그것은 정말로 당신이”무한대”를 의미하는 것에 달려 있습니다. 당신이$\인티$를 의미한다면,그것은 숫자가 아니라 오히려 어떤 양(일반적으로 자연 또는 실수)이 유한 한 경계를 넘어 성장한다는 개념에 대한 속기입니다. 따라서,당신은 그것을 아무것도 곱할 수 없으며,특히 그 자체가 아닙니다. 그러나 형식의 유한 합보다 큰 요소를 가진 몇 가지 산술 시스템이 있습니다$1+1+\누도+1$,따라서 크기가 무한하다고 할 자격이 있습니다. 나는 당신에게 그들 중 세 가지에 대해 말할 것이다(약간 단순화,하지만 잘하면 직접 잘못되지 않음).
첫 번째는 추기경이다. 그들은 무언가(세트)가 얼마나 큰지 의미합니다. 유한 추기경은 단지 자연수(“그 많은 요소를 가진 집합의 크기”를 의미 함)일 뿐이지 만,이나이트 추기경도 있습니다. 가장 작은 무한 추기경은 자연 숫자 집합의 크기 인$\알레프 _0$입니다.
추기경의 추가는 크기의 추가가 작동 할 것으로 예상하는 방식으로 작동,즉 서로 옆에 두 세트를 넣어,총이 얼마나 많은 요소가 계산. 더 구체적으로,두 개의 추기경 숫자가있는 경우$\카파 _1,\카파 _2$,각각 두 세트의 크기를 나타냅니다$엑스 _1,엑스 _2$,다음 추기경$\카파 _1+\카파 _2$는 분리 된 조합의 카디널리티입니다.}$.
추기경의 곱셈은 다음과 같은 방식으로 작동합니다: 이 두 가지 유형의 쌍 중 하나를 사용하면 두 가지 유형의 쌍 중 하나를 사용할 수 있습니다. 이 경우 최대 값은 최대 값이고 최대 값은 최대 값이며 최대 값은 최대 값이며 최대 값은 최대 값입니다. 즉,$\카파$가 무한 추기경 인 경우$\카파^2=\카파$,그래서 우리는 또한$\제곱\카파=\카파$를 얻습니다.
(지수를 정의할 수도 있습니다. 예를 들어$2$는 두 요소 집합이므로$\카파^2$는 두 요소 집합에서$\카파$로 설정된 함수 집합입니다. 두 요소 집합의 함수는 정렬 된 쌍과 동일하므로 실제로$\카파\시도\카파$와 동일합니다. 깔끔한,응?)
두 번째는 서수입니다. 그들은 물체의 순서를 의미합니다. 그러나 모든 순서가 아니라 하위 집합이 가장 작은 요소가있는 순서,소위 잘 순서. 다시 말하지만,유한 서수는 단지 자연수(“모든 작은 자연수의 순서”를 의미 함)일 뿐이지 만,지난 번과 마찬가지로 무한 서수가 있으며,그 중 가장 작은 것은$\오메가 _0$또는$\오메가$,그리고 그것은 자연수의 순서를 의미합니다.
서수의 추가는 다음과 같은 방법으로 수행됩니다:$\감마,\람다$가 서수 인 경우$\감마+\람다$는$\감마$앞에$\람다$를 넣어 순서입니다. 예를 들어,$1+\오메가$는$\오메가$와 같습니다.왜냐하면 자연수를 취하고 모든 요소 앞에 하나의 요소를 놓으면 순서에 관한 한 자연수 자체와 정확히 동일하게 보이기 때문입니다. 그러나$\오메가+1$는 모든 자연수 다음에 단일 요소를 넣는 것을 의미하며 이는 다른 순서입니다.
곱셈은 다음과 같은 방식으로 작동합니다:$\감마\시도\람다$는$\람다$를 취하여 얻는 서수이며,그 순서의 모든 요소를$\감마$의 복사본으로 대체 한 다음 그 순서대로 모두 추가합니다(예: (우리는 당신이 왼쪽에서 오른쪽으로 당신의 방법을 작동하는 지정)서로 후 넣어. 그런 식으로$2\시도\오메가$는 자연수를 취하고 각 숫자를 두 숫자로 교환 한 다음이 모든 쌍을 서로 뒤 따르는 것을 의미합니다. 이것은 우리를 제공합니다$\오메가$백. 그러나$\오메가\시노트 2$는 정렬 된 쌍을 취하고 두 요소를 자연수의 복사본으로 교환 한 다음 한 복사본을 다른 복사본 뒤에 넣는 것을 의미합니다. 이것은 당신이$\오메가+\오메가$를 계산하여 얻을 것과 동일합니다.
이 프레임 워크에서 무한 서수의 곱셈과 덧셈은 추기경만큼 사소한 것이 아닙니다. 우리는 얻을,예를 들면,$\오메가\시도\오메가=\오메가+\오메가+\오메가+\시도$,이는 가장 작은 무한 완전 제곱 서수입니다. 자연수 자체와 마찬가지로 제곱근이 있는 서수와 그렇지 않은 서수가 있습니다. 특히$\오메가$에는 제곱근이 없습니다.
(서수에 대한 지수도 정의할 수 있습니다: 이 경우$\감마^\람다$는$\람다$를 취하고 그 안에있는 모든 요소를$\감마$의 복사본으로 대체하고 곱셈이 반복되는 덧셈으로 정의 된 것처럼 모두 함께 곱하면 얻는 서수입니다. 이것은 만든다$\오메가^2=\오메가\시도\오메가$. 깔끔한,응? 서수 및 추기경 덧셈과 곱셈은 다소 유사하지만 지수 개념은 매우 다릅니다.
마지막으로,나는 초현실적 인 숫자에 대해 말씀 드리죠. 서수와 추기경이 집합 이론에서 많이 사용되는 동안,초현실적 인 숫자는 호기심에 가깝습니다. 그들은 또한 당신의 머리를 감싸기가 조금 더 어렵습니다. 그러나 나는 그들을 정말로 좋아하므로 여기에 간단한 요약이 있습니다.
초현실적 인 숫자$엑스$는$\랭글 로 작성된 정렬 된 세트 쌍으로 구성됩니다. 이 세트는 모두 다른 초현실적 인 숫자로 구성됩니다. $엑스$그런 다음 사이의 초현실적 인 숫자를 의미합니다. 두 개의 초현실적 인 숫자가 주어지면 다음과 같은 방식으로 순서가 정의됩니다.:
- 이 예제에서는 다음과 같은 작업을 수행 할 수 있습니다.$
(따라서 동일한 정의를 다시 적용해야 합니다. 이것은,실제로,가장 간단한 숫자를 제외한 모든 매우 지루한 얻을 것이다. 이 재귀 개념은 덧셈과 곱셈을 정의 할 때 다시 나타납니다.(5066>
사실,나는 더 일찍 진실하지 않았다. 초현실적 인 숫자는 그러한 쌍의 등가 클래스입니다(이것은 정말로 감사하는 데 오랜 시간이 걸렸습니다). 한 쌍 자체를 초현실적 인 숫자 형식이라고합니다. 두 가지 형식$엑스,와이$동일한 등가 클래스에 속합니다.
각 초현실적 인 숫자에는 소위”세대”가 있습니다. 첫 번째 초현실적 인 숫자(세대$0$)는$0=\랭글{}\중간{}\랭글$왼쪽 및 오른쪽 세트가 비어 있습니다. 다음 두 개의 초현실적 인 숫자(세대$1$)아르$1=\랭글 0\중간{}\랭글$과$-1=\랭글{}\중간 0\랭글$. 세$2$로 구성되어 있$-2=\langle{}\mid-1\rangle$,$-\frac12=\langle-1\mid0\rangle$,$\frac12=\langle0\mid1\rangle$및$2=\langle1\mid{}\rangle$.왜냐하면 우리는 또한$2=\랭글 -1,0,1\중간{}\랭글$를 가지고 있고,예를 들어$0=\랭글 -2\중간 1\랭글$를 가지고 있기 때문입니다. 우리가 실제로$\랭글 -2\중간 1\랭글 -2\중간 1\랭글 -2\중간 1\랭글 -2\중간 1\랭글 -2\중간 1\랭글 -2\중간 1\랭글 -2\중간 1\랭글 -2\중간 1\랭글 -2\중간 1\랭글 -2\중간 1\랭글 -2\중간 1\랭글 -2\중간 1\랭글 -2\중간 1\랭글 -2\중간 1\랭글 -2\중간 1\랭글 -2\중간 1\랭글 -2\중간 1\랭글
우리는 모든 유한 세대에서 더 세밀하고 세밀한 분열을 계속하고 있습니다.2017-11-12 00:00:00:00:00:00:00:00:00:00:00:00:00:00:00:00:00:00:00:00:00:00 우리는 또한 첫 번째 무한 서수 인$\오메가$자체를$\랭글 1,2,3,\중간 범위$와 그 역수$\오메가=중간 범위 1\오메가=중간 범위 18,\프랙 14,\프랙 12,1\랭글$로 얻습니다.
지금까지 나는 산술에 대해 이야기하지 않았습니다. 그 없이는,호출 할 이유가 없다$\랭글 0\중간 1\랭글$$\\프레익 12$그리고 아무것도. 이 경우 추가는 다음과 같이 재귀 적으로 정의되며,추가는 다음과 같이 재귀 적으로 정의됩니다.y:x_l\in 이 예제는 다음과 같습니다.:곱셈이 좀 더 지저분 해지기 때문에 몇 가지 속기를 사용할 것입니다.$$1=====================================하나는 예상 할 수 있듯이,오른쪽 번호를 부정하고 추가하여. 부정은 오른쪽 및 왼쪽 세트의 모든 요소를 부정하고 두 요소를 교환하여 수행됩니다.
서수와 마찬가지로$\오메가^2=\오메가\시도\오메가$는 완전 제곱입니다. 그러나 여기에 재미있는 부분이 있습니다:모든 긍정적 인 초현실적 인 숫자는 제곱근을 가지고 있습니다. 을 얻을 수의 제곱근$\omega$,우리가 필요 그래서 좀 더 많은 정의(이론적으로,하나의 수 있고,정당화하는 모든 이 이름 중 하나에 의해 수행하는 이외과 곱셈을 볼 수 당신이 얻을 무엇을 해야한다,그러나 그 많은 일):$$\오메가 코-1=\langle1,2,3,\ldots\mid\오메가\rangle\\\오메가 코-2=\langle1,2,3,\ldots\mid\오메가 코-1\rangle\\\오메가-3=\langle1,2,3,\ldots\mid\오메가 코-2\rangle\\\vdots$$그리고 우리는 얻을 수$\frac\omega2=\langle1,2,3,\ldots\mid\ldots,\omega-3,\오메가 코-2,\오메가 코-1\rangle$. 이 경우,우리는 그(것)들에게 그(것)들에게 그(것)들에게 그(것)들에게 그(것)들에게 그(것)들에게 그(것)들에게 그(것)들에게 그(것)들에게 그(것)들에게 그(것)들에게 그(것)들에게 그(것)들에게 그(것)들에게 그(것)들에게 그(것)들에게 그(것)들에게 그(것)들에게 그(것)들에게 그(것)들에게 그(것)들에게 그(것)들에게 그(것)들에게 그(것)들에게 그(것)들에게 그(것)들에게 그런 다음 우리는 정의 할 수 있습니다$\프랙\오메가 8,\프랙\오메가{16}$등등. 우리는 우리가 원하는 모든 것을 가지고 있으며,우리가 원하는 모든 것을 가지고 있습니다. 우리는 세대에 지금$\오메가^2$.
