마린 Benčević
행
May7,2018·5min 읽
What’s 가장 작은 0 보다 큰? 이것은”아무도 없다”와”의존한다”사이의 복잡한 대답이있는 간단한 질문 중 하나입니다.
당신이 수학자에게 물어 보면,그들은 수학을 깰 것이기 때문에 그런 숫자가 될 수 없다고 말할 것입니다. 만약 당신이 숫자 엔,여기서 엔 0 이후 가장 작은 숫자라면 숫자가있을 수 없습니다 엔/2,왜냐하면 엔 이미 가장 작기 때문입니다. 이것은 수학자들이 좋아하지 않는 분할 자체가 분해된다는 것을 의미합니다.
당신이 컴퓨터를 요구하는 경우에,당신은 실제로 대답을 얻을 것이다. 현실 세계와 달리 컴퓨터는 단순히 들어갈 수 없기 때문에 무한한 숫자를 가지고 있지 않습니다. 컴퓨터는 메모리 레지스터에 번호를 저장하며 각 레지스터에는 고정 된 비트 수가 있습니다. 세 자리 숫자 만 있다고 상상해보십시오. 당신이 대표 할 수있는 가장 큰 숫자는 999 입니다. 이것은 컴퓨터에서 일어나는 일입니다.
이것은 컴퓨터의 정수 집합이 자릿수에 의해 제한된다는 것을 의미합니다. 컴퓨터에는 확실히 가장 큰 숫자가 있습니다(예:INT_MAX). 이 숫자는 최대 자릿수이며 모두 이진1으로 설정됩니다. 8 비트 시스템에서 이 숫자는11111111입니다.
우리는 음수를 포함함으로써 문제를 더욱 복잡하게 만들 수 있습니다. 8 비트의 데이터가 있다면 첫 번째 비트를 사용하여 숫자의 부호를 나타낼 수 있습니다. 플러스의 경우0,마이너스의 경우1. 이제 우리는 우리의 숫자에 대해 7 비트를 가지고 있으므로 가장 큰 숫자는 이전의 가장 큰 숫자보다 작은011111111입니다.
우리는 아직 끝나지 않았습니다. 우리는 또한 십진수를 나타낼 필요가 있습니다. 0.12 가 작은 숫자 일지라도 여전히 123 과 같이 세 자릿수가 있습니다. 차이점은 우리가 생각해야 할 것이 하나 더 있다는 것입니다:소수점,기수 점이라고도 합니다. 우리는 숫자 및 기수 점의 위치를 모두 저장해야합니다.
정수가 얼마나 큰지 제한되지만 10 진수는 크기와 정밀도 모두에서 제한됩니다. 당신은 숫자의 고정 된 번호가있는 경우,당신은 소수점 뒤에 넣을 수 있습니다 만 많은 자리가있다. 이 때문에 컴퓨터는 10 진수를 반올림 해야 합니다.
이 10 진수를 어떻게 저장합니까? 컴퓨터는 정수 만 이해하므로 정수를 사용하여 10 진수 만 저장하는 방법이 필요합니다.
숫자3.14가 있다고 가정 해 봅시다. 먼저 모든 숫자를 써봅시다 우리는314을 얻습니다. 그게 시작이야. 우리는 10 의 제곱을 곱하면 소수점을 숫자 주위로”이동”할 수 있다는 것을 알고 있습니다. 314 * 10^-1은 31.4 이고314 * 10^-2는 3.14 입니다.
숫자 3.14 를 나타내는 데 필요한 것은 314,10 및-2 의 세 가지 정수입니다. 314 는 유효숫자이고,이 숫자는 모두 적힌 숫자입니다.
10 은 기수 또는 기수라고합니다. 우리는 10 의 제곱을 곱하면 10 진수의 소수점을 이동할 수 있다는 것을 알고 있습니다. 모든 숫자 기지에 대해 동일한 작동: 기본 2(또는 이진)에서 2 의 제곱을 곱하여 점을 이동할 수 있습니다.
우리가 이동하는 제곱을 지수라고 하며,소수점이 어디에 있는지 알려줍니다.
모든 10 진수를 간단한 수식으로 세 숫자로 쓸 수 있습니다:
number = significand * base^exponent3.14 = 314 * 10^-2
32.8 = 328 * 10^-1
컴퓨터는 부호,지수 및 유효 숫자를 32 또는 64 비트 자리의 단일 문자열에 저장하여 10 진수를 저장합니다. 일반적으로 부호에는 1 비트,지수를 저장하는 11 비트,유효 숫자를 저장하는 53 비트가 있으며 최대 64 를 더합니다.
그 점을 염두에두고,우리의 질문으로 돌아 가자: 가장 작은 0 이 아닌 숫자는 무엇입니까? 세 자리 숫자만 빼면 가능한 가장 작은 숫자는 0.01 입니다. 네 자리 숫자로 0.001 입니다. 여기서 패턴을 알 수 있습니다:유효 숫자는 항상 동일하며 지수 만 변경됩니다.
우리에게 필요한 것은1의 유효 숫자입니다. 소수점을 왼쪽으로 옮겨야 합니다 이를 위해서는 가능한 가장 작은(가장 부정적인)지수가 필요합니다.
얼마나 작은,메모리의 숫자의 레이아웃에 따라 달라집니다. 만약 우리가 지수에 대해 11 비트를 가지고 있다면,우리는 단지 10 비트 길이의 숫자를 쓸 수 있으며,부호를 위해 1 비트를 예약 할 수 있습니다. 64 비트 시스템에서 가장 작은 지수는-308입니다.
결국 64 비트 시스템에서 가능한 가장 작은 숫자는1 * 10^-308정도입니다. 즉 작은입니다!
우리는 가장 작은 숫자가 있음을 확립했습니다. 이 숫자는 우리가 컴퓨터를 얼마나 신뢰할 수 있는지 알려줍니다. 매우 큰 숫자 또는 매우 정확한 숫자가 필요한 작업을 수행하는 경우 이 숫자를 염두에 두어야 합니다.
우리가 방금 계산한 것은 0 의 마지막 자리에 있는 단위입니다. 정말 멋진 단어 인 것 외에도,울프는 컴퓨터에서 두 숫자 사이의 최소 거리가 무엇인지 알려줍니다. 우리는 0 과 다음 숫자 사이의 최소 거리 인 0 의 울프를 계산했습니다.
계산된 값을 0 에 더하고 비교하려고 하면 같은 숫자가 아닙니다. 그러나 이 값보다 작은 값을 더하면 컴퓨터에 관한 한 여전히 같은 숫자가 됩니다.
print(0 == 0 + ulp(0)) // false
print(0 == 0 + ulp(0) / 2) // true
우리에게는 0 이 아닌 값을 숫자에 더하면 다른 숫자가 생성되지만 컴퓨터는 어딘가에 반올림해야하므로 두 숫자가 같은지 반드시 알 수는 없습니다.
컴퓨터 시스템을 더 쉽게 비교하기 위해 우리는 1 의 울프를 사용하고 그것을 기계 엡실론이라고 부릅니다. 기계 엡실론을 알고 나면 다음 공식을 사용하여 다른 모든 울프를 계산할 수 있습니다:
ulp(x) = machine epsilon * radix^exponent(x)
우리가 계산 한 값은 매우 작기 때문에 코딩하는 동안 그 한계에 미치지 못할 것입니다. 그러나 우리는 0 에 대한 값을 계산했습니다. 소수점의 왼쪽에 필요한 숫자가 많을수록 오른쪽에 필요한 숫자가 적어집니다. 즉,숫자가 클수록 정밀도가 떨어집니다. 즉,지수의 직접 함수입니다. 10 진수 점을 오른쪽으로 이동하면 울프가 증가하고 정밀도가 떨어집니다.
이 정보가 다음에 코드에서 이상한 부동 소수점 오류가 발생할 때 도움이되기를 바랍니다. 컴퓨터는 매우 강력하지만 컴퓨터조차도 한계가 있다는 것을 기억하십시오.
