dat hangt echt af van wat je bedoelt met “oneindigheid”. Als je $\infty$ bedoelt, dan is dat geen getal, maar eerder een afkorting voor het concept dat een bepaalde hoeveelheid (meestal een natuurlijk of reëel getal) groter is dan een eindige binding. Als zodanig kun je het niet vermenigvuldigen met iets, en vooral niet met zichzelf. Er zijn echter verschillende rekenkundige systemen die elementen hebben die groter zijn dan een eindige som van de vorm $1+1+\cdots +1$, en dus verdienen om oneindig in grootte genoemd te worden. Ik zal je vertellen over drie van hen (enigszins vereenvoudigd, maar hopelijk niet direct onjuist).
de eerste is de kardinalen. Zij geven aan hoe groot iets (een verzameling) is. Een eindige kardinaal is slechts een natuurlijk getal (wat “de grootte van een verzameling met zoveel elementen” betekent), maar er zijn ook ininiete kardinalen. De kleinste oneindige kardinaal is $ \ aleph_0$, de grootte van de verzameling van natuurlijke getallen.
optellen van Kardinalen werkt zoals je zou verwachten dat optellen van groottes werkt, namelijk de twee verzamelingen naast elkaar zetten en tellen hoeveel elementen er in totaal zijn. Meer specifiek, als je twee kardinaalgetallen hebt $\kappa_1, \kappa_2$, die elk de grootte van twee verzamelingen $X_1, X_2$ aangeven, dan is de kardinaal $\kappa_1+\kappa_2$ de kardinaliteit van de disjuncte Unie $X_1\sqcup X_2$, of gelijkwaardig, de verzameling van paren $(x_i, i)$ waar $x_i \in X_i$ en $i \in \{1, 2\}$.
vermenigvuldiging van kardinalen op de volgende manier: $ \ kappa_1 \ cdot \ kappa_2$ is de grootte van de set $X_1 \ times X_2$, de set van paren $x_1, x_2$ met $x_1\in X_1$ en $x_2\in X_2$. Als het grootste van $ \ kappa_1$ en $\kappa_2$ oneindig is, dan is $ \ kappa_1+\kappa_2 = \kappa_1 \ cdot \ kappa_2 = \ max (\kappa_1, \ kappa_2)$. Dit betekent dat als $ \ kappa$ een oneindige kardinaal is, $ \ kappa^2 = \kappa$, dus we krijgen ook $\sqrt \ kappa = \kappa$.
(u kunt ook exponenten definiëren: $\kappa_1^{\kappa_2}$ is de grootte van de verzameling van alle mogelijke functies van $X_2$ tot $X_1$. Bijvoorbeeld, $2$ is een set met twee elementen, dus $\kappa^2$ is de set van functies van een set met twee elementen op $ \ kappa$. Een functie van een twee-elementverzameling is hetzelfde als een geordend paar, dus dit is eigenlijk hetzelfde als $\kappa\cdot \kappa$. Gaaf, hè?)
de tweede is de ordinaal. Ze betekenen ordeningen van objecten. Echter, niet alle bestellingen, maar bestellingen waar een subset heeft een kleinste element, zogenaamde well-orders. Nogmaals, een eindig ordinaal is gewoon een natuurlijk getal (wat “de ordening van alle kleinere natuurlijke getallen” betekent), maar net als de vorige keer zijn er oneindige ordinalen, waarvan de kleinste $\omega_0$ wordt genoemd, of gewoon $\omega$, en het betekent de ordening van de natuurlijke getallen.
optellen van ordinalen gebeurt op de volgende manier: als $\gamma, \lambda$ ordinalen zijn, dan is $\gamma + \lambda$ de volgorde die wordt verkregen door $\gamma$ voor $\lambda$te zetten. Bijvoorbeeld, $1 + \omega$ is hetzelfde als $\omega$, want als je de natuurlijke getallen neemt, en één element voor ze allemaal plaatst, heb je iets dat er wat de volgorde betreft precies hetzelfde uitziet als de natuurlijke getallen zelf. Echter, $\omega + 1$ betekent het zetten van een enkel element na alle natuurlijke nummers, dat is een andere volgorde.
vermenigvuldiging werkt op de volgende manier: $ \ gamma \ cdot \ lambda$ is de ordinale die we krijgen door $\lambda$ te nemen, door elk element in die volgorde te vervangen door een kopie van $ \ gamma$, en ze dan allemaal in die volgorde toe te voegen (d.w.z. zet ze na elkaar) (we specificeren dat je je weg werkt van links naar rechts). Op die manier betekent $2\cdot \omega$ dat je de natuurlijke getallen neemt, elk van de getallen daar ruilt voor twee getallen, en dan al deze paren achter elkaar zet. Dit geeft ons $ \omega $ terug. Echter, $ \ Omega \ cdot 2$ betekent het nemen van een geordend paar, ruilen elk van de twee elementen met een kopie van de natuurlijke getallen, en dan zetten een kopie na de andere. Dit is hetzelfde als je zou krijgen door het berekenen van $\omega + \omega$.
in dit kader is vermenigvuldiging en optellen van oneindige ordinalen niet zo triviaal als voor de kardinalen. We krijgen bijvoorbeeld $\Omega \ cdot \ omega = \omega + \omega +\omega + \cdots$, dat is de kleinste oneindige perfecte vierkante ordinale. Net als bij de natuurlijke getallen zelf, zijn er enkele ordinalen die een vierkantswortel hebben, en sommige die dat niet hebben. Specifiek, $\omega$ heeft geen vierkantswortel.
(u kunt ook exponenten voor ordinalen definiëren: In dit geval is $ \ gamma^ \ lambda$ de ordinale die we krijgen als we $ \ lambda$ nemen, elk element daarin vervangen door kopieën van $\gamma$, en ze allemaal samen vermenigvuldigen, net zoals vermenigvuldiging gedefinieerd werd als herhaalde optelling. Dit maakt $\omega^2 = \omega \ cdot \ Omega$. Gaaf, hè? Merk op dat hoewel ordinale en kardinale optelling en vermenigvuldiging enigszins vergelijkbaar zijn, hun noties van exponentiatie zeer verschillend zijn.)
tot slot zal ik u vertellen over de surrealistische getallen. Hoewel ordinalen en kardinalen in de verzamelingenleer veel gebruikt worden, zijn de surrealistische getallen meer een curiositeit. Ze zijn ook een beetje moeilijker om je hoofd rond te wikkelen. Echter, Ik hou echt van hen, dus hier is een korte samenvatting.
een surrealistisch getal $x$ bestaat uit een geordend paar verzamelingen geschreven $\langle L_x\mid R_x\rangle$, waarbij $L_x$ de linkerverzameling van $x$ wordt genoemd en $R_x$ de rechterverzameling wordt genoemd. Deze verzamelingen bestaan beide uit andere surrealistische getallen, met de eis dat als $x_l \in L_x$ en $x_r\in R_x$, dan hebben we $x_l < x_r$. $x$ betekent dan een surrealistisch getal tussen $L_x$ en $R_x$ (het eerste getal volgens de generatie, zie hieronder). Bestellen is gedefinieerd op de volgende manier: Gegeven twee surreële getallen $x = \langle L_x\mid R_x\rangle, y = \langle L_y\mid R_y\rangle$ we zeggen dat $x \leq y$ iff zowel het volgende van toepassing:
- Er is geen $x_l\in L_x$ zodanig dat $y \leq x_l$
- Er is geen $y_r\in R_y$ zodanig dat $y_r\leq x$
(Let op: om te evalueren $y \leq x_l$ en $y_r\leq x$, u moet naar de toepassing van dezelfde definitie opnieuw. Dit zal in de praktijk erg vervelend worden voor iedereen, behalve voor de eenvoudigste getallen. Dit recursieve concept komt terug bij het definiëren van optellen en vermenigvuldigen.)
eigenlijk was ik eerder niet helemaal eerlijk. Een surrealistisch getal is een equivalentieklasse van dergelijke paren (dit is wat me een lange tijd kostte om echt te waarderen). Een paar zelf wordt een surrealistische getallenvorm genoemd. Twee vormen $x, y$ behoren tot dezelfde equivalentieklasse iff $x \ leq y$ en $y \ leq x$.
elk surrealistisch getal heeft een zogenaamde”generatie”. Het eerste surrealistische getal (generatie $0$) is $0 = \langle {}\mid{} \rangle$ waar de linker en rechter verzamelingen leeg zijn. De volgende twee surrealistische getallen (generatie $1$) zijn $1 = \langle0\mid{}\rangle$ en $-1 = \langle{}\mid 0\rangle$. Generatie $2$ bestaat uit $-2 = \langle {} \ mid -1 \ rangle$, $ – \ frac12 = \langle -1 \ mid 0 \ rangle$, $ \ frac12 = \langle 0 \ mid 1 \ rangle$ en $2 = \langle 1 \ mid {} \ rangle$.
hier kunnen we de equivalentieklassen aan het werk zien, want we hebben ook $2 = \langle -1, 0, 1\mid {}\rangle$, en we hebben bijvoorbeeld $0 = \langle -2\mid 1\rangle$, want hoewel $-1$, $\frac12$ en $-\frac12$ ook tussen $-2$ en $1$ liggen, behoort $0$ tot een eerdere generatie. Je kunt controleren dat we inderdaad $\langle -2 \ mid 1 \ rangle \ leq \ langle {} \ mid {} \ rangle$ hebben en tegelijkertijd $\langle {} \ mid {} \ rangle \ leq \ langle -2 \ mid 1 \ rangle$, terwijl hetzelfde niet waar is als we $\langle {}\mid{}\rangle$ ruilen voor $\langle 0 \ mid 1 \ rangle$.
Wij blijven maken fijner en fijner divisies in alle eindige generaties, elk nummer dat wordt weergegeven in een getal van de vorm $\frac een{2^b}$, een dyadische fractie, tot we bij de eerste oneindige generatie, $\omega$ (ja, de generaties zijn rangtelwoorden), waar alle reële getallen plotseling pop-up (bijvoorbeeld $\sqrt 2 = \langle 1, \frac{5}{4}, \frac{11}{8}, \ldots{}\mid {}\ldots,\frac{12}{8}, \frac{3}{2}, 2\rangle$). We krijgen ook de eerste oneindige ordinaal, $\Omega $ zelf, als $\langle 1, 2, 3,\ldots {} \ mid {} \ rangle$, en zijn wederkerige $\frac1\Omega = \langle {}\mid {}\ldots \frac18,\frac14,\frac12, 1\rangle$.
tot nu toe heb ik nog niet gesproken over de rekenkunde. Zonder dat is er geen reden om $\langle 0\mid 1\rangle$ $\frac12$ aan te roepen en niets anders. Gegeven $x = \langle L_x\mid R_x\rangle$ en $y = \langle L_y\mid R_y\rangle$, bovendien is recursief gedefinieerd door$$x + y = \langle \{x + y_l: y_l \in L_y\}\cup \{x_l + y:x_l\in L_x\} \mid \{x + y_r: y_r \in R_y\}\cup \{x_r + y:x_r\in R_x\}\rangle$$vermenigvuldiging is wat rommeliger, dus Ik zal wat steno gebruiken:$$xy = \langle \{x_ly + xy_l – x_ly_l\}\cup\{x_ry + xy_r – x_ry_r\}\mid \{x_ly + xy_r – x_ly_r\}\cup\{x_ry + xy_l – x_ry_l\}\rangle$$Aftrekken wordt gedefinieerd zoals men zou verwachten, door het juiste getal te ontkennen en toe te voegen. Negeren wordt gedaan door elk element in de linker-en rechterverzameling te ontkennen en de twee om te wisselen.
Net als bij de ordinalen is $\omega^2 = \omega \ cdot \ omega$ een perfect vierkant. Echter, hier komt het leuke deel: elk positief surrealistisch getal heeft een vierkantswortel. Om de wortel van $\omega$, moeten we dus wat meer definities (theoretisch, een kan, en mag, rechtvaardigen elk van deze namen door het uitvoeren van het optellen en vermenigvuldigen om te zien dat je krijgt wat je moet, maar dat is veel werk):$$\omega – 1 = \langle 1, 2, 3,\ldots\mid \omega\rangle\\\omega – 2 = \langle 1, 2, 3,\ldots\mid \omega – 1\rangle\\\omega – 3 = \langle 1, 2, 3,\ldots\mid \omega – 2\rangle\\\vdots$$en $\frac\omega2 = \langle 1, 2, 3,\ldots \mid\ldots, \omega – 3, \omega – 2, \omega – 1\rangle$. Vergelijkbaar kunnen we $\frac\omega2-1, \frac\omega2-2$, enzovoort definiëren, en we krijgen $\frac\omega4 = \langle 1, 2, 3, \ldots\mid \ldots, \frac\omega2 – 3,\frac\omega2-2,\frac\omega2 – 1\rangle$. Dan kunnen we $\frac\omega8, \frac\Omega{16}$ enzovoort definiëren. Tot slot krijgen we $\sqrt \ omega = \ langle 1, 2, 3, 4, \ ldots \ mid \ ldots,\frac \ omega8, \ frac \ omega4, \ frac \ omega2, \ Omega \ rangle$. We zijn nu bij generatie $ \omega^2$.
