Hyperbolische Baan

net als een elliptische baan kan een hyperbolische baan voor een bepaald systeem worden gedefinieerd (zonder oriëntatie) door zijn halve hoofdas en de excentriciteit. Nochtans, met een hyperbolische baan kunnen andere parameters nuttiger zijn in het begrijpen van de beweging van een lichaam. De volgende tabel toont de belangrijkste parameters die het pad van het lichaam beschrijven dat een hyperbolische baan rond een ander volgt onder standaard veronderstellingen en de formule die hen verbindt.

Hyperbolische vergelijkingen traject

Element	Formule	met behulp van de v ∞ {\displaystyle v_{\infty }} (of een {\displaystyle een} ), en b {\displaystyle b}
Standaard zwaartekracht parameter	μ {\displaystyle \mu \,}	v 2 ( 2 / r − 1 / a ) {\displaystyle {\frac {v^{2}}{(2/r-1/a)}}}	b v ∞ 2 kinderbedje ⁡ θ ∞ {\displaystyle bv_{\infty }^{2}\cot \theta _{\infty }}
Excentriciteit (>1)	e {\displaystyle e}	ℓ r p − 1 {\displaystyle {\frac {\ell }{r_{p}}}-1}	1 + b 2 / a 2 {\displaystyle {\sqrt {1+b^{2}/a^{2}}}}
Halve grote as (<0)	een {\displaystyle a\,\!}	1 / ( 2 / r − v 2 / μ ) {\displaystyle 1/(2/r-v^{2}/\mu )}	− μ / v ∞ 2 {\displaystyle -\mu /v_{\infty }^{2}}
Hyperbolische teveel snelheid	v ∞ {\displaystyle v_{\infty }}	− μ / a {\displaystyle {\sqrt {-\mu /a}}}
(Externe) Hoek tussen asymptoten	2 θ ∞ {\displaystyle 2\theta _{\infty }}	2 cos − 1 ⁡ ( − 1 / e ) {\displaystyle 2\cos ^{-1}(-1/e)}	π + 2 tan − 1 ⁡ ( b / a ) {\displaystyle \pi +2\tan ^{-1}(b/a)}
Hoek tussen de asymptoten en het conjugaat as van de hyperbolische pad van de aanpak	2 ν {\displaystyle 2\nu }	2 θ ∞ − π {\displaystyle 2\theta _{\infty }-\pi }	2 sin − 1 ⁡ ( 1 ( 1 + r p × v ∞ 2 / μ ) ) {\displaystyle 2\sin ^{-1}{\bigg (}{\frac {1}{(1+r_{p}*v_{\infty }^{2}/\mu )}}{\bigg )}}
Impact parameter (semi-korte as)	b {\displaystyle b}	− een e 2 − 1 {\displaystyle -een{\sqrt {e^{2}-1}}}
Semi-latus rectum	ℓ {\displaystyle \ell }	en ( e 2 − 1 ) {\displaystyle een(e^{2}-1)}	− b 2 / a = h 2 / μ {\displaystyle -b^{2}/a=h^{2}/\mu }
Periapsis afstand	r p {\displaystyle r_{p}}	en ( 1 − e ) {\displaystyle a(1-e)}	a 2 + b 2 + a {\displaystyle {\sqrt {a^{2}+b^{2}}}+a}
Specifieke orbitale energie	ε {\displaystyle \varepsilon }	− μ / 2 {\displaystyle -\mu /2a}	v ∞ 2 / 2 {\displaystyle v_{\infty }^{2}/2}
Specifieke impulsmoment	h {\displaystyle h}	μ ℓ {\displaystyle {\sqrt {\mu \ell }}}	b v ∞ {\displaystyle bv_{\infty }}

Halve lange as, energie en hyperbolische overtollige velocityEdit

De halve grote as a {\displaystyle a\,\!}

) is niet direct zichtbaar met een hyperbolische baan, maar kan worden geconstrueerd omdat het de afstand is van de periapsis tot het punt waar de twee asymptoten kruisen. Meestal is het volgens afspraak negatief om verschillende vergelijkingen consistent te houden met elliptische banen.

de halve hoofdas is direct verbonden met de specifieke orbitale energie (ϵ {\displaystyle \ epsilon \,}

) of karakteristieke energie C 3 {\displaystyle C_{3}}

van de baan, en aan de snelheid bereikt het lichaam op de afstand die naar oneindigheid neigt, de hyperbolische oversnelheid (v ∞ {\displaystyle v_ {\infty }\,\!}

). v ∞ 2 = 2 ż = C 3 = − μ / a {\displaystyle v_{\infty }^{2}=2\epsilon =C_{3}=-\mu /a}

of = − μ / v ∞ 2 {\displaystyle een=-{\mu /{v_{\infty }^{2}}}}

waar: μ = G m {\displaystyle \mu =Gm\,\!}

is de standaard gravitatieparameter en C 3 {\displaystyle C_{3}}

is karakteristieke energie, vaak gebruikt bij het plannen van interplanetaire missies

merk op dat de totale energie positief is in het geval van een hyperbolische baan (terwijl het negatief is voor een elliptische baan).

excentriciteit en hoek tussen benadering en Vertrek

met een hyperbolische baan de orbitale excentriciteit (e {\displaystyle e}\,}

) groter is dan 1. De excentriciteit is direct gerelateerd aan de hoek tussen de asymptoten. Met excentriciteit iets meer dan 1 is de hyperbool een scherpe ” v ” vorm. Bij e = 2 {\displaystyle e = {\sqrt {2}}}

de asymptoten staan haaks. Met e > 2 {\displaystyle e>2}

de asymptoten liggen meer dan 120° uit elkaar en de periapsis afstand is groter dan de halve hoofdas. Naarmate de excentriciteit verder toeneemt, nadert de beweging een rechte lijn.

De hoek tussen de richting van de periapsis en een asymptoot van de centrale instantie is de ware anomalie als de afstand naar oneindig ( θ ∞ {\displaystyle \theta _{\infty }\,}

), dus 2 θ ∞ {\displaystyle 2\theta _{\infty }\,}

is de uitwendige hoek tussen het benaderen en verlaten richtingen (tussen asymptoten). Dan θ ∞ = cos − 1 ⁡ ( − 1 / e ) {\displaystyle \theta {_{\infty }}=\cos ^{-1}(-1/e)\,}

of e = − 1 / cos ⁡ θ ∞ {\displaystyle e=-1/\cos \theta {_{\infty }}\,}

Impact parameter en de afstand van dichtste nadering Bewerken

Hyperbolische trajecten gevolgd door objecten te benaderen centrale object (kleine stip) met dezelfde hyperbolische teveel snelheid (en de halve lange as (=1)) en van dezelfde richting maar met verschillende impactparameters en excentriciteiten. De gele lijn loopt inderdaad rond de centrale stip, die er dichtbij komt.

de impactparameter is de afstand waarmee een lichaam, als het op een onverstoord pad zou doorgaan, het centrale lichaam zou missen bij zijn dichtstbijzijnde benadering. Met lichamen die gravitatiekrachten ervaren en hyperbolische trajecten volgen is het gelijk aan de semi-minor as van de hyperbool.

wanneer een ruimtevaartuig of een komeet een planeet nadert, zullen de inslagparameter en de oversnelheid nauwkeurig bekend zijn. Als het centrale lichaam bekend is kan de baan nu gevonden worden, inclusief hoe dicht het naderende lichaam zal zijn bij periapsis. Als dit minder is dan de radius van de planeet, is een inslag te verwachten. De afstand van de dichtstbijzijnde nadering, of periapsis afstand, wordt gegeven door:

r p = − a ( e − 1 ) = μ / v ∞ 2 ( 1 + ( b-v ∞ 2 / μ ) 2 − 1 ) {\displaystyle r_{p}=a(e-1)=\mu /v{_{\infty }}^{2}({\sqrt {1+(bv{_{\infty }}^{2}/\mu )^{2}}}-1)}

Dus als een komeet nadert de Aarde (effectieve radius ~6400 km) met een snelheid van 12.5 km / s (de geschatte minimum naderingssnelheid van een lichaam afkomstig van het buitenste zonnestelsel) is om een botsing met de aarde te voorkomen, de impact parameter moet ten minste 8600 km, of 34% meer dan de straal van de aarde. Een lichaam dat Jupiter (straal 70000 km) van het buitenste zonnestelsel nadert met een snelheid van 5,5 km/h, moet de inslagparameter minstens 770.000 km of 11 keer de straal van Jupiter hebben om een botsing te voorkomen.

indien de massa van het centrale lichaam niet bekend is, kan de standaard gravitatieparameter, en dus de massa, worden bepaald door de vervorming van het kleinere lichaam samen met de botsparameter en de naderingssnelheid. Omdat meestal al deze variabelen nauwkeurig kunnen worden bepaald, zal een ruimtevaartuig flyby een goede schatting van de massa van een lichaam te bieden.

μ = b v ∞ 2 tan ⁡ δ / 2 {\displaystyle \mu =bv_{\infty }^{2}\tan \delta /2}

waar δ = 2 θ ∞ − π {\displaystyle \delta =2\theta _{\infty }-\pi }

is de hoek van de kleinere body is afgebogen van een rechte lijn in de cursus.