veel functies in toepassingen zijn opgebouwd uit eenvoudige functies door constanten op verschillende plaatsen in te voegen. Het is belangrijk om te begrijpenhet effect van dergelijke constanten hebben op het uiterlijk van de grafiek.
horizontale diensten. Als we $x$ vervangen door $x-C$ overal waar het voorkomt in de formule voor $f(x)$, dan verschuift de grafiek over $C$ naar de juiste waarde. (Als $C$ negatief is, dan betekent dit dat de grafiek meer dan$|C|$ naar links verschuift.) Bijvoorbeeld, de grafiek van $y=(x-2)^2$ is de$x^2$-parabool verschoven om zijn hoekpunt op het punt 2 op de$x$-as te hebben. De grafiek van $y=(x+1)^2$ is dezelfde parabool die naar links is verschoven om zijn hoekpunt op $-1$ op de $x$-as te hebben. Let wel: bij het vervangen van $x$ door $x-C$ moeten we aandacht besteden aan betekenis, niet beperkt uiterlijk. Beginnend met $y = x^2$ en letterlijk $x$vervangen door $x-2$ geeft $y = x-2^2$. Dit is $y=x-4$, Een lijn met helling 1, niet geasifte parabool.
verticale verschuivingen. Als we $y$ vervangen door $y-D$, dan verschuift de grafiek $D$ eenheden. (Als $D$ negatief is, dan betekent dit dat de Graph omlaag beweegt $|D|$ eenheden.) Als de formule is geschreven in de vorm$y=f(x)$ en als $y$ wordt vervangen door $y-D$ om $y-D=f(x)$ te krijgen, kunnen we $D$ naar de andere kant van de vergelijking verplaatsen en$y=f(x)+d$schrijven. Dus, dit principe kan worden gesteld: om de grafiek van $y=f(x)+D$ te krijgen, neem de grafiek van $y=f(x)$ en verplaats het $D$ eenheden omhoog.Bijvoorbeeld, de functie $y=x^2-4x=(x-2)^2-4$ kan worden verkregen van$y=(x-2)^2$ (zie de laatste alinea) door de grafiek 4 eenheden naar beneden te verplaatsen.Het resultaat is de$x^2 $ -parabool verschoven 2 eenheden naar rechts en 4 unitsdown om zijn hoekpunt op het punt $(2, -4)$.
waarschuwing. Verwar $f (x)+D$ niet met $f (x+D)$. Bijvoorbeeld, als $f (x)$ de functie $x^2$ is, dan is $f(x)+2$ de functie $x^2+2$,terwijl $f(x+2)$ de functie $(x+2)^2=x^2+4x+4$is.
voorbeeld 1.4.1 (Cirkels) een belangrijk voorbeeld van de twee bovengenoemde principes begint met de cirkel $x^2+y^2=r^2$. Dit is de cirkel van straal$r$ gecentreerd op de oorsprong. (Zoals we zagen, is dit niet een enkele functie$y = f (x)$, maar eerder twee functies $y=\pm\sqrt{r^2-x^2}$ Samen; in ieder geval zijn de twee verschuivende principes van toepassing op vergelijkingen als deze die niet in de vorm $y=f(x)$zijn.) Als we $x$vervangen door $x-C$ en $y$ vervangen door $y-D$—de vergelijking krijgen$(x-C)^2+(y-D)^2=r^2$—het effect op de cirkel is om het $C$ naar rechts te verplaatsen en $D$ naar boven, waardoor de cirkel van straal $r$gecentreerd wordt op het punt $(C,D)$. Dit vertelt ons hoe de vergelijking van een cirkel te schrijven, niet noodzakelijkerwijs gecentreerd op de oorsprong.
we zullen later nog twee principes willen gebruiken met betrekking tot de effecten van momenten op het uiterlijk van de grafiek van een functie.
horizontale dilatatie. Als $x$ wordt vervangen door$x/A$ in een formule en $a>1$, dan is het effect op de grafiek om het uit te breiden met een factor $A$ in de $x$-richting (weg van de$y$-as). Als $A$ tussen 0 EN1 ligt dan is het effect op de grafiek om met een factor $1/A$(naar de $y$-as) te krimpen. We gebruiken het woord “verwijden” om uit te breiden of samen te trekken.
bijvoorbeeld, het vervangen van $x$ door$x/0.5=x / (1/2) = 2x$ heeft het effect van samentrekken naar de $y$-as door een factor 2. Als $a $ negatief is, verwijden we met een factor $|A|$ en dan schuiven we rond de $y$-as. Dus, het vervangen van $x$ door $ – x$ heeft het effect van het nemen van het spiegelbeeld van de grafiek met betrekking tot de $y$-as. Bijvoorbeeld, de functie $y=\sqrt {- x}$, die domein $\{x\in\R\mid x\le 0\}$ heeft, wordt verkregen door de grafiek van $\sqrt{x}$ te nemen en deze om de $y$-as te draaien in het tweede kwadrant.
verticale dilatatie. Als $y$ wordt vervangen door $y/B$ in een formule en$B>0$, dan is het effect op de grafiek dat deze wordt verwijd met een factor $B$ in de verticale richting. Zoals voorheen is dit een uitbreiding of contract afhankelijk van de vraag of $B$ groter of kleiner is dan één.Merk op dat als we een functie $y=f(x)$hebben,het vervangen van $y$ door $y/B$ gelijk is aan het vermenigvuldigen van de functie op het rechte pad met $B$: $y = Bf (x)$. Het effect op de grafiek is om de afbeelding uit te breiden van de$x $ -as met een factor $B $ als $B>1$, om het te contracteren naar de $x$ – as met een factor $1 / B$ Als $0
voorbeeld 1.4.2 (ellipsen) een basisvoorbeeld van de twee uitbreidingsprincipes wordt gegeven door een ellips van een halve grote as $a$ en een halve Minor as $b$. We krijgen zo ‘ n ellips door te beginnen met de eenheidscirkel—de cirkel van straal 1 gecentreerd op het origineel, waarvan de vergelijking $x^2+y^2=1$is—en verwijdend door een factor $a$ horizontaal en door een factor $B$ verticaal. Om de gelijkstelling van de resultingellipse te krijgen, die de $x$-as kruist op $ \ pm a$ en de $y$-axisat $\pm b$ kruist, vervangen we $x $ door $x / A$ en $y$ door $y / b$ in de gelijkstelling voor de eenheidscirkel. Dit geeft $$\left ({x\over a}\right)^2+\left ({y\over b}\right)^2=1\qquad\hbox{or}\qquad {x^2\over a^2}+{y^2\over b^2}=1.$$
ten slotte, als we een functie willen analyseren die zowel shifts als dilations omvat, is het meestal het eenvoudigste om eerst met de dilations te werken, en dan de verschuivingen. Bijvoorbeeld, als we een functie willen verdileren met een factor $A$ in de $x$-richting en dan $C$ naar rechts verschuiven, dan doen we dit door $x$ eerst te vervangen door $x/A$en dan door $(x-C)$ in de formule. Als voorbeeld, stel dat, na het verwijden van onze eenheidscirkel met $A$ in de$x $ -richting en met $b$in de $y$-richting om de ellips in de laatste alinea te krijgen, we dan wilden verschuiven een afstand $h$ naar rechts en een afstand $k$naar boven, om zo gecentreerd te zijn op het punt $(h,k)$. De nieuwe ellips zou vergelijking$$\left({x-h\over a}\right)^2+\left({y-k\over b}\right)^2=1 hebben.$ $ Merk wel op dat dit anders is dan eerst shifts doen met $h $ en $k$ en dan verwijderingen met $a$ en $b$:$$\left ({x\over a}-h\right)^2+\left ({y\over b}-k\right)^2=1.Zie figuur 1.4.1.
figuur 1.4.1. Ellipsen: $ \ left ({x-1\over 2}\right)^2+\left ({y-1\over 3}\right)^2=1$ Aan de linkerkant, $\left ({x\over 2}-1\right)^2+\left ({y\over 3}-1\right)^2=1$ Aan de rechterkant.
Oefeningen 1.4
Beginnen met de grafiek van $\ds y=\sqrt{x}$, de grafiek van $\ds y=1/x$, en thegraph van $\ds y=\sqrt{1-x^2}$ (de bovenste eenheid halve cirkel), schets thegraph van elk van de volgende functies:
Ex 1.4.1$\ds f(x)=\sqrt{x-2}$
Ex 1.4.2$\ds f(x)=-1-1/(x+2)$
Ex 1.4.3$\ds f(x)=4+\sqrt{x+2}$
Ex 1.4.4$\ds y=f(x)=x/(1-x)$
Ex 1.4.5$\ds y=f(x)=\sqrt {x}$
Ex 1.4.6$\ds f(x)=2+\sqrt{1-(x-1)^2}$
Ex 1.4.7$\ds f(x)=-4+\sqrt{-(x-2)}$
Ex 1.4.8$\ds f(x)=2\sqrt{1-(x/3)^2}$
Ex 1.4.9$\ds f(x)=1/(x+1)$
Ex 1.4.10$\ds f(x)=4+2\sqrt{1-(x-5)^2/9}$
Ex 1.4.11$\ds f(x)=1+1/(x-1)$
Ex 1.4.12$\ds f(x)=\sqrt{100-25(x-1)^2}+2$
De grafiek van $f(x)$ is hieronder weergegeven.Schets de grafieken van de volgende functies.
Ex 1.4.13$ \ ds y = f (x-1)$
Ex 1.4.$14\ds-y=1+f(x+2)$
Ex 1.4.15$\ds-y=1+2f(x)$
Ex 1.4.16$\ds y=2f(3x)$
Ex 1.4.17$\ds y=2f(3(x-2))+1$
Ex 1.4.18$\ds y=(1/2)f(3x-3)$
Ex 1.4.19$\ds y=f(1+x/3)+2$
