1.4 이동 및 확장

응용 프로그램의 많은 기능은 다양한 장소에서 상수를 삽입하여 간단한 함수에서 구축됩니다. 이러한 상수가 그래프의 모양에 미치는 영향을 이해하는 것이 중요합니다.

수평 이동. 우리가$엑스$에 의해$엑스-씨$에 대한 수식에서 발생하는 모든 곳에서$에프(엑스)$,그래프는$씨$를 오른쪽으로 이동합니다. (만약$기음$음수,이 그래프는 이상 이동 것을 의미한다$|기음|$왼쪽으로.)예를 들어,그래프$와이=(엑스-2)^2$이다$엑스^2$-포물선$엑스$-축의 점 2 에 꼭지점을 갖기 위해 이동했습니다. 그래프의$와이=(엑스+1)^2$는 같은 포물선 위에 이동 왼쪽 그래서 정점을$-1$에$엑스$-축. 잘 참고:교체 할 때$엑스$에 의해$엑스-씨$우리는 의미에주의를 기울여야합니다. 이 경우 두 번째 값은 다음과 같습니다. 포물선이 아닌 기울기가 1 인 선입니다.

수직 이동. 우리가 대체 할 경우$와이$로$와이-디$,다음 그래프까지 이동$디$단위. (만약$디$이 음수라면,이 그래프는$|디|$단위를 아래로 이동한다는 것을 의미합니다. 이 경우 방정식의 다른 변에$와이=에프(엑스)$및$와이$로 대체됩니다$와이-디$를 얻으려면$와이-디=에프(엑스)$,우리는 동등하게 이동할 수 있습니다$디$방정식의 다른 변에$와이=에프(엑스)+디$. 따라서,이 원칙은 다음과 같이 명시 될 수 있습니다.$의 그래프 와이=에프(엑스)+디$,의 그래프를 가지고$와이=에프(엑스)$그리고$디$단위 위로 이동하십시오.예를 들어,함수$와이=엑스^2-4 엑스=(엑스-2)^2-4$에서 얻을 수 있습니다$와이=(엑스-2)^2$(마지막 단락 참조)그래프를 이동하여 4 단위 아래로.그 결과$엑스^2$-포물선은$(2,-4)$에 꼭지점을 갖도록 오른쪽으로 2 단위를 이동하고 4 단위를 이동했습니다.

경고. 혼동하지 마십시오$에프(엑스)+디$과$에프(엑스+디)$. 예를 들어,$에프(엑스)$는 함수$엑스^2$,다음$에프(엑스)+2$는 함수$엑스^2+2$,동안$에프(엑스+2)$는 함수$(엑스+2)^2=엑스^2+4 엑스+4$.

예제 1.4.1(원)위의 두 원칙의 중요한 예는 원으로 시작합니다. 이 원은 원점을 중심으로 반경$아르 자형$의 원입니다. (우리가 보았 듯이,이것은 단일 함수가 아닙니다$와이=에프(엑스)$,오히려 두 함수$와이=\오후\제곱(아르 자형^2-엑스^2}$함께 넣어;어떤 경우에,두 가지 이동 원리는 다음과 같은 방정식에 적용됩니다. 원에 대한 효과는 그것을 이동하는 것입니다$씨$오른쪽 및$디$위로,따라서 원의 반지름을 얻는 것입니다$아르 자형$지점을 중심으로$(씨,디)$. 이 방법을 작성하는 우리에게 알려줍니다 어떤 원의 등수,반드시 원점을 중심으로.

우리는 나중에 함수의 그래프의 모양에 대한 상수의 영향에 관한 두 가지 원칙을 더 사용하기를 원할 것입니다.

수평 팽창. 는 경우$x$로 대체$x/A$에 수식$는>1$다음에 대한 영향 그래프 toexpand 그것은 요인에 의하여$A$에서$x$방향으로(거리에서$y$-axis). $에이$가 0 에서 1 사이 인 경우 그래프에 미치는 영향은$1/에이$($와이$-축을 향해)의 계수로 계약하는 것입니다. 우리는”확장”이라는 단어를 사용하여 확장 또는 계약을 의미합니다.예를 들어,$를$로 바꾸면$와이$-축을 2 의 인수 분해로 축소하는 효과가 있습니다. 만약$에이$이 음수이면,우리는$|에이/$의 배수로 팽창하고$와이$-축을 뒤집습니다. 따라서$엑스$로$-엑스$를 바꾸면$와이$-축에 대해 그래프의 미러 이미지를 잡는 효과가 있습니다. 예를 들어,함수$와이=\제곱근{-엑스}$,도메인이$\{엑스\중간 엑스\르 0\}$,그래프를 가져 와서$\제곱근{엑스}$그리고 그것을 주위에 뒤집기$와이$-축 에 두 번째 사분면.

수직 팽창. 만약$와이$가 수식에서$와이/비$로 대체되고$비>0$,그래프에 미치는 영향은$비$수직 방향. 이전처럼,이 확장 또는 계약 여부에 따라$비$보다 크거나 작은.이 함수에는 다음과 같은 함수가 있습니다. 그래프에 미치는 영향은$1/$1 의 비율로$1 의 비율로$2 의 비율로$2 의 비율로$2 의 비율로$2 의 비율로$2 의 비율로$2 의 비율로$2 의 비율로$2 의 비율로$2 의 비율로$2 의 비율로$2 의 비율로$2 의 비율로$2 의 비율로$2 의 비율로$2 의 비율로$2 의 비율로$2 의 비율로$2 의 비율로$0

예 1.4.2(타원)두 가지 확장 원리의 기본 예는 반주 축$에이$및 반주 축$비$의 타원에 의해 제공됩니다. 우리는 다음과 같은 타원을 얻습니다.단위 원-이론 중심 반경 1 의 원,방정식은$엑스^2+와이^2=1$—및 인수 분해$ㅏ$수평 및$비$수직으로. 을 얻을 수 equationof 의 resultingellipse,십자가$x$축$\pm a$고 교차$y$-axisat$\pm b$,우리는 우리를 교체$x 여$$x/a$및$y$여$y/b$에 equationfor 단위 원입니다. 이 제공$$\left({x\통해}\right)^2+\left({y\over b}\right)^2=1\qquad\를 지정하는데 도움을 줍{또는}\qquad{x^2\통해^2}+{y^2\over b^2}=1.$$

마지막으로,우리가 둘 다 포함하는 기능을 분석하고 싶다면변속 및 팽창,일반적으로 가장 간단한 작업은변속 먼저,그리고 교대. 예를 들어,우리가 원하는 경우 함수에$에이$의 요인에 의해$엑스$-방향 그리고 나서 시프트$씨$오른쪽으로,우리는 이것을 대체하여$엑스$먼저$엑스/에이$그리고$(엑스-씨)$수식에서. 예를 들어,단위 원을$에이$에$엑스$-방향 그리고$비$에$와이$-방향 마지막 단락에서 타원을 얻으려면 우리는 그것을 이동하기를 원했습니다. 이 방정식에는 다음과 같은 두 가지 유형이 있습니다.이 경우 첫 번째 교대를 수행 한 후 두 번째 교대를 수행 한 후 두 번째 교대를 수행 한 후 두 번째 교대를 수행 한 후 두 번째 교대를 수행 한 후 두 번째 교대를 수행 한 후 두 번째 교대를 수행 한 후 두 번째 교대를 수행 한 후 두 번째 교대를 수행 한 후 두 번째 교대를 수행 한 후 두 번째 교대를 수행 한 후 두 번째 교대를 수행 한 후 두 번째 교대를 수행 한 후 두 번째 교대를 수행 한 후 두 번째 교대를 수행 한 후 두 번째 교대를$$그림 참조 1.4.1.

그림 1.4.1. 2015 년 11 월 15 일-2015 년 12 월 15 일-2015 년 12 월 15 일-2015 년 12 월 15 일-2015 년 12 월 15 일-2015 년 12 월 15 일-2015 년 12 월 15 일-2015 년 12 월 15 일-2015 년 12 월 15 일-2015 년 12 월 15 일-2015 년 12 월 15 일-2015 년 12 월 15 일-2015 년 12 월 15 일-2015 년 12 월 15 일-2015 년

연습 문제 1.4

$의 그래프,$의 그래프 와이=1/엑스$의 그래프,$의 그래프 와이=1/엑스$(상단 단위 반원)에서 시작하여 다음 각 함수의 그래프를 스케치하십시오.

이 방법은 다음과 같습니다.-2}$

1.4.2$\-1-1/(+2)$

1.4.3=1.4.3=1.4.3=1.4.3=1.4.3=1.4.3=1.4.3=1.4.3+2}$

예 1.4.이 경우,나는 그(것)들에게 그(것)들에게 그(것)들에게 그(것)들에게 그(것)들에게 그(것)들에게 그(것)들에게 그(것)들에게 그(것)들에게 그(것)들에게 그(것)들에게 그(것)들에게 그(것)들에게 그(것)들에게 그(것)들에게 그(것)들에게 그(것)들에게 그(것)들에게 그(것)들에게 그(것)들에게 그(것)들에게 그(것)들에게 그(것)들에게 그(것)들에게 그(것)들에게 그(것)들에게-1)^2}$

예를 들면 다음과 같습니다.-2)}$

1.4.8=1.4.8=1.4.8=1.4.8=1.4.8=1.4.8=1.4.8=1.4.8=/3)^2}$

1.4.9=1.4.9=1.4.9=1.4.9=1.4.9=1.4.9=1.4.9+1)$

1.4.10=1.4.10=1.4.10=1.4.10=1.4.10=1.4.10=1.4.10=1.4.10-5)^2/9}$

1.4.11=1.4.11=1.4.11=1.4.11=1.4.11=1.4.11-1)$

100-25(엑스)-1)^2}+2$

의 그래프$에프(엑스)$아래에 나와 있습니다.다음 함수의 그래프를 스케치합니다.

1.4.13-1)$

예 1.4.$14\ds y=1+f(x+2)$

전 1.4.15$\ds y=1+2 층(x)$

전 1.4.16$\ds y=2 층(3x)$

전 1.4.17$\ds y=2 층(3(x-2))+1$