Snaren, staande golven en harmonischen

Inleiding: trillingen, snaren, pijpen, percussie….

hoe maken we muzikale klanken? Om een geluid te maken, hebben we iets nodig dat trilt. Als we muzieknoten willen maken heb je meestal de vibratie nodig om een bijna constante frequentie te hebben: dat betekent een stabiele toonhoogte. We willen ook een frequentie die gemakkelijk kan worden gecontroleerd door de speler. In elektronische instrumenten wordt dit gedaan met elektrische circuits of met klokken en herinneringen. In niet-elektronische instrumenten wordt de stabiele, gecontroleerde trilling geproduceerd door een staande golf. Hier bespreken we de manier waarop snaren werken. Dit is ook een nuttige introductie voor het bestuderen van blaasinstrumenten, omdat vibrerende snaren gemakkelijker te visualiseren zijn dan de trilling van de lucht in blaasinstrumenten. Beide zijn minder ingewikkeld dan de trillingen van de bars en skins van de percussie familie. Voor de fysica van staande golven, is er een multimedia tutorial.

reizende golven in tekenreeksen

de strijkers in de viool, piano en ga zo maar door zijn strak gespannen en trillen zo snel dat het onmogelijk is om te zien wat er aan de hand is. Als je een lange veer kunt vinden (een speeltje dat bekend staat als een ‘slinky’ werkt goed) of enkele meters flexibele rubberen slang, kun je een paar leuke experimenten proberen die het gemakkelijk maken om te begrijpen hoe snaren werken. (Zacht rubber is hier goed voor, Tuinslangen zijn niet echt flexibel genoeg.) Eerst vasthouden of klem het ene uiteinde en dan, met het andere uiteinde nog in de ene hand, stretch het een beetje (niet te veel, een beetje sag zal geen pijn doen). Trek het nu opzij met de andere hand om een knik te maken, en laat het dan gaan. (Dit, in slow motion, is wat er gebeurt als je een touwtje plukt.) Je zult waarschijnlijk zien dat de knik langs de “string” reist, en dan komt het terug naar jou. Het zal plotseling aan je hand zijwaarts trekken, maar als je hem stevig vasthoudt, zal hij weer reflecteren.

eerst zult u merken dat de snelheid van de golf in de string toeneemt als u deze strakker rekt. Dit is handig voor het stemmen van instrumenten – maar we lopen op de zaken vooruit. Het hangt ook af van het” gewicht ” van de snaar – het reist langzamer in een dikke, zware snaar dan in een lichte snaar van dezelfde lengte onder dezelfde spanning. (Strikt genomen is het de verhouding tussen spanning en massa per lengte-eenheid die de snelheid bepaalt, zoals we hieronder zullen zien.)

laten we nu eens goed kijken naar de reflectie aan het vaste uiteinde. Je zult merken dat als je het touw naar links trekt, de knik die van je weg gaat naar links is, maar dat het terug komt als een knik naar rechts – de reflectie is omgekeerd. Dit effect is niet alleen belangrijk in snaarinstrumenten, maar ook in blazers en percussie. Wanneer een golf een grens tegenkomt met iets dat niet beweegt of verandert (of dat niet gemakkelijk verandert), wordt de reflectie omgekeerd. (Het feit dat het is omgekeerd geeft nul verplaatsing aan het einde. Echter, reflectie met elke fase verandering zal een staande golf te geven.)

geplukte snaren

als je een snaar op een gitaar of bas plukt, doe je iets dergelijks, hoewel de snaar hier aan beide uiteinden vast zit. Je trekt de snaar er op een gegeven moment uit en laat hem dan los zoals getoond. De motie die volgt is interessant, maar ingewikkeld. De eerste beweging wordt hieronder getoond. Echter, de hoge frequentie componenten van de beweging (de scherpe bochten in de snaar) snel verdwijnen – dat is de reden waarom het geluid van een gitaar noot wordt meer mellow een seconde of meer nadat je het plukken.

een schets van de reflectie van reizende knikken veroorzaakt door het plukken van een string. Op de momenten vertegenwoordigd door (e) en (m), de snaar is recht zodat het de potentiële energie geassocieerd met het trekken zijwaarts heeft verloren, maar het heeft een maximale kinetische energie. Merk op dat, bij de reflecties, de fase van de knik wordt veranderd door 180°: van omhoog naar beneden of vice versa. Merk ook op hoe de knikken elkaar ‘passeren’ als ze elkaar in het midden ontmoeten.

Waarom is de reflectie omgekeerd? Nou, als we aannemen dat het is geklemd of gebonden aan een vast object, het reflectiepunt niet echt bewegen. Maar kijk naar de beweging van de snaar door het vergelijken van de verschillende tijden weergegeven in de linkerschetsen. Merk op dat de string achter de knik terug beweegt naar de ongestoorde positie (beneden in de schets). Als de knik het einde nadert, wordt het kleiner en wanneer het het onbeweeglijke einde bereikt, is er helemaal geen knik – de snaar is een ogenblik recht. Maar de snaar heeft nog steeds zijn neerwaartse momentum, en dat draagt het voorbij de positie van rust, en produceert een knik aan de andere kant, die dan terug beweegt in de andere richting. (De beweging van golven in snaren wordt in meer detail beschreven in reizende golven, die filmclips en animaties heeft. Op deze pagina zullen we ons echter concentreren op de muzikale implicaties. )

zoals hierboven vermeld, wordt deze beweging pas onmiddellijk na de pluk waargenomen. Naarmate de hoogfrequente componenten energie verliezen, verdwijnen de scherpe knikjes en benadert de vorm geleidelijk die van de fundamentele trillingsmodus, die we hieronder bespreken.

een boogstring gedraagt zich nogal anders

Ten eerste heeft hij een continue energiebron en kan dus dezelfde beweging voor onbepaalde tijd behouden (of tenminste totdat de boog op is. Ten tweede is de snaarvorm die nodig is om de gelijkmatig bewegende boog aan te passen anders.

een schets van de reflectie van reizende kniks veroorzaakt door het buigen van een string. Zie de animatie en een uitleg van de boog-snaar interactie in bogen en snaren

reizende golven en staande golven

een interessant effect treedt op als u probeert een eenvoudige golf langs het touwtje te sturen door herhaaldelijk met één uiteinde op en neer te zwaaien. Als u een geschikte veer of rubberen slang hebt gevonden, probeer het dan uit. Anders, kijk naar deze diagrammen.


de animatie toont de interactie van twee golven, met gelijke frequentie en grootte, die in tegengestelde richtingen reizen: blauw naar rechts, groen naar links. De rode lijn is hun som: de rode golf is wat er gebeurt als de twee reizende golven bij elkaar optellen (superpose is de technische term). Door de animatie te stoppen, kun je controleren of de rode golf echt de som is van de twee interactieve reizende golven.

de figuur rechts is hetzelfde diagram weergegeven als een tijdreeks – de tijd neemt toe van boven naar beneden. Je zou het kunnen zien als een serie foto ‘ s van de golven, zeer snel genomen. De rode golf is wat we eigenlijk zouden zien in een dergelijke foto ‘ s.

stel dat de rechtergrens een immobiele wand is. Zoals hierboven besproken, wordt de golf bij reflectie omgekeerd, dus, in elke “foto”, Het Blauw plus groen opgeteld tot nul op de rechtergrens. De gereflecteerde (groene) golf heeft dezelfde frequentie en amplitude maar reist in de tegenovergestelde richting.

aan het vaste uiteinde geven ze geen beweging – nulverplaatsing: het is immers deze toestand van immobiliteit die de omgekeerde reflectie veroorzaakt. Maar als je kijkt naar de rode lijn in de animatie of het diagram (de som van de twee golven) zul je zien dat er andere punten zijn waar de tekenreeks nooit beweegt! Ze komen op een halve golflengte van elkaar af. Deze bewegingloze punten worden knooppunten van de vibratie genoemd, en ze spelen een belangrijke rol in bijna alle instrumentenfamilies. Halverwege tussen de knooppunten zijn antinodes: punten van maximale beweging. Maar merk op dat deze pieken niet langs de snaar reizen: de combinatie van twee golven die in tegengestelde richtingen reizen produceert een staande golf.

dit wordt weergegeven in de animatie en de afbeelding. Let op de posities (knooppunten) waar de twee reizende golven altijd opheffen, en de andere (antinodes) waar ze toe te voegen om een oscillatie met maximale amplitude te geven.

je zou dit diagram kunnen zien als een representatie (niet op schaal) van de vijfde harmonische op een tekenreeks waarvan de lengte de breedte van het diagram is. Dit brengt ons bij het volgende onderwerp.

harmonischen en modi

de snaar op een muziekinstrument is (bijna) aan beide uiteinden gefixeerd, dus elke trilling van de snaar moet aan elk uiteinde knooppunten hebben. Dat beperkt de mogelijke vibraties. De snaar Met lengte L kan bijvoorbeeld een staande golf met Golflengte hebben die twee keer zo lang is als de snaar (golflengte λ = 2L) zoals getoond in de eerste schets in de volgende reeks. Dit geeft een knoop aan beide uiteinden en een antinode in het midden.

dit is een van de trillingsmodi van de string (“trillingsmodus” betekent gewoon stijl of manier van trillen). Welke andere modi zijn toegestaan op een string vast aan beide uiteinden? Verschillende staande golven worden getoond in de volgende schets.



een schets van de eerste vier trillingsmodi van een geïdealiseerde* uitgerekte snaar met een vaste lengte. De verticale as is overdreven.

laten we de relaties tussen de frequenties van deze modi uitwerken. Voor een golf is de frequentie de verhouding tussen de snelheid van de golf en de lengte van de Golf: f = V / λ. Vergeleken met de snaarlengte L, kun je zien dat deze golven lengtes 2L, L, 2L/3, L/2 hebben. We kunnen dit schrijven als 2L / n, waarbij n het nummer van de harmonische is.

de fundamentele of eerste modus heeft frequentie f1 = V/λ1 = v/2L,
de tweede harmonische heeft frequentie f2 = v/λ2 = 2v/2L = 2f1
de derde harmonische heeft frequentie f3 = v/λ3 = 3v/2L = 3f1,
de vierde harmonische heeft frequentie f4 = V/λ4 = 4v/2l = 4f1, en, om te generaliseren,

n-de harmonische heeft frequentie FN = v/λn = NV/2L = nf1.

alle golven in een string reizen met dezelfde snelheid, dus deze golven met verschillende golflengten hebben verschillende frequenties zoals getoond. De modus met de laagste frequentie (f1) wordt de fundamentele genoemd. Merk op dat de n-de modus frequentie n keer die van de fundamentele heeft. Alle modi (en de geluiden die ze produceren) worden de harmonischen van de snaar genoemd. De frequenties f, 2f, 3f, 4f etc worden de harmonische serie genoemd. Deze serie zal bekend zijn voor de meeste muzikanten, met name voor trommelaars en spelers van natuurlijke hoorns. Als bijvoorbeeld de basis de noot C3 of altviool C is (een nominale frequentie van 131 Hz: zie deze link voor een tabel), dan hebben de harmonischen de toonhoogtes die in de volgende figuur worden getoond. Deze toonhoogtes zijn ongeveer gelijk aan de dichtstbijzijnde kwarttoon. De octaven zijn precies octaven, maar alle andere intervallen zijn iets anders dan de intervallen in de gelijke getemperde schaal.

de figuur toont de muzikale notatie voor de eerste twaalf harmonischen op een C-snaar. Wanneer u het geluidsbestand af te spelen, Luister goed naar de toonhoogte. De zevende en elfde harmonischen vallen ongeveer halverwege tussen noten op de gelijke getemperde toonladder, en zijn dus met halve scherpe notaties genoteerd.

u kunt deze toonhoogtes produceren op een uitgerekte snaar: het is het makkelijkst op de lage snaren van een gitaar, cello of bas*. Raak de snaar licht aan op een punt 1 / n van zijn lengte vanaf het einde (waar n 1, 2, 3 enz.is), en buig de snaar dicht bij het einde. Als alternatief, raak de snaar heel licht aan op een punt 1 / n van zijn lengte vanaf het einde, Pluk de snaar dicht bij het einde en laat de wijsvinger los zodra je hebt geplukt. Het aanraken van de string produceert een knooppunt waar je aanraakt, en zo windt je (voornamelijk) de modus op die daar een knooppunt heeft. U zult merken dat u kunt spelen bugle tunes met behulp van harmonischen twee tot zes van een tekenreeks.

(*Als u net dit experiment hebt uitgevoerd, hebt u misschien een aantal eigenaardigheden opgemerkt. De twaalfde fret, die wordt gebruikt om het octaaf te produceren, is minder dan de helft weg langs de lengte van de snaar, en dus de positie waar u de snaar aanraken om de 2e harmonische produceren – halverwege de snaar – is niet direct boven de octaaf fret. Ik zei “geïdealiseerde” snaar hierboven, wat betekent dat een snaar die volledig flexibel is en dus gemakkelijk kan buigen aan beide uiteinden. In de praktijk hebben snaren een eindige buigstijfheid en dus is hun effectieve lengte (De” L ” die gebruikt moet worden in de bovenstaande formules) iets minder dan hun fysieke lengte. Dit is een van de redenen waarom Grotere snaren meestal een kronkelende over een dunne kern, waarom de brug is meestal in een hoek die geeft de dikkere snaren langere lengtes en waarom de (solide) G-snaar op een klassieke gitaar heeft slechte afstemming op de hogere frets. Er is ook een effect als gevolg van de extra uitrekken van een snaar wanneer het wordt geduwd naar beneden naar de toets, een effect dat aanzienlijk is op stalen snaren.)

een oefening voor gitaristen. Op een gitaar gestemd op de gebruikelijke manier, de B-snaar en hoge E-snaar zijn ongeveer afgestemd op de 3e en 4e harmonischen van de lage E-snaar. Als je de lage E-snaar ergens anders dan een derde van de weg langs plukt, moet de B-snaar beginnen te trillen, aangedreven door de trillingen in de brug van de harmonische van de eerste snaar. Als je de lage E-string ergens behalve een kwart van de weg langs plukt, moet de bovenste E-string op dezelfde manier worden aangedreven.

harmonische stemming op gitaren

gitaristen beginnen vaak op de volgende manier af te stemmen: eerst de 4e harmonische van de lage E-snaar, de 3e van de A-snaar en de bovenste E afstemmen op dezelfde noot. De figuur rechts toont de harmonische reeks op de twee laagste snaren. vervolgens stemmen ze de B-snaar (B3) af op de 3e harmonische van de eerste (E2); vervolgens stemmen ze de 4e harmonische van de A-snaar af op de 3e van de D-snaar. Deze methode kan niet succesvol worden uitgebreid naar de G-snaar omdat het meestal te dik en stijf is, dus het is beter afgestemd door octaven, met behulp van de frets. Om verschillende redenen (zie de noten aan het einde van deze pagina), is deze methode van tuning slechts bij benadering, en men moet de octaven achteraf opnieuw af te stemmen. De beste tuning is meestal een compromis dat moet worden gemaakt na te overwegen welke akkoorden u zal Spelen en waar u speelt op de toets.

stemmen met harmonischen. (Dit zijn echte staanplaatsen: gitaarmuziek wordt meestal getransponeerd tot een octaaf.)

harmonischen in muziek

componisten vragen vaak om dergelijke harmonischen op snaarinstrumenten: de meest voorkomende is de “touch vierde”. Met één vinger stopt de speler de snaar om de lengte te produceren die nodig is voor een bepaalde noot, en dan, met behulp van een andere vinger, raakt de snaar heel licht op de positie die nodig is voor de noot vier noten hoger in de schaal (vandaar de naam). Deze positie is een kwart van de weg langs de snaar, dus het produceert de vierde harmonische van de gestopt noot. De vierde harmonische heeft vier keer de fundamentele frequentie, en dus twee octaven hoger. Voor snaarspelers worden de harmonischen “natuurlijk” genoemd; wanneer ze op open snaren worden gespeeld en “kunstmatig”; als de speler de snaar moet stoppen. Het diagram laat zien hoe een natuurlijke touch vierde wordt gespeeld, en de notatie voor de touch vierde op de viool een snaar. De verticale as van het diagram is voor de duidelijkheid overdreven.


Open een normaal gespeelde snaar, dan de vierde aanraking op deze snaar (4e harmonische)

de toonhoogte van een noot wordt bepaald door hoe snel de snaar trilt. Dit hangt af van vier dingen:

• dikkere, Massievere snaren trillen langzamer. Op violen, gitaren etc.verandert de open lengte van de snaar niet, en meestal verandert de spanning ook niet veel (ze zijn allemaal ongeveer even moeilijk naar beneden te duwen). Dus de lage snaren zijn dikker.
• de frequentie neemt toe met de spanning in de string. Dit is hoe je het instrument af te stemmen, met behulp van Machine hoofden of tuning haringen: strakker geeft een hogere toonhoogte.
• de lengte van de string die vrij is om te trillen is ook belangrijk. Wanneer je bijvoorbeeld een snaar tegen de toets van een cello stopt, verkort je de effectieve lengte en verhoog je zo de toonhoogte.
• u kunt ook de toonhoogte wijzigen door de trillingsmodus te wijzigen. Wanneer je harmonischen speelt, induceer je de snaar om golven te produceren die een fractie zijn van de lengte van die normaal geproduceerd door een snaar van die lengte.

  we kunnen dit alles in een eenvoudige uitdrukking zetten. Als het trillende deel van de snaar een lengte L en een massa M heeft, als de spanning in de snaar F is en als je de nde harmonische speelt, dan is de resulterende frequentie

  fn = (n/2L)(FL/M)1/2 = (n/2)(F/LM)1/2.

  in instrumenten zoals viool en gitaar zijn de open lengte en de spanning voor alle snaren vrij gelijkaardig. Dit betekent dat, om een snaar een octaaf lager te maken, met behoud van dezelfde lengte, je de verhouding M/L moet verviervoudigen.als de snaren van hetzelfde materiaal zijn gemaakt, betekent dit een verdubbeling van de diameter. Nochtans, zijn de vette snaren gewoonlijk samengesteld: een dunne kern omwikkeld met windingen om ze massiever te maken zonder ze moeilijker te buigen.

  eens kijken waar deze uitdrukking vandaan komt. De Golf reist een afstand λ in één periode T van de trilling, dus v = λ / T. De frequentie f = 1 / T = v / λ. Dus f = v / λ. We zagen ook dat, Voor de fundamentele frequentie f1, de snaarlengte λ/2 is, dus f1 = v / 2l. de golfsnelheid wordt bepaald door de snaarspanning F en de massa per eenheid lengte of lineaire dichtheid μ = M/L, v = (F/μ)1/2 = (FL/M)1/2. Dus f1 = ½ (F/LM)1/2. Beide zijden vermenigvuldigen met n geeft de frequenties van de bovengenoemde harmonischen.

  we kunnen dit herschikken om de string spanning te geven: F = 4f12LM.

complicaties bij harmonische stemming

er zijn verschillende problemen met gitaar stemmen, waaronder het gebruik van harmonischen zoals hierboven voorgesteld.

de meest voor de hand liggende benadering is gerelateerd aan temperament: als de gitaarsnaren ideaal waren en de frets ideaal verdeeld voor gelijk temperament, zou het afstemmen van harmonische vierden op de E-A en A-D paren, plus twee gelijke getemperde halve tonen op de D-snaar, het interval tussen de laagste E en 2e fret op de D-snaar ongeveer 4 cent plat maken ((4/3)222/12=1.996). Dit zou leiden tot interferentie beats met een snelheid van orde één elke meerdere seconden.

een andere voor de hand liggende complicatie bij harmonische stemming is dat de snaren niet met volledig gemak over de moer en brug buigen (zoals hierboven besproken). Zie ook hoe harmonisch harmonisch is. Als gevolg daarvan is de 1e boventoon op een snaar iets scherper dan een octaaf, de volgende nog scherper dan een twaalfde, enzovoort. Dus het afstemmen van de 4e ‘harmonische’ van de E-snaar naar de 3e van de A-snaar maakt hen hun open interval meer dan een harmonische vierde. Dus dit heeft de neiging om het temperament probleem te compenseren.

een ander probleem heeft te maken met fret-en brugplaatsing. Wanneer je een snaar naar beneden drukt op de twaalfde fret, vergroot je de lengte. (Voordat u erop drukt, de kortste afstand tussen moer en brug. Daarna is het langer.) Om het te verlengen, heb je de spanning verhoogd. Vanwege dit, en ook vanwege het buigende effect aan het einde van de snaar, als de 12e fret halverwege tussen moer en brug was, zou het interval groter zijn dan een octaaf. (Je kunt dit experimenteel controleren op een Fretloos instrument. De afstand van de brug naar de 12e fret is dus groter dan die van de moer naar de 12e fret. Het effect verschilt tussen snaren. In sommige elektrische gitaren is individuele aanpassing van de positie van elke brug mogelijk. Bij andere gitaren is de brug schuin geplaatst. In een klassieke gitaar vereist de rechte eenvoudige brug een compromis in de stemming.

de effecten hierboven zijn moeilijk meetbaar met de vereiste precisie: de effecten zijn slechts een paar cent, wat niet veel groter is dan de precisie van oren of stemmeters wanneer toegepast op een plukstring. Verder is het moeilijk om machine hoofden aan te passen om een precisie beter dan een paar cent te bereiken. Aan de andere kant, als je alle noten in harmonie binnen een paar cent, je doet het beter dan de meeste muzikanten en het zal klinken vrij goed!

er zijn nog meer problemen als strings oud worden. Waar je ze met de linkerhand vingert, pikken ze vet op en worden ze massiever (hoewel ze ook materiaal kunnen verliezen waar ze op frets wrijven). Ze kunnen ook dragen waar je ze kiest. Naarmate de snaren inhomogeen worden, wordt de stemming steeds slechter. Wassen kan helpen.

de manier om de meeste van deze problemen te omzeilen is het bespelen van fretloze instrumenten, maar dit maakt akkoorden moeilijker.

De posities van de schaal zijn in slechts intonatie. De aanraking op 2/9 is veiliger dan die op 1/9, maar het valt niet boven elke toonladderpositie: het is een beetje boven de kleine derde. Violisten of violoncellisten die Radulescu ‘ s “Practicing Infinity” (SIC) repeteren, worden uitgenodigd om mij te schrijven voor verdere suggesties over technieken voor hoge harmonischen.

zie ook hoe harmonisch zijn harmonischen?

harpakoestiek

het enige werk dat we op harpen hebben gedaan, wordt hier beschreven.

meer informatie

• staande en reizende golven van Physclips hebben filmclips en animaties.
• bogen en strings (een eenvoudige inleiding tot die interactie).
• vioolstudies (meer informatie over onze studies over violen).
• Chladni patronen (experimentele resultaten die de trilling van de platen van violen aantonen).
• articulatie en vibrato op de viool en hun belang voor de vioolklank(en).
• Violin acoustics: an overview (a simple introduction to violin acoustics).
• the research papers of John McLennan, PhD student in Music Acoustics at UNSW.
• An introduction to flute acoustics (with a discussion of harmonics in an air column).