Wiskundige schat: brief en visitekaartje van Augustus De Morgan

figuur 1. Visitekaartje circa 1866 van Augustus De Morgan, door hem gesigneerd “ADeMorgan”. Foto van Maull en Polyblank (Zie noot). (Uit de collectie van Dr. Sid Kolpas)

een korte biografie

Augustus De Morgan (1806-1871) was een van de meest invloedrijke en succesvolle wiskundeleraren van de 19e eeuw. Zowel naar hedendaagse als hedendaagse maatstaven was hij een buitengewoon hoogleraar. Volgens Adrian Rice, in het artikel, “Wat maakt een grote wiskundeleraar? In het geval van Augustus De Morgan:” hij was een voorbeeld van een groot wiskundeleraar, iemand die zijn studenten liefde en enthousiasme voor het onderwerp bijbracht, waardoor ze een diepgaand effect op hen hadden, zelfs als ze nooit een carrière in de wiskunde hadden nagestreefd. Bewijs voor die mening komt van de overgeleverde commentaren van de Morgan ‘ s studenten, en van enkele gerenommeerde wiskundigen die door zijn onderricht werden beïnvloed. Hij bezat die zeldzame combinatie van inzicht, humor en creativiteit. Zijn lezingen waren beknopt en helder; in tegenstelling tot al te veel van zijn leeftijdsgenoten, gaf hij er zorg voor dat zijn leerlingen gestimuleerd, uitgedaagd, geïnspireerd en zorgvuldig geïnstrueerd moesten worden met een goede planning en pedagogie. Hij haatte competitieve examens en het gebrek aan het delen van kennis die daaruit voortvloeide (een actueel probleem in onze scholen); hij was voorstander van coöperatief leren. Studenten rapporteerden dat zijn lezingen waren rijk aan humor, toepassingen voor andere disciplines, referenties voor verdere studie, en liefde voor zijn onderwerp. Zelfs de meest abstracte concepten werd duidelijk gemaakt door zijn briljante gebruik van analogie, metafoor en vergelijking.= = Biografie = = Morgan werd geboren in Madura, India. Hij werd opgeleid in particuliere scholen tot zijn toetreding tot Trinity College, Cambridge, op de leeftijd van zestien. Hij was een uitstekende student, bijna de beste van zijn klas. Hij koos er echter voor om niet de M. A. graad te behalen, of om te concurreren voor een college fellowship vanwege zijn gewetensbezwaren tegen de religieuze tests die van kandidaten in Cambridge werden vereist. In 1828, op basis van zijn academische prestaties, kreeg hij een aanstelling als professor in de wiskunde aan de nieuw gevormde London University (die later University College London werd). Hij zou daar meer dan 30 jaar lesgeven en generaties studenten inspireren. Volgende generaties van zijn studenten verwezen naar hem als “Gussy” – de grote stout waggelende figuur turen door goud-omrande bril die hen hartstochtelijk wiskunde zou leren.Zijn reputatie groeide door zijn uitstekende, bemoedigende, zorgzame onderwijs en zijn artikelen over geavanceerde onderwerpen, wiskundige puzzels, spelletjes, eigenaardigheden en paradoxen; De Morgan was de Martin Gardner van de negentiende eeuw. De Morgans liefde voor wiskundige puzzels en verhalen leidde postuum tot de publicatie van zijn Budget of Paradoxes (1872); het is nog steeds in druk. Terwijl hij een man van zachte aard was, was hij ook een man van sterke overtuiging. Hij vocht tegen religieuze schijn, en was een pleitbezorger voor de rechten van vrouwen op het gebied van onderwijs, maar was tegen vrouwenkiesrecht. Hij geloofde ook dat geavanceerde wiskundige studies potentieel schadelijk waren voor de fysieke gezondheid van een vrouw, wat een alomtegenwoordige houding was ten opzichte van vrouwen in die tijd. Steeds liberaler naarmate hij ouder werd, doceerde hij wiskunde aan klassen van vrouwen zonder aanklacht en moedigde vrouwen aan, zelfs gezien hun veronderstelde mentale beperkingen, om door te gaan met hun wiskundige studies.

Figuur 2. Een tekening van een student van Augustus De Morgan die een klas leidt aan University College London. (Deze afbeelding van MS ADD 7 wordt hier gebruikt met toestemming van UCL Library Services, Special Collections.)

de Morgans teksten waren even uitmuntend als zijn onderricht. Meer dan honderd jaar later zouden ze nog steeds uitstekende curriculummodellen zijn. De onderwerpen van zijn teksten omvatten algebra, trigonometrie, differentiële en integrale calculus, de calculus van variaties, waarschijnlijkheid en symbolische logica. Alle teksten zijn duidelijk, interessant en gevuld met prachtige voorbeelden. Onder zijn beste publicaties waren een Essay over waarschijnlijkheden (1838), Calculus (1842), formele logica (1847) en dubbele Algebra (1849), die de abstracte algebra voorafschaduwde. Toen hij niet hard werkte aan zijn vele artikelen en boeken—waaronder een zesde van de artikelen in de beroemde Penny Cyclopaedia waarvoor hij een artikel schreef dat het proces van wiskundige inductie definieerde-besteedde de Morgan tijd aan zijn twee grote passies: fluitspelen en het verzamelen van zeldzame wiskundeboeken. Deze laatste hobby hielp hem om de expert van zijn tijd op de geschiedenis van de wiskunde geworden.In 1837 trouwde Augustus De Morgan met Sophia Elizabeth Frend. Hun huis, met vijf kinderen, werd het centrum van een grote vriendenkring die daar bijeen kwamen om intellectuele interesses te delen. Een van Augustus’ vrienden was George Boole, die samen met de Morgan pionierde in de ontwikkeling van symbolische logica. De Morgans formele logica (1847) ging tegelijk met Boole ‘ s werk over de algebra van de logica in de pers. Beide werken hadden betrekking op propositionele calculus.

De Morgan is misschien het best bekend voor” de Morgan ’s Laws,” twee verwante stellingen in de symbolische logica en de verzamelingenleer, respectievelijk.

symbolische logica: \

verzamelingenleer: Augustus De Morgan moet worden herinnerd, zoals alle inspirerende leraren, voor de diepgaande invloed die hij had op zijn leerlingen, waaronder Isaac Todhunter (1820-1884) en James Joseph Sylvester (1814-1897). Hij gaf ook les aan Ada Lovelace (1815-1852), en moedigde haar aan om haar wiskundige talenten te ontwikkelen; hij vond dat ze beter wiskundig talent had dan de meeste vrouwen. Hij was een stimulerende kracht in de ontwikkeling van wiskunde en wiskundeleraren, een drijvende kracht in de ontwikkeling van de logische grondslagen van de wiskunde, en een voorstander van de modernisering van de wiskunde. Als pretentieloos Man vermeed hij eredoctoraten, lidmaatschap van de Royal Society en politieke en religieuze kleinzieligheid. Zijn leven was gewijd aan zijn familie, zijn vrienden en zijn studenten.

opmerking: Maull & Polyblank ‘ s London photographic studio werd opgericht in 1854. Het atelier specialiseerde zich in portretten van beroemde personen. Hun meest opmerkelijke werk, Photographic Portraits of Living Celebrities, werd gepubliceerd in delen van 1856 tot 1859. Het bestond uit veertig individuele portretten met biografieën, uitgegeven aan abonnees en vervolgens gebonden in een enkel volume door de abonnee nadat alle onderdelen werden geleverd; dit was een praktijk populair op het moment. De portretten werden ook als gravures gepubliceerd in het geïllustreerde London News. Terug naar korte biografie van de Morgan.

Figuur 3. De Morgan ‘ s An Essay On Probabilities (1838). (Uit de collectie van Dr. Sid Kolpas)

De Morgan ‘ s algoritme voor het benaderen van Factorials

Factorials van gehele getallen spelen een belangrijke rol in de kansrekening, met name in permutaties en combinaties. In de 19de eeuw waren deze factorial ‘ s moeilijk te berekenen voor grote hele getallen zonder rekenmachines. In zijn Essay over waarschijnlijkheden introduceerde de Morgan het in Figuur 4 beschreven algoritme om \(n!,\) waarbij \(n\) een heel getal is. Merk op dat \ ( \ ) de Morgan ‘ s notatie is voor “\(n\) faculteit” of \(n!.\ ) Dus, in de eerste paragraaf in Figuur 4, toen de Morgan schreef “,” bedoelde hij de faculteit van een gegeven positief geheel getal.

Figuur 4. De Morgan ‘ s instructies voor het benaderen van \(n!15-16 van zijn an Essay On Probabilities (Google Books)

Stirling ‘ s benadering van \(n!,\) waar \(n\) een heel getal is, werd ontdekt door de Schotse wiskundige James Stirling (1692-1770). Stirling publiceerde zijn belangrijkste werk, Methodus Differentalis, in 1730. Dit boek behandelt oneindige series, sommatie, interpolatie en kwadratuur. De volgende formule voor \(n!,\) waarvoor Stirling bekend is geworden, verschijnt als voorbeeld 2 van Stelling 28 van de Methodus Differentialis. Stirling ’s benadering stelt dat \

De Morgan’ s algoritme stap-voor-stap instructies gaf voor het berekenen van de benadering van \(n!\ ) gegeven door de formule van Stirling.

Figuur 5. Titelpagina van Stirling ‘ s Methodus Differentalis(Google Books)

verwijzend naar het algoritme van de Morgan voor het benaderen van \(n!\ ) en opmerkend dat \(0.4342945\) is een benadering van \(\log_{10} e,\) en \(0.7981799\) is een benadering van \(\log_{10} (2\pi),\) hebben we:

1. neem de basis 10 logaritme van het getal \(n\), en trek \(0.4342945\) ervan af: \(\log n – \log e = \log \left(\frac{n}{e}\right).\)
2. vermenigvuldig het resultaat met\ (n\):\(n \log\left (\frac{n}{e} \right)= \log\left (\frac{n}{e}\right)^n.\)
3. voeg aan \(\log n\)\ (0.7981799\) toe: \(\log n + \log 2 \pi = \log 2n \ pi.\)
4. neem de helft van deze som: \({\frac{1}{2}}\log 2N\pi = \log \sqrt{2n\pi}.\)
5. voeg de resultaten van de 2e en 4e stap toe: \
6. sinds \(\log n!\Sim \ log \ sqrt{2n \ pi} \ left (\frac{n}{e} \ right)^N,\) then \(n!\sim \sqrt{2n \ pi} \ left (\frac{n}{e}\ right)^n,\) wat de formule van Stirling is.
7. deze benadering van \(n!\) is een beetje te klein; om het te verbeteren, voeg \({\frac{1}{12n}}\) er van toe aan zichzelf: \

een brief van de Morgan over de geschiedenis van de wiskunde

zoals hierboven vermeld, schreef Augustus de Morgan regelmatig aan de Penny Cyclopaedia, met meer dan 700 artikelen aan de 27 delen van de Cyclopaedia, gepubliceerd van 1828 tot 1843.

Figuur 6. De Penny Cyclopaedia, Deel 26, bevat een artikel van de Morgan over de Indiase wiskundige tekst Viga Ganita. (Google Books)

een van de Morgan ‘ s laatste bijdragen in de Penny Cyclopaedia was een artikel getiteld “VIGA GANITA” dat verscheen op pagina ‘ s 318-326 van Deel 26, gepubliceerd in 1843 (gemakkelijk toegankelijk via Google Books). De Morgan gaf aan het begin van dit artikel toe dat hij veel meer zou bespreken dan alleen de Viga Ganita (nu vaker getranslitereerd als Bījagaitaita of Bīja-gaṇita), een werk over algebra van de 12e-eeuwse Indiase wiskundige en astronoom Bhascara (nu algemeen bekend als Bhāskara II), van wie lang werd aangenomen dat hij woonde en werkte bij een beroemd astronomisch observatorium in Ujjain. Inderdaad, de Morgan schreef dat zijn plan was om gebruik te maken van de plaats van de letter “V” tegen het einde van het alfabet om de allernieuwste wetenschap over de “astronomische en rekenkundige wetenschap van de Hindoes” te melden (p. 318). Het wachten was misschien niet de moeite waard, want wat de Morgan moest schrijven was “een verslag van de meest bijzondere uitersten van mening” (p. 318) – een verhaal van veel onenigheid onder geleerden, althans sommigen van wie hij als behoorlijk bevooroordeeld beschouwde.

In dit artikel gaf de Morgan drie mogelijkheden voor de identiteit en de eeuw van de Indiase astronoom en wiskundige Varāhamihira, die voor hem van belang was omdat (p.. 320):

de schrijvers die het meest Geciteerd worden door Hindoeïstische astronomen dragen de namen Varaha-mihira en Brahmegupta.Varāhamihira leefde in de zesde eeuw en Brahmagupta in de zevende eeuw. Van beide werd lang gedacht dat ze in Ujjain woonden en werkten in een beroemd astronomisch observatorium, net als Bhaskara II eeuwen later. Echter, zoals historicus van de Indiase astronomie en wiskunde Kim Plofker meldde in haar 2009 boek, Mathematics in India, er is geen bewijs dat een van de drie astronomen woonde in Ujjain of dat er zelfs een astronomisch observatorium daar (PP.318-319, 326).Echter, wat de Morgan wist in 1843 was dat de hoog aangeschreven Indoloog Henry Thomas Colebrooke en de “astronomen van Ujein” het eens waren over Varāhamihira ’s (en Brahmagupta’ s) Data, maar dat anderen Varāhamihira eeuwen eerder of later plaatsen (“VIGA GANITA,” p. 320):Colebrooke concludeert uit zijn astronomische gegevens dat Varaha-mihira schreef aan het einde van de vijfde eeuw, wat ook de datum is die hem door de astronomen van Ujein is toegewezen. … Er is een andere Varaha-mihira, die dezelfde astronomen plaatsen in het jaar 200 na Christus. Maar populaire traditie plaatst Varaha-mihira in de tijd van Vicramadytia (B. C. 56), en namen, zoals hierna opgemerkt, een aantal van zijn tijdgenoten.Colebrooke overleed in 1837. Zijn protegé Horace Hayman Wilson was in 1832 de eerste Boden Professor in het Sanskriet aan de Universiteit van Oxford geworden.; echter, zoals weergegeven in Figuur 7, hieronder, Wilson had geschreven in 1835 dat Varāhamihira leefde tijdens de eerste eeuw v. Chr.

Figuur 7. Uit A Manual of Universal History and Chronology, for the Use of Schools (1835), door H. H. Wilson, blz.25, paragraaf 43. Hier plaatste Wilson Varāhamihira op 56 v. Chr. of iets later. Wilsons” Ougein “werd” Ujein ” in het artikel van de Morgan en staat nu bekend als Ujjain. (Google Books)

in de volgende brief van de Morgan aan Wilson probeerde de Morgan Wilson ‘ s Geloof Over de identiteit en de eeuw van Varāhamihira te bevestigen, waarschijnlijk voor zijn Penny Cyclopaedia artikel voor de publicatie ervan.

Figuur 8. Brief van Augustus De Morgan aan H. H. Wilson. Merk op dat de Morgan ‘ s handtekening aan het einde van de brief identiek is aan die op het visitekaartje in Figuur 1. (Uit de collectie van Dr. Sid Kolpas)

transcriptie van de brief van de Morgan

Sir

met veel excuses voor uw verontrusting, geheel onbekend voor u als ik, neem ik de vrijheid om u een vraag te stellen over uw handboek geschiedenis , een werk dat ik vaak heb geraadpleegd voor oosterse data, en dat ik, gezien het gemak van diezelfde Data, heb aanbevolen als nuttig voor de student wiskundige geschiedenis in het traktaat dat ik verzoek u te aanvaarden.

Page 25 43 . Beschouwt u Varaha-Mihira als de astronomische schrijver van die naam, of degene van die naam, wiens leeftijd wordt besproken door Colebrooke , en die Bentley en een Franse schrijver Geciteerd door Delambre zullen hebben (tegen Colebrook ‘ s mening, zoals Ik heb begrepen) als de auteur van de Surya Siddhanta : of denkt u dat er een redelijke kans is dat hij hetzelfde is.

I remain Sir
Your faithful Servant

ADeMorgan

69 Gower Street
5 April 1843

we weten niet of de Morgan een antwoord van Wilson heeft ontvangen of, zo ja, wat het was. De Morgan ‘ s verwijzing naar “populaire traditie” in zijn artikel in de Penny Cyclopaedia in plaats van naar Wilson bij naam kan erop wijzen dat Wilson zich terugtrok van zijn bewering dat Varāhamihira rond 56 v.Chr. leefde.

aantekeningen bij de Morgan ‘ s brief en de transcriptie

Opmerking 1. Een handleiding van universele geschiedenis en chronologie, voor het gebruik van scholen. H. H. Wilson, M. A., Boden Professor of Sanscrit, Oxford. London: Whittaker, 1835. Wilson was een protegé van Colebrooke (zie Noot 4 hieronder) en werd de eerste Boden Professor in het Sanskriet aan de Universiteit van Oxford in 1832.

noot 2. De passage uit een handboek universele geschiedenis en chronologie, voor het gebruik van scholen, door H. H. Wilson, op blz. 25, punt 43, is weergegeven in Figuur 7 hierboven.

Noot 3. Varāhamihira (505-587) was een Indiase astronoom, wiskundige en astroloog.

Noot 4. Henry Thomas Colebrooke (1765-1837) was een Engels Indoloog die vooral geïnteresseerd was in religie, taalkunde en astronomie. De Morgan schreef in zijn Cyclopaedia-artikel: “Mr. Colebrooke was een van de meest eminente van Sanskriet geleerden, een onvermoeibare Indiase antiquair, en meer dan goed geïnformeerd in wiskunde en astronomie” (p. 319). Na meer dan 30 jaar (1783-1814) in India te hebben doorgebracht, keerde Colebrooke terug naar Engeland, waar hij algebra publiceerde, met rekenkunde en Mensuratie, uit het Sanskriet van Brahmegupta en Bhascara (Londen, 1817) en medeoprichter was van zowel de Royal Astronomical Society in 1820 als de Royal Asiatic Society in 1823.

noot 5. John Bentley was een Engelse Indoloog over wie de Morgan minachtend schreef in zijn “VIGA GANITA” artikel. Jean Baptiste Joseph Delambre (1749-1822) was een beroemde Franse astronoom, die ook boeken schreef over de geschiedenis van de astronomie van de oudheid tot de 18e eeuw.

aantekening 6. De Sūrya-Siddhānta, een astronomiehandleiding die bespreekt wat we sinus, cosinus en tangens noemen, werd door sommigen beschouwd als een van Varāhamihira ‘ s minder bekende werken. Plofker (2009) plaatste de Sūrya-Siddhānta of “zon-verhandeling” op ongeveer 800 na Christus, “gecomponeerd of gereviseerd uit een eerder werk met dezelfde naam …. Deze eerdere Sūrya-Siddhānta werd gedeeltelijk bewaard” in een zesde-eeuws werk van Varāhamihira (p. 71).

terug naar transcriptie van de Morgans brief

Augustus De Morgan. Een budget van Paradoxen. London: Longmans, Green And Company, 1872.

Augustus De Morgan. Een Essay Over Waarschijnlijkheden. London: Longman, Orme, Brown, Green and Longmans, and John Taylor, 1838.”Viga Ganita,” Penny Cyclopaedia of the Society for the Diffusion of Useful Knowledge, vol. 26 (1843), PP.318-326.

Sophia De Morgan. Memoires van Augustus De Morgan. London: Longmans, Green And Company, 1882.

James Essinger. Ada ‘ s algoritme: Hoe Lord Byrons dochter Ada Lovelace het digitale tijdperk lanceerde. Londen: Gibson Square Ltd., 2014.Het J. Paul Getty Museum. “Maull en Polyblank.”
http://www.getty.edu/art/collection/artists/1214/maull-polyblank-british-active-1850s-1860s/

Victor Katz. A History of Mathematics: An Introduction (3rd ed.). Boston: Addison-Wesley, 2009.

New World Encyclopedia contributors, “Henry Thomas Colebrooke,” New World Encyclopedia, laatst bijgewerkt op 24 februari 2009.
http://www.newworldencyclopedia.org/p/index.php?title=Henry_Thomas_Colebrooke&oldid=935378

J. J. O ‘ Connor en E. F. Robertson. “Augustus De Morgan,” MacTutor History of Mathematics Archive, 1996.
http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/De_Morgan.html

Kim Plofker. Wiskunde in India. Princeton: Princeton University Press, 2009.

Adrian Rice. “Wat maakt een geweldige wiskundeleraar? De zaak van Augustus De Morgan.”The American Mathematical Monthly. Vol. 106, Nr. 6 (Jun. – Jul., 1999), pp.534-552.

Horace Hayman Wilson. Een handleiding van universele geschiedenis en chronologie, voor het gebruik van scholen. London: Whittaker and Co., 1835.