Knopentheorie

Knopentheorie, in de wiskunde, de studie van gesloten krommen in drie dimensies, en hun mogelijke vervormingen zonder dat een deel door een ander snijdt. Knopen kunnen worden beschouwd als gevormd door interlacing en lus een stuk touw op elke manier en vervolgens de uiteinden aan te sluiten. De eerste vraag die rijst is of zo ‘ n kromme werkelijk geknoopt is of eenvoudig ontwarmd kan worden; dat wil zeggen of men hem in de ruimte kan vervormen tot een standaard niet-Geknoopte Kromme zoals een cirkel. De tweede vraag is of, meer in het algemeen, elke twee gegeven krommen verschillende knopen vertegenwoordigen of eigenlijk dezelfde knoop zijn in de zin dat de ene continu in de andere kan worden vervormd.

Britannica Quiz

alles over wiskunde Quiz

uw algebra leraar had gelijk. Je zal wiskunde gebruiken na het afstuderen-voor deze quiz! Zie wat je je herinnert van school, en misschien leren een paar nieuwe feiten in het proces.

het basisgereedschap voor het classificeren van knopen bestaat uit het projecteren van elke knoop op een vlak—beeld de schaduw van de knoop onder een licht—en het tellen van het aantal keren dat de projectie zichzelf kruist, noteren bij elke kruising welke richting “over” gaat en welke “onder gaat.”Een maat voor de complexiteit van de knoop is het minste aantal kruisingen dat optreedt als de knoop op alle mogelijke manieren wordt verplaatst. De eenvoudigste mogelijke ware knoop is de klaverbladknoop, of bovenhandknoop, die drie dergelijke kruisingen heeft; de volgorde van deze knoop wordt daarom aangeduid als drie. Zelfs deze eenvoudige knoop heeft twee configuraties die niet in elkaar kunnen worden vervormd, hoewel het spiegelbeelden zijn. Er zijn geen knopen met minder kruisingen, en alle andere hebben er minstens vier.

het aantal te onderscheiden knopen neemt snel toe naarmate de orde toeneemt. Bijvoorbeeld, er zijn bijna 10.000 verschillende knopen met 13 kruisingen, en meer dan een miljoen met 16 kruisingen—de hoogst bekende tegen het einde van de 20e eeuw. Bepaalde hogere-orde knopen kunnen worden opgelost in combinaties, producten genoemd, van lagere-orde knopen; bijvoorbeeld, de vierkante knoop en de granny knoop (zesde orde knopen)zijn producten van twee driepassen die van dezelfde of tegenovergestelde chiraliteit, of handigheid. Knopen die niet zo kunnen worden opgelost worden priemgetallen genoemd.De eerste stappen naar een wiskundige theorie van knopen werden rond 1800 gezet door de Duitse wiskundige Carl Friedrich Gauss. De oorsprong van de moderne knopentheorie komt echter voort uit een suggestie van de Schotse wiskundige-natuurkundige William Thomson (Lord Kelvin) in 1869 dat atomen zouden kunnen bestaan uit Geknoopte vortexbuizen van de ether, met verschillende elementen die overeenkomen met verschillende knopen. In reactie hierop deed een tijdgenoot, de Schotse wiskundige-natuurkundige Peter Guthrie Tait, de eerste systematische poging om knopen te classificeren. Hoewel Kelvin ‘ s theorie uiteindelijk werd afgewezen, samen met ether, bleef de knopentheorie zich ontwikkelen als een puur wiskundige theorie voor ongeveer 100 jaar. Een grote doorbraak door de Nieuw-Zeelandse wiskundige Vaughan Jones in 1984, met de introductie van de Jones-veeltermen als nieuwe knoopinvarianten, leidde de Amerikaanse wiskundige Edward Witten tot het ontdekken van een verband tussen de knopentheorie en de kwantumveldentheorie. (Beide mannen werden bekroond met Fields medailles in 1990 voor hun werk. In een andere richting legde de Amerikaanse wiskundige William Thurston een belangrijke link tussen de knopentheorie en de hyperbolische meetkunde, met mogelijke vertakkingen in de kosmologie. Andere toepassingen van de knopentheorie zijn gemaakt in de biologie, chemie en wiskundige natuurkunde.