ウェーブレットとは何ですか？
ウェーブレットは、平均値がゼロで非ゼロのノルムを持つ、効果的に制限された持続時間の波形です。
関心のある多くの信号と画像は、トランジェントによって中断される区分的に滑らかな動作を示します。 音声信号は、母音を示す定常状態の振動に続いて子音を符号化する短いバーストによって特徴付けられる。 自然な画像にはエッジがあります。 金融時系列は、経済状況の急速な上昇と下降を特徴付ける一時的な行動を示す。 フーリエ基底とは異なり、ウェーブレット基底は、過渡的な挙動を含む区分的に規則的な信号と画像をまばらに表現するのに熟達しています。
フーリエ解析の基礎となる正弦波とウェーブレットを比較します。 正弦波は限られた期間を持っていません—彼らはマイナスからプラスの無限大に拡張します。 正弦波は滑らかで予測可能ですが、ウェーブレットは不規則で非対称になる傾向があります。
フーリエ解析は、信号をさまざまな周波数の正弦波に分割することで構成されます。 同様に、ウェーブレット解析は、信号を元の（または母の）ウェーブレットのシフトされたバージョンとスケーリングされたバージョンに分割することです。
ウェーブレットと正弦波の写真を見るだけで、滑らかな正弦波よりも不規則なウェーブレットで鋭い変化を持つ信号を解析する方が良いことが直感的に
また、局所的な範囲を持つウェーブレットで局所的な特徴をよりよく記述できることも理にかなっています。 次の例は、不連続性を持つ正弦波で構成される単純な信号の場合にこれを示しています。
正弦波で不連続を局在化
この例では、ウェーブレット解析で正弦波で不連続を局在化できることを示しています。
100Hzでサンプリングされた1Hzの正弦波を作成します。 正弦波の持続時間は1秒です。 正弦波は、t=0.5秒で不連続です。
t = linspace(0,1,100)';x = sin(2*pi*t);x1 = x-0.15;y = zeros(size(x));y(1:length(y)/2) = x(1:length(y)/2);y(length(y)/2+1:end) = x1(length(y)/2+1:end);stem(t,y,'markerfacecolor',); xlabel('Seconds'); ylabel('Amplitude');
'sym2'ウェーブレットを使用して正弦波の非縮小離散ウェーブレット変換を取得し、元の信号とともにウェーブレット(詳細)係数をプロットします。
= swt(y,1,'sym2');subplot(211)stem(t,y,'markerfacecolor',); title('Original Signal');subplot(212)stem(t,swd,'markerfacecolor',);title('Level 1 Wavelet Coefficients');
不連続性の有無にかかわらず、1Hz正弦波のフーリエ係数の大きさを比較します。
dftsig = fft();dftsig = dftsig(1:length(y)/2+1,:);df = 100/length(y);freq = 0:df:50;stem(freq,abs(dftsig));xlabel('Hz'); ylabel('Magnitude');legend('sine wave','sine wave with discontinuity');
フーリエ係数の大きさには最小の差があります。 離散フーリエ基底ベクトルは時間間隔全体にわたってサポートされているため、離散フーリエ変換はウェーブレット変換ほど効率的に不連続を検出しません。
不連続性の有無にかかわらず、正弦波のレベル1ウェーブレット係数を比較します。
= swt(x,1,'sym2');subplot(211)stem(t,swd); title('Sine Wave with Discontinuity (Wavelet Coefficients)');subplot(212)stem(t,swdx); title('Sine Wave (Wavelet Coefficients)');
二つの信号のウェーブレット係数は有意な差を示した。 ウェーブレット解析は、傾向、ブレークダウンポイント、高次導関数の不連続性、自己類似性など、他の解析技術が見逃している信号または画像の特性を明らかにすることができることがよくあります。 さらに、ウェーブレットはフーリエ技術によって提示されるデータとは異なるビューを提供するため、ウェーブレット解析は、多くの場合、かなりの劣化なしに信号を大幅に圧縮またはノイズ除去することができます。
