매듭 이론

매듭 이론,수학,3 차원에서 폐쇄 곡선의 연구,그리고 다른 통해 절단 한 부분없이 자신의 가능한 변형. 매듭은 인터레이스 및 어떤 방식으로 문자열의 조각을 반복하고 끝을 결합하여 형성으로 간주 될 수있다. 첫 번째 질문은 그러한 곡선이 진정으로 매듭이 있는지 또는 단순히 엉키지 않을 수 있는지 여부,즉 공간에서 그것을 원과 같은 표준 미지의 곡선으로 변형시킬 수 있는지 여부입니다. 두 번째 질문은,더 일반적으로,어떤 두 개의 주어진 곡선이 다른 매듭을 나타내거나 실제로 하나가 다른 매듭으로 지속적으로 변형 될 수 있다는 의미에서 같은 매듭인지 여부입니다.

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대수학 선생님이 옳았습니다. 당신은 졸업 후 수학을 사용합니다-이 퀴즈! 당신이 학교에서 기억하는 것을보고,어쩌면 그 과정에서 몇 가지 새로운 사실을 배울 수 있습니다.

매듭을 분류하기위한 기본 도구는 평면에 각 매듭을 투사 구성-사진 빛 아래 매듭의 그림자-및 프로젝션 자체를 교차 횟수를 계산,어떤 방향으로”이상”가는 각 교차에 주목하는”아래.”매듭의 복잡성의 측정은 매듭이 가능한 모든 방법으로 주위에 이동 될 때 발생하는 횡단의 최소 수입니다. 가장 간단한 가능한 진실한 매듭은 3 개의 그런 횡단이 있는 3 개의 포일 매듭,또는 오버핸드 매듭입니다;이 매듭의 순서는 그러므로 3 로 표시됩니다. 이 간단한 매듭조차도 거울 이미지이지만 서로 변형 될 수없는 두 가지 구성을 가지고 있습니다. 더 적은 횡단을 가진 매듭이 없으며 다른 모든 매듭은 적어도 4 개가 있습니다.

구별 가능한 매듭의 수는 순서가 증가함에 따라 빠르게 증가합니다. 예를 들어,13 개의 횡단을 가진 거의 10,000 개의 별개의 매듭이 있으며,16 개의 횡단을 가진 백만 개가 넘습니다.이 매듭은 20 세기 말까지 가장 많이 알려져 있습니다. 특정 고차 매듭은 저차 매듭의 제품이라고하는 조합으로 해결할 수 있습니다; 예를 들어,사각형 매듭과 할머니 매듭(6 차 매듭)은 동일하거나 반대되는 키랄성 또는 손으로 만드는 두 개의 트레 포일의 산물입니다. 그렇게 해결할 수 없는 매듭을 프라임이라고 합니다.

매듭의 수학적 이론을 향한 첫 걸음은 독일의 수학자 칼 프리드리히 가우스에 의해 약 1800 년에 취해졌다. 그러나 현대 매듭 이론의 기원은 1869 년 스코틀랜드의 수학자-물리학 자 윌리엄 톰슨(켈빈 경)이 원자가 다른 매듭에 해당하는 다른 요소를 가진 에테르의 매듭 된 소용돌이 튜브로 구성 될 수 있다는 제안에서 비롯된 것입니다. 이에 현대 스코틀랜드의 수학자-물리학 자 피터 거스리 타이트는 매듭을 분류하는 최초의 체계적인 시도를했습니다. 켈빈의 이론은 결국 에테르와 함께 거부되었지만 매듭 이론은 약 100 년 동안 순수한 수학적 이론으로 계속 발전했습니다. 그런 다음 1984 년 뉴질랜드 수학자 본 존스의 주요 돌파구는 존스 다항식을 새로운 매듭 불변량으로 도입하여 미국의 수학 물리학 자 에드워드 위튼이 매듭 이론과 양자 장 이론 사이의 연결을 발견하게했습니다. (두 사람은 자신의 작품에 대한 1990 년 필드 메달을 수상했다.)다른 방향으로,미국의 수학자(및 동료 필드 메달리스트)윌리엄 스턴은 매듭 이론과 쌍곡선 기하학 사이에 중요한 연결 고리를 만들어 우주론에서 가능한 파급 효과가있었습니다. 매듭 이론의 다른 응용 프로그램은 생물학,화학 및 수학 물리학에서 이루어졌습니다.