. La seguente tabella elenca i principali parametri che descrivono il percorso del corpo che segue una traiettoria iperbolica attorno ad un altro sotto ipotesi standard e la formula che li collega.

traiettoria Iperbolica equazioni

l’Elemento	Simbolo	Formula	uso di v ∞ {\displaystyle v_{\infty }} (o {\displaystyle un} ), e b {\displaystyle b}
Standard gravitazionale parametro	µ {\displaystyle \mu \,}	v 2 ( 2 / r − 1 / a ) {\displaystyle {\frac {v^{2}}{(2/r-1/a)}}}	b v ∞ 2 culla ⁡ θ ∞ {\displaystyle bv_{\infty }^{2}\cot \theta _{\infty }}
Eccentricità (>1)	e {\displaystyle e}	ℓ r p − 1 {\displaystyle {\frac {\ell }{r{p}}}-1}	1 + b 2 / a 2 {\displaystyle {\sqrt {1+b^{2}/a^{2}}}}
Semi-asse maggiore (<0)	un {\displaystyle a\,\!}	1 / ( 2 / r − v 2 / µ ) {\displaystyle 1/(2/r-v^{2}/\mu )}	− μ / v ∞ 2 {\displaystyle -\mu /v_{\infty }^{2}}
Iperbolica eccesso di velocità	v ∞ {\displaystyle v_{\infty }}	− μ / a {\displaystyle {\sqrt {-\mu /a}}}
(Esterni) Angolo tra asintoti	2 q ∞ {\displaystyle 2\theta _{\infty }}	2 cos − 1 ⁡ ( − 1 / e ) {\displaystyle 2\cos ^{-1}(-1/e)}	π + 2 tan − 1 ⁡ ( b / a ) {\displaystyle \pi +2\tan ^{-1}(b/a)}
Angolo tra asintoti e il coniugato asse delle iperboliche percorso di avvicinamento	2 ν {\displaystyle 2\nu }	2 q ∞ − π {\displaystyle 2\theta _{\infty }-\pi }	2 peccato − 1 ⁡ ( 1 ( 1 + r p ∗ v ∞ 2 / µ ) ) {\displaystyle 2\sin ^{-1}{\bigg (}{\frac {1}{(1+r{p}*v_{\infty }^{2}/\mu )}}{\bigg )}}
parametro di Impatto (semi-asse minore)	b {\displaystyle b}	− a e 2 − 1 {\displaystyle -un{\sqrt {e^{2}-1}}}
Semi-latus rectum	ℓ {\displaystyle \ell }	e e 2 − 1 ) {\displaystyle(e^{2}-1)}	− b 2 / a = h 2 / µ {\displaystyle -b^{2}/a=h^{2}/\mu }
Periapsis distanza	r p {\displaystyle r{p}}	e ( 1 − e ) {\displaystyle a(1-e)}	a 2 + b 2 + a {\displaystyle {\sqrt {a^{2}+b^{2}}}+a}
Specifico di energia orbitale	ε {\displaystyle \varepsilon }	− μ / 2 {\displaystyle -\mu /2a}	v ∞ 2 / 2 {\displaystyle v_{\infty }^{2}/2}
Specifico momento angolare	h {\displaystyle h}	µ ℓ {\displaystyle {\sqrt {\mu \ell }}}	b v ∞ {\displaystyle bv_{\infty }}

Semi-asse maggiore, energia e iperbolica eccesso velocityEdit

Il semi-asse maggiore ( un {\displaystyle a\,\!}

) non è immediatamente visibile con una traiettoria iperbolica ma può essere costruita in quanto è la distanza dalla periapsi al punto in cui i due asintoti si incrociano. Di solito, per convenzione, è negativo, per mantenere varie equazioni coerenti con orbite ellittiche.

Il semi-asse maggiore è direttamente legata alla specificità di energia orbitale ( ż {\displaystyle \epsilon \,}

) o la caratteristica di energia C 3 {\displaystyle C_{3}}

dell’orbita, e per la velocità il corpo raggiunge presso la distanza tende a infinito, l’iperbolico eccesso di velocità ( v ∞ {\displaystyle v_{\infty }\,\!}

). v ∞ 2 = 2 ż = C 3 = − µ / a {\displaystyle v_{\infty }^{2}=2\epsilon =C_{3}=-\mu /a}

o = − µ / v ∞ 2 {\displaystyle a=-{\mu /{v_{\infty }^{2}}}}

dove: µ = G m {\displaystyle \mu =Gm\,\!}

è lo standard gravitazionale parametro e C 3 {\displaystyle C_{3}}

è caratteristica di energia, comunemente utilizzato nella pianificazione di missioni interplanetarie

Nota che l’energia totale è positivo nel caso di una traiettoria iperbolica (mentre è negativo per un’orbita ellittica).

Eccentricità e angolo tra avvicinamento e partenzamodifica

Con una traiettoria iperbolica l’eccentricità orbitale (e {\displaystyle e\,}

) è maggiore di 1. L’eccentricità è direttamente correlata all’angolo tra gli asintoti. Con eccentricità poco più di 1 l’iperbole è una forma a “v” acuta. A e = 2 {\displaystyle e={\sqrt {2}}}

gli asintoti sono ad angolo retto. Con e > 2 {\displaystyle e>2}

gli asintoti sono distanti più di 120° e la distanza di periapsi è maggiore dell’asse maggiore semi. Man mano che l’eccentricità aumenta ulteriormente, il movimento si avvicina a una linea retta.

L’angolo tra la direzione del periapsis e un asintoto dal corpo centrale si trova la vera anomalia, in quanto la distanza tende a infinito ( θ ∞ {\displaystyle \theta _{\infty }\,}

), quindi 2 q ∞ {\displaystyle 2\theta _{\infty }\,}

sia l’esterno che l’angolo tra l’approccio di partenza e di indicazioni (tra asintoti). Quindi θ ∞ = cos − 1 ⁡ ( − 1 / e ) {\displaystyle \theta {_{\infty }}=\cos ^{-1}(-1/e)\,}

o e = 1 / cos ⁡ θ ∞ {\displaystyle e=-1/\cos \theta {_{\infty }}\,}

parametro di Impatto e la distanza di massimo avvicinamento Modifica

Iperbolica traiettorie seguite dagli oggetti si avvicina oggetto centrale (piccolo punto) con la stessa iperbolica eccesso di velocità (e semi-asse maggiore (=1)) e dalla stessa direzione ma con diversi parametri di impatto ed eccentricità. La linea gialla infatti passa attorno al punto centrale, avvicinandosi da vicino.

Il parametro di impatto è la distanza con cui un corpo, se continuasse su un percorso imperturbabile, perderebbe il corpo centrale al suo approccio più vicino. Con corpi che sperimentano forze gravitazionali e seguono traiettorie iperboliche è uguale all’asse semi-minore dell’iperbole.

Nella situazione di un veicolo spaziale o di una cometa che si avvicina a un pianeta, il parametro di impatto e la velocità in eccesso saranno noti con precisione. Se il corpo centrale è noto, la traiettoria può ora essere trovata, incluso quanto vicino sarà il corpo in avvicinamento alla periapsi. Se questo è inferiore al raggio del pianeta, ci si dovrebbe aspettare un impatto. La distanza di avvicinamento più vicino, o distanza periapsis, è data da:

r p = − a ( e − 1 ) = m / v ∞ 2 ( 1 + ( b v ∞ 2 / µ ) 2 − 1 ) {\displaystyle r{p}=-a(e-1)=\mu /v{_{\infty }}^{2}({\sqrt {1+(bv{_{\infty }}^{2}/\mu )^{2}}}-1)}

Così quando una cometa si avvicina a Terra (raggio efficace ~6400 km) con una velocità di 12.5 km / s (la velocità minima approssimativa di avvicinamento di un corpo proveniente dal sistema solare esterno) è per evitare una collisione con la Terra, il parametro di impatto dovrà essere di almeno 8600 km, o il 34% in più rispetto al raggio terrestre. Un corpo che si avvicina a Giove (raggio 70000 km) dal Sistema solare esterno con una velocità di 5,5 km/h, avrà bisogno che il parametro di impatto sia almeno 770.000 km o 11 volte il raggio di Giove per evitare la collisione.

Se la massa del corpo centrale non è nota, il suo parametro gravitazionale standard, e quindi la sua massa, può essere determinato dalla deflessione del corpo più piccolo insieme al parametro di impatto e alla velocità di avvicinamento. Poiché in genere tutte queste variabili possono essere determinate con precisione, un veicolo spaziale flyby fornirà una buona stima della massa di un corpo.

µ = b v ∞ 2 tan ⁡ δ / 2 {\displaystyle \mu =bv_{\infty }^{2}\tan \delta /2}

dove δ = 2 q ∞ − π {\displaystyle \delta =2\theta _{\infty }-\pi }

è l’angolo il corpo più piccolo è deviata da una linea retta nel suo corso.