het volgende komt uit Joseph Mazur ’s nieuwe boek, What’ s Luck Got to Do with it?:
…er is een authentiek geverifieerd verhaal dat ergens in de jaren 1950 een wiel in Monte Carlo kwam zelfs achtentwintig keer achter elkaar. De kans dat dat gebeurt is bijna 268.435.456 tegen 1. Gebaseerd op het aantal staatsgrepen per dag in Monte Carlo, zal zo ‘ n gebeurtenis waarschijnlijk maar één keer in de vijfhonderd jaar plaatsvinden.
Mazur gebruikt dit verhaal om een back-up te maken van een argument dat stelt dat, althans tot voor kort, veel roulette wielen helemaal niet eerlijk waren.
aangenomen dat de wiskunde juist is (we zullen het later controleren), kunt u de fout in zijn argument vinden? Het volgende voorbeeld zal helpen.
de kans op Dubbelrollen
stel je voor dat je een paar dobbelstenen geeft aan iemand die nog nooit in haar leven heeft gerold. Ze rolt ze, en krijgt dubbele fives in haar eerste worp. Iemand zegt: “Hé, beginnersgeluk! Hoe groot is de kans op haar eerste worp?”
wel, wat zijn ze?
er zijn twee antwoorden die ik hier zou nemen, de ene veel beter dan de andere.
de eerste gaat als volgt. De kansen van het rollen van een vijf met een dobbelsteen zijn 1 op 6; de dobbelstenen zijn onafhankelijk dus de kansen van het rollen van een andere vijf zijn 1 op 6; daarom is de kans op het rollen van dubbele fives zijn
$$(1/6)*(1/6) = 1/36$$.
1 op 36.
volgens deze logica deed onze nieuwe speler net iets vrij onwaarschijnlijk op haar eerste worp.
maar wacht even. Zou een paar dubbelgangers niet net zo “indrukwekkend” zijn op de eerste worp? Wat we echt moeten berekenen zijn de kansen van het rollen van dubbele, niet per se vijf. Wat is de kans daarop?
omdat er zes mogelijke paren dubbel zijn, niet slechts één, kunnen we gewoon vermenigvuldigen met zes om 1/6 te krijgen. Een andere eenvoudige manier om het te berekenen: De eerste dobbelsteen kan van alles zijn. Wat is de kans dat de tweede dobbelsteen ermee overeenkomt? Eenvoudig: 1 op 6. (Het feit dat de dobbelstenen tegelijkertijd worden gegooid is van geen belang voor de berekening.)
niet zo Opmerkelijk, of wel?
om de een of andere reden hebben veel mensen moeite om dat concept te begrijpen. De kans op het rollen verdubbelt met een enkele worp van een paar dobbelstenen is 1 op 6. Mensen willen geloven dat het 1 op 36 is, maar dat is alleen als je specificeert welk paar dubbel moet worden gegooid.
laten we nu de roulette “anomalie”
opnieuw bekijken deze zelfde fout is wat ervoor zorgt dat Joseph Mazur ten onrechte concludeert dat omdat een roulette wiel kwam zelfs 28 rechte keer in 1950, het was zeer waarschijnlijk een oneerlijk wiel. Eens kijken waar hij fout ging.
er zijn 37 slots op een Europees roulettewiel. 18 zijn even, 18 zijn oneven, en één is de 0, waarvan ik aanneem dat het hier niet als even of oneven telt.
dus, met een fair wheel, is de kans op een even getal 18/37. Als spins onafhankelijk zijn, kunnen we de waarschijnlijkheid van enkele spins vermenigvuldigen om gezamenlijke waarschijnlijkheden te krijgen, dus de kans op twee rechte even is dan (18/37)*(18/37). Doorgaan op deze manier, berekenen we de kans op het krijgen van 28 opeenvolgende even nummers te zijn $$(18/37)^{28}$$.
blijkt, dit geeft ons een getal dat ongeveer twee keer zo groot is (wat betekent dat een gebeurtenis twee keer zo zeldzaam is) als Mazur ‘ s berekening zou aangeven. Waarom het verschil?
hier heeft Mazur gelijk: Hij geeft toe dat een run van 28 opeenvolgende oneven nummers net zo interessant zou zijn (en is net zo waarschijnlijk) als een run van even. Als 28 odds zou zijn gekomen, dat zou hebben gemaakt in zijn boek ook, want het zou net zo buitengewoon voor de lezer.
dus verdubbelt hij de waarschijnlijkheid die we berekenden, en meldt dat 28 even ‘ s op een rij of 28 odds op een Rij slechts eens in de 500 jaar zouden moeten gebeuren. Fijn.
maar hoe zit het met 28 rode op een Rij? Of 28 zwarten?
hier is het probleem: hij slaagt er niet in om meerdere gebeurtenissen te verklaren die net zo interessant zouden zijn. Twee voor de hand liggende die te binnen schieten zijn 28 rode op een rij en 28 Zwarte op een Rij.
er zijn 18 zwarten en 18 rood op het wiel (0 is groen). Dus de waarschijnlijkheden zijn identiek aan die hierboven, en we hebben nu nog twee gebeurtenissen die opmerkelijk genoeg zouden zijn geweest om ons af te vragen of het wiel bevooroordeeld was.
dus nu, in plaats van twee gebeurtenissen (28 odds of 28 evens), hebben we nu vier van dergelijke gebeurtenissen. Dus het is bijna twee keer zo waarschijnlijk dat er een zou optreden. Daarom moet een van deze gebeurtenissen ongeveer elke 250 jaar plaatsvinden, niet 500. Iets minder opmerkelijk.
hoe zit het met andere onwaarschijnlijke gebeurtenissen?
hoe zit het met een reeks van 28 getallen die de hele tijd precies afwisselden, zoals even-oneven-even-oneven, of rood-zwart-rood-zwart? Ik denk dat als een van deze had plaatsgevonden, Mazur zou zijn net zo enthousiast om het op te nemen in zijn boek.
deze voorvallen zijn net zo onwaarschijnlijk als de andere. We hebben nu bijna ons aantal opmerkelijke gebeurtenissen verdubbeld dat ons zou doen wijzen op een gebroken wiel als de boosdoener. Alleen nu, zijn er zo veel van hen, we zouden verwachten dat er een zou gebeuren om de 125 jaar.Tot slot, bedenk dat Mazur terugkijkt over vele jaren wanneer hij wijst op deze ene schijnbaar buitengewone gebeurtenis die zich heeft voorgedaan. Was het gebeurd op elk moment tussen 1900 en het heden, ik gok Mazur zou hebben overwogen dat recent genoeg om als bewijs van zijn punt dat roulette wielen waren bevooroordeeld niet al te lang geleden.
dat is een venster van 110 jaar. Is het dan zo verrassend dat iets dat eens in de 125 jaar zou moeten gebeuren, gebeurde tijdens dat grote raam? Niet echt.
enigszins onwaarschijnlijk misschien, maar niets dat iemand zou overtuigen dat een wiel oneerlijk was.
