multe funcții din aplicații sunt construite din funcții simple prin insertarea constantelor în diferite locuri. Este important să înțelegețiefectul acestor constante asupra aspectului graficului.
schimburi orizontale. Dacă înlocuim $X$ cu $x-C$ peste totapare în formula pentru $f (x)$, atunci graficul se schimbă peste $C$ în dreapta. (Dacă $C$ este negativ, atunci aceasta înseamnă că graficul se deplasează peste$|C|$ spre stânga.) De exemplu, graficul lui $y=(x-2)^2$ este$x^2$-parabola deplasată pentru a avea vârful său în punctul 2 de pe axa$x$. Graficul lui $y = (x+1)^2$ este aceeași parabolă deplasată Lala stânga, astfel încât să aibă vârful său la $-1$ pe axa $x$. Notă bine: atunci când înlocuiți $X$ cu $x-C$ trebuie să fim atenți la semnificație, nu la aspect. Începând cu $y=x^2$ și înlocuind literalmente $X$cu $ x-2 $ dă $y = x-2^2$. Acest lucru este $y=x-4$, o linie cu panta 1, nu ashifted parabolă.
schimburi verticale. Dacă înlocuim $y$ cu $y-D$, atunci graficulmută unitățile $d$. (Dacă $D$ este negativ, atunci aceasta înseamnă că graficulse mută în jos unitățile $|D|$.) Dacă formula este scrisă sub forma$y = f(x)$ și dacă $Y$ este înlocuit cu $y-D$ pentru a obține $y-D=f(x)$, putem muta în mod egal $D$ pe cealaltă parte a ecuației și scrie$y=f (x)+d$. Astfel, acest principiu poate fi afirmat: pentru a obținegraf de $y=f(x)+d$, luați graficul de $y=f(x)$ și mutați-l $d$ unități în sus.De exemplu, funcția $y=x^2-4x=(x-2)^2-4$ poate fi obținută de la$y=(x-2)^2$ (Vezi ultimul paragraf) mutând graficul cu 4 unități în jos.Rezultatul este $x^2 $ – parabola a mutat 2 unități spre dreapta și 4 unități în jos, astfel încât să aibă vârful său în punctul $(2,-4)$.
atenție. A nu se confunda $f(x)+D$ și $f(x+D)$. De exemplu, dacă $f(x)$ este funcția $x^2$, atunci $f(x)+2$ este funcția $x^2+2$, în timp ce $f(x+2)$ este funcția $(x+2)^2=x^2+4x+4$.
exemplul 1.4.1 (cercuri) un exemplu important al celor două principii de mai susîncepe cu cercul $x^2+y^2=R^2$. Acesta este cercul de rază$r$ centrat la origine. (După cum am văzut, aceasta nu este o singură funcție$y=f(x)$, ci mai degrabă două funcții $y=\pm\sqrt{r^2-x^2}$ puse împreună;în orice caz, cele două principii de schimbare se aplică ecuațiilor de acest genunul care nu este sub forma $y=f(x)$.) Dacă înlocuim $X$cu $ x-C$ și înlocuim $y$ Cu $y-d$ – obținerea ecuației$(x-C)^2+(y-D)^2=R^2$—Efectul asupra cercului este de a-l muta $C$ în dreapta și $D$ în sus, obținând astfel cercul de rază $R$centrat în punctul $(C,D)$. Acest lucru ne spune cum să scriemecuație a oricărui cerc, nu neapărat centrat la origine.
mai târziu vom dori să folosim încă două principii privind efectele constantelor asupra aspectului graficului unei funcții.
Dilatare orizontală. Dacă $X$ este înlocuit cu$x / a$ într-o formulă și $a>1$, atunci efectul asupra graficului este săextindeți-l cu un factor de $a$ în direcția $x$(departe de axa$y$). Dacă $a$ este între 0 și 1, atunci efectul asupra graficului este de a contracta cu un factor de $1/A$(spre axa $y$). Folosim cuvântul „dilată” pentru a însemna extinde sau contracta.
de exemplu, înlocuirea $X$ cu$x/0.5=x/(1/2)=2x$ are ca efect contractarea către axa $y$printr-un factorde 2. Dacă $a$ este negativ, dilatăm cu un factor de $/a / $ și apoiflip despre axa $y$. Astfel, înlocuirea $X$ cu $ – X$ are efectulluând imaginea în oglindă a graficului în raport cu axa $y$. De exemplu, funcția $y = \ sqrt {- x}$, care are domeniul $ \ {x\in\R \ mid x \ le 0\}$, este obținută prin luarea graficului $ \ sqrt{x}$ și răsturnarea în jurul axei $Y$în al doilea cadran.
Dilatare verticală. Dacă $Y$ este înlocuit cu $y / B$ într-o formulă și$B>0$, atunci efectul asupra graficului este dilatarea acestuia cu un factor de $b$ îndirecția verticală. Ca și înainte, aceasta este o expansiune saucontracție în funcție de faptul dacă $B$ este mai mare sau mai mic decât unul.Rețineți că dacă avem o funcție $y=f(x)$,înlocuirea $y$ cu $y/b$ este echivalentă cu înmulțirea funcției pe dreapta cu $B$: $y=Bf(x)$. Efectul asupra graficului este extinderea imaginiideparte de axa $X$cu un factor de $b $ if $ B > 1$, pentru a o contracta către axa $X$cu un factor de $1 / B$ if $0
exemplul 1.4.2 (elipse) un exemplu de bază al celor două principii de expansiune este dat de o elipsă a axei semimajor $a$ și a axei semiminor $b$. Obținem o astfel de elipsă prinîncepând cu cercul unității—cercul razei 1 centrat la origine, a cărui ecuație este $x^2+y^2=1$—și dilatându-se cu un factorde $a$ orizontal și cu un factor de $B$ vertical. Pentru a obține ecuația rezultatuluiellipse, care traversează axa $x$la $ \ pm a$ și traversează $y $ – axisat $ \ pm b$, înlocuim $x$ cu $ x / a$ și $Y$ cu $y / B$ în ecuațiepentru cercul unității. Aceasta dă $$ \ stânga ({x\peste a}\dreapta)^2+\stânga ({y\peste b}\dreapta)^2=1\qquad\hbox{sau}\qquad {x^2\peste a^2}+{y^2\peste b^2}=1.$$
în cele din urmă, dacă vrem să analizăm o funcție care implică ambeletrimitări și dilatări, este de obicei mai simplu să lucrați mai întâi cudilații și apoi schimburi. De exemplu, dacă vrem să dilatăm o funcție cu un factor de $a$ în direcția $X$și apoi să schimbăm $C$ spre dreapta, facem acest lucru înlocuind $x$ mai întâi cu $x/a$și apoi cu $(x-C)$ în formulă. De exemplu, să presupunem că, după dilatarea cercului nostru unitar cu $A$ în direcția $x$și cu $b$în direcția $y$pentru a obține elipsa în ultimul paragraf, am vrut apoi să o mutăm o distanță $h$ spre dreapta și o distanță $k$în sus, astfel încât să fie centrat în punctul $(h,k)$. Noua elipsă ar avea ecuația$$ \ stânga ({x-h\peste a}\dreapta)^2+\stânga ({y-k\peste b}\dreapta)^2=1.$ $ Notează bine că acest lucru este diferit de primul schimb de $h$ și $K$ șiapoi dilatațiile cu $a$ și $b$:$$\stânga({x\peste a}-h\dreapta)^2+\stânga({y\peste b}-k\dreapta)^2=1.$ $ Vezi figura 1.4.1.
figura 1.4.1. Elipse: $\stânga({x-1\peste 2}\dreapta)^2+\stânga({y-1\peste 3} \dreapta)^2=1$ în stânga, $\stânga({x\peste 2}-1\dreapta)^2+\stânga({y\peste 3}-1 \ dreapta)^2=1$ în dreapta.
exerciții 1.4
începând cu graficul $\ds y=\sqrt{x}$, graficul $\ds y=1/x$ și graficul $\ds y=\sqrt{1-x^2}$ (semicercul unității superioare), schițați graficul fiecăreia dintre următoarele funcții:
Ex 1.4.1$\DS f(x)=\sqrt{x-2}$
Ex 1.4.2$\ds f(x)=-1-1/ (x+2)$
Ex 1.4.3$ \ ds f(x) = 4+\sqrt{x+2}$
Ex 1.4.4$\ds y = f (x)=x/(1-x)$
Ex 1.4.5$\ds y=f(x)=-\sqrt{-x}$
Ex 1.4.6$\ds f(x) = 2+\sqrt{1 – (x-1)^2}$
Ex 1.4.7$ \ ds f (x) = -4 + \ sqrt {- (x-2)}$
Ex 1.4.8$\ds f(x)=2\sqrt{1 – (x/3)^2}$
Ex 1.4.9$\ds f (x)=1 / (x+1)$
Ex 1.4.10$\ds f(x)=4+2\sqrt{1-(x-5)^2/9}$
Ex 1.4.11$\ds f (x)=1 + 1/(x-1)$
Ex 1.4.12$ \ ds f (x)=\sqrt{100-25 (x-1)^2}+2$
graficul de $f (x)$ este prezentat mai jos.Schițați graficele următoarelor funcții.
Ex 1.4.13$ \ ds y = f(x-1)$
Ex 1.4.$14 \ ds y = 1 + f (x+2)$
Ex 1.4.15$\ds y=1+2F(x)$
Ex 1.4.16$\ds y=2f (3x)$
Ex 1.4.17$ \ ds y = 2f(3 (x-2))+1$
Ex 1.4.18$ \ ds y = (1/2)f (3x-3)$
Ex 1.4.19$ \ ds y=f (1 + x/3) + 2 $
