Quanto segue è tratto dal nuovo libro di Joseph Mazur, Che c’entra la fortuna?:
…c’è una storia autenticamente verificata che a volte nel 1950 una ruota a Monte Carlo si avvicinò anche ventotto volte in successione retta. Le probabilità che ciò accada sono vicine a 268,435,456 a 1. Sulla base del numero di colpi di stato al giorno a Monte Carlo, è probabile che un tale evento accada solo una volta in cinquecento anni.
Mazur usa questa storia per eseguire il backup di un argomento che sostiene che, almeno fino a poco tempo fa, molte ruote della roulette non erano affatto giuste.
Supponendo che la matematica sia giusta (la controlleremo più tardi), puoi trovare il difetto nel suo argomento? Il seguente esempio aiuterà.
La probabilità di rotolamento raddoppia
Immagina di consegnare un paio di dadi a qualcuno che non ha mai tirato i dadi in vita sua. Lei li tira, e ottiene il doppio cinque nel suo primo rotolo. Qualcuno dice: “Ehi, fortuna del principiante! Quante probabilita ‘ ci sono al suo primo tiro?”
Bene, cosa sono?
Ci sono due risposte che prenderei qui, una molto meglio dell’altra.
Il primo va così. Le probabilità di rotolare un cinque con un dado sono 1 in 6; i dadi sono indipendenti quindi le probabilità di rotolare altri cinque sono 1 in 6; pertanto le probabilità di rotolamento doppio cinque sono
$$(1/6)*(1/6) = 1/36$$.
1 su 36.
Con questa logica, il nostro nuovo giocatore ha appena fatto qualcosa di piuttosto improbabile al suo primo tiro.
Ma aspetta un minuto. Nessuna coppia di doppi sarebbe stata altrettanto “impressionante” al primo tiro? Quello che dovremmo davvero calcolare sono le probabilità di ottenere il doppio, non necessariamente il cinque. Che probabilita ‘c’e’?
Poiché ci sono sei possibili coppie di doppie, non solo una, possiamo semplicemente moltiplicare per sei per ottenere 1/6. Un altro modo semplice per calcolarlo: Il primo dado può essere qualsiasi cosa. Qual è la probabilità che il secondo dado corrisponda? Semplice: 1 su 6. (Il fatto che i dadi siano lanciati simultaneamente non ha alcuna conseguenza per il calcolo.)
Non è così notevole, vero?
Per qualche motivo, molte persone hanno difficoltà a cogliere questo concetto. Le probabilità di rotolamento doppie con un singolo lancio di un paio di dadi è 1 in 6. La gente vuole credere che sia 1 su 36, ma è solo se si specifica quale coppia di doppi deve essere lanciata.
Ora riesaminiamo l ‘ “anomalia”della roulette
Questo stesso errore è ciò che fa sì che Joseph Mazur concluda erroneamente che, poiché una ruota della roulette è arrivata anche 28 volte consecutive nel 1950, era molto probabilmente una ruota ingiusta. Vediamo dove ha sbagliato.
Ci sono 37 slot su una ruota della roulette europea. 18 sono pari, 18 sono dispari, e uno è lo 0, che presumo non conti come pari o dispari qui.
Quindi, con una ruota giusta, le probabilità di un numero pari in arrivo sono 18/37. Se gli spin sono indipendenti, possiamo moltiplicare le probabilità dei singoli spin per ottenere probabilità congiunte, quindi la probabilità di due pari dritti è quindi (18/37)*(18/37). Continuando in questo modo, calcoliamo le possibilità di ottenere 28 numeri pari consecutivi per essere $$(18/37)^{28}$$.
Risulta, questo ci dà un numero che è circa il doppio (il che significa un evento due volte più raro) come indicherebbe il calcolo di Mazur. Perché la differenza?
Ecco dove Mazur ha capito bene: Sta ammettendo che una corsa di 28 numeri dispari consecutivi sarebbe altrettanto interessante (ed è altrettanto probabile) come una corsa di pari. Se 28 probabilità sarebbero venuti su, che avrebbe fatto nel suo libro troppo, perché sarebbe altrettanto straordinario per il lettore.
Quindi, raddoppia la probabilità che abbiamo calcolato e riporta che 28 pari di fila o 28 quote di fila dovrebbero accadere solo una volta ogni 500 anni. Raffinato.
Ma per quanto riguarda 28 rossi di fila? O 28 neri?
Ecco il problema: non riesce a tenere conto di molti altri eventi che sarebbero altrettanto interessanti. Due ovvi che vengono in mente sono 28 rossi di fila e 28 neri di fila.
Ci sono 18 neri e 18 rossi sulla ruota (0 è verde). Quindi le probabilità sono identiche a quelle sopra, e ora abbiamo altri due eventi che sarebbero stati abbastanza notevoli da farci chiedere se la ruota fosse di parte.
Così ora, invece di due eventi (28 quote o 28 pari), ora abbiamo quattro di questi eventi. Quindi è quasi il doppio delle probabilità che si verifichi. Pertanto, uno di questi eventi dovrebbe accadere circa ogni 250 anni, non 500. Un po ‘ meno notevole.
Che dire di altri eventi improbabili?
Che dire di una serie di 28 numeri che si alternavano esattamente per tutto il tempo, come pari-dispari-pari-dispari o rosso-nero-rosso-nero? Penso che se uno di questi si fosse verificato, Mazur sarebbe stato altrettanto entusiasta di includerlo nel suo libro.
Questi eventi sono improbabili quanto gli altri. Ora abbiamo quasi raddoppiato il nostro numero di eventi notevoli che ci farebbero indicare una ruota rotta come il colpevole. Solo ora, ce ne sono così tanti, ci aspetteremmo che uno dovrebbe accadere ogni 125 anni.
Infine, considera che Mazur sta guardando indietro di molti anni quando sottolinea questo evento apparentemente straordinario che si è verificato. Se fosse successo in qualsiasi momento tra 1900 e il presente, sto indovinando Mazur avrebbe considerato che abbastanza recente da includere come prova del suo punto che le ruote della roulette sono stati di parte non troppo tempo fa.
Questa è una finestra di 110 anni. È così sorprendente, quindi, che qualcosa che dovrebbe accadere una volta ogni 125 anni o giù di lì è accaduto durante quella grande finestra? Non proprio.
Un po ‘ improbabile forse, ma nulla che avrebbe convinto nessuno che una ruota era ingiusto.
